【導(dǎo)讀】冪等矩陣在數(shù)學(xué)領(lǐng)域及其他許多領(lǐng)域的應(yīng)用都。角化矩陣的分解中具有重要作用。近年來有關(guān)此問題的研究吸引了國。冪等矩陣在研究廣義逆矩陣中占有非常重要的地。當(dāng)時人們對此似乎很少注意。這一概念在以后30年中。曾遠(yuǎn)榮在1933年，·諾伊曼在1936. 年對希爾伯特空間中線性算子的廣義逆作過討論。1955年，彭羅斯證明了存在。AX滿足前述性質(zhì)①～④，并以此作為?本文在接下來的章節(jié)中，我們將先給出冪等矩陣的定義及。的基礎(chǔ)上進行總結(jié)以及推廣，并進行證明。再給出冪等矩陣的等價命。題，并給出證明。對冪等矩陣進行深入研究。2,則稱A為冪等矩陣.jiAB,*矩陣AB的第i行第j列的代數(shù)余子式

　　

【正文】 , then A is similar to a diagonal matrix ? ?00,11,1d ia g ，， ?? , that is ? ?? ? 10,0,1,1,1d ia g ?? TTA ?? where T is a nonsingular matrix of order n . We prove the following theorem. Theorem Let ? ? ? ?RMaA nij ?? be a real idempotent matrix. Then the adjoint matrix ??Aadj is idempotent. Proof The proof consists of several steps. (i) Suppose the rank ??Ar of a real idempotent matrix A of order n is equal to n . Then we see that IIA n ?? , the identity matrix. We can pute ? ?Aadj as I and hence ? ? IAadj ? is idempotent. (ii) Suppose that ? ? 1??nAr . Then we can assume, without loss of generality, that ?????????????????? 00100000010000011321 naaaaA?????????? We can pute ??Aadj , the adjoint matrix of A as follows: ? ??????????????????????? 00100000010000011321 naaaaAa d j?????????? 27 We can show that ??Aadj is idempotent. (iii) We referring to Lemma 1 and 2, and Example 1, we claim that if A is an idempotent of rank ? ?2?n , then one of the following three statements holds: (1) A has two rows? ?21 and ?? nn AA each of two is the zero vector. (2) A has two columns ? ?AA nn 21 and ?? each of two is the zero vector. (3) A has one row and one column ? ?AAAA nnnn 11 a n dora n d ?? ， both of them are zero vectors. (iv) We just prove that the claim mentioned in the above (iii) is true (for a case). Suppose thatA is an idempotent of rank of ? ?2?n and suppose, in addition, that 2,2,1,1 ??? nia ii ? for 1an d,0 ??? nia ii and ni? . Then we can show that 3,a n df o r,0 ???? njijia ij , and njinjia ij ????? ,1a n df o r,0 . Now if ? ?210,1 ????? nia in , then An1? (the 1?n column) must be the zero vector. In addition, if ? ?210 ???? nja nj , then An (the n column) must also be the vector. This proves the claim for a case (referring to 17, Example1). The rest of all other cases will be proved by a similar way using Lemma 2. 28 Now we see that ? ? ? ?RMAadj n?? 0 for an idempotent matrix of order 2?n , where 0 denotes the zero matrix. Therefore ??Aadj is idempotent. (v) LetA be an idempotent matrix of rankk , where 3??nk . We again refer to Lemmas 1 and 2, and Example 1, and we easily deduce that ? ? 0?Aadj whenA is an idempotent of rank k ( 3??nk ).We know that ? ? 0?Aadj is idempotent. This proves Theorem. References [1] , On product of idempotent matrices, Glasgow Math. Journal (1967), 118122. [2] , The theory of matrices, Volume 1, (1959), Example 2, 。 Chelsea Publishing Company, New York. [3] , Idempotent matrices, Amer. Math. Monthly, 1966, 277. [4] Jin Bai Kim, Idempotent generated Rees matrix semigroups, Kyungpook Mathematical, Journal10:1(1970), 714. [5] Jin Bai Kim and , The second adjoint matrix of a Fuzzy idempotent matrix, The Journal of Fuzzy Mathematics,2:2(1994), 341350. [6] , Vectors and matrices, The Mathematical Association of America, 1943. 29 英文譯文 一個實冪等矩陣的伴隨矩陣 金佰金 (美國西弗吉尼亞大學(xué)的摩根數(shù)學(xué)系 ,WV26506) 金熙嗇 (教育韓國忠北大學(xué)數(shù)學(xué)系 ,清州 360763,韓國 ) 金升東 (香港舉全國教師的大學(xué)數(shù)學(xué)系 ,孔距 314701,韓國 ) 摘要 : 我們 證明 一個 實冪等矩陣 的 伴隨矩陣是冪等 的 . 關(guān)鍵詞 : 冪等矩陣 . 分類 : AMS(1991)15A/CCL 1 引言 有實冪等矩陣的文件 (例如 [1], [3]和 [4]). 首先在 [5]本文作者證明了一個模糊冪等矩陣的第二聯(lián)合矩陣是冪等 的 . 本文的動機是來自 [5]開始 , 我們證明了 一個實冪等矩陣的伴隨矩陣式冪等的 . 2 引理 在本節(jié)中 , 我們有兩個引理 .我們需要一些定義 . 定義 1 (i) R 表示實數(shù)集 . ? ?RMn 表示所有的 nn? 實矩陣 . (ii) 設(shè) ? ?RMA n? . tA 表示 A 的轉(zhuǎn)置矩陣 . (iii) 設(shè) ? ? ? ?RMaA nij ?? . ija 的代數(shù)余子式 ijA 是 ? ? ji??1 乘上在 ??Adet中劃去第 i 行和第 j 列后得到的 1?n 階行列式 , ??Adet 表示 A 的行列式 . (見 [6], 第 57頁 ). (iv) 如果 A 是一個 n 階矩陣且 ijA 是 ??Adet 中 ija 的代數(shù)余子式 , 那么矩陣 30 ? ? ? ???????????????nnnnnntijAAAAAAAAAAAadj???????212221212111 就叫做 A 的伴隨矩陣 (見 [6,第 58頁 ] ??Aadj ). (v) ijE 在 ? ?RMn 中表示從單位矩陣 IIn? 中互換 i 行和 j 行 ? ?ji? 后所得到的矩陣 . 引理 1 設(shè) ? ?? ?3?? nRMA n .然后我們得到 ? ? ? ?? ? ijijijij EAadjEAEE ?a d j . 我們省略引理 1的證明 . 引理 2 我們假設(shè) 3?n . 設(shè) ? ? ? ?RMaA nij ?? 是一個被如下定義的 n 階實矩陣： ?????????????????.,10,2,10,211njinnjijinjia ij 且 假設(shè) A 是冪等矩陣 , 我們有以下結(jié)論： (i) 如果 ? ?210,1 ????? nia in , 則 A ? ? .0310,1 ?????? inin ania ，且 (ii) 如果 ? ?110 ???? nia in , 則 ? ? .0, 1, ????? ?nijn anja 且 (iii) 如果 ? ?1101, ????? nia ni , 則 ? ? .0,310 ,1,1 ????? ?? injn anja 且 (iv) 如果 ? ?2101 ???? nia n , 則 ? ? 0,310 ,1 ????? ? innj anja 且. 我們省略引理 2的證明 . 31 例 1 我們列出了 18個實 5 5的且 ? ? 3?Ar (A 的秩為 3)的冪等矩陣 . 在這個例 子中 , ????????????????0000000001000001000001baz 表示一個 5 5實冪等矩陣A 且 ? ? 5?Ar , .0,0,0 ??? zba 且 在這個矩陣中 , 我們可以加上一句： (i)如果 0,0 ?? ba 且 54 AA和 的其他元素均為 0, 那么我們可以得出034 ??za , 且 AA 54 和 的其他元素都是 0, 其中 iA 和 Ai 分別表示 A 的第 i 行和第 j 列 . (ii)同樣的 , 如果 0?z , 且 AA 54 和 的其他元素均為 0, 那么非零元素只有 5251 abaa ?? 和 . (1) (2) (3) ????????????????0000000000100001000001awv ????????????????0000000000100000100001bwu ????????????????0000000000010000100001cvu (4) (5) (6) ????????????????0000000001000001000001baw ????????????????0000000000100001000001cav ????????????????0000000000100000100001cbu 32 (7) (8) (9) ????????????????0000000001000001000001cba ????????????????0000000001000001000001cba ????????????????000