高考理科數(shù)學(xué)不等式的應(yīng)用復(fù)習(xí)資料-資料下載頁(yè)
2025-08-20 08:58本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】涉及不等關(guān)系(特別是函數(shù)中的有關(guān)問(wèn)題，知識(shí)應(yīng)用的重要體現(xiàn)，是高考的熱點(diǎn)，此應(yīng)予以特別的關(guān)注.不等式在中學(xué)數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，利用問(wèn)題的幾何意義；則原方程化為t2+at+a+1=0，當(dāng)且僅當(dāng)x+1=即x=1時(shí),等號(hào)成立.因?yàn)閤＞0，y＞0，且3x+4y=12，所以當(dāng)x=2，y=時(shí)，lgx+lgy取最大值lg3.質(zhì)，得出函數(shù)式的最值.判斷f在上的單調(diào)性,并證明;故a的取值范圍是∪［，+∞).墻的維修費(fèi)用為45元/m，新墻的造價(jià)為180元/m.地圍墻的總費(fèi)用為y.用最小，并求出最小總費(fèi)用.
【正文】 （第一輪） 理科數(shù)學(xué) 全國(guó)版 32 3. 求證： 證明： 令 x∈ R， 則 yx2+yx+y=x2x+1. 于是 (y1)x2+(y+1)x+y1=0.① (1)若 y=1，則 x=0，符合題意； (2)若 y≠1,則①式是關(guān)于 x的一元二次方程 . 題型 8 判別式法證不等式 221 13.31xxxx?????2211xxyxx????，立足教育 開(kāi)創(chuàng)未來(lái) 高中總復(fù)習(xí)（第一輪） 理科數(shù)學(xué) 全國(guó)版 33 由 x∈ R，知 Δ=(y+1)24(y1)2≥0， 解得 ≤y≤3且 y≠1. 綜合 (1)(2)，得 ≤y≤3，即 點(diǎn)評(píng)： 與二次式有關(guān)的不等式證明，可通過(guò)構(gòu)造二次方程，然后利用方程有實(shí)數(shù)解的充要條件得出式子的取值范圍，就是所要證明的不等式 . 1313221 13.31xxxx?????立足教育 開(kāi)創(chuàng)未來(lái) 高中總復(fù)習(xí)（第一輪） 理科數(shù)學(xué) 全國(guó)版 34 求證： 證明： 令 則 yx2(y+1)x+y+1=0，① (1)當(dāng) y=0時(shí)，得 x=1，符合題意； (2)當(dāng) y≠0時(shí)，則①式是關(guān)于 x的一元二次方程 . 由 x∈ R，得 Δ=(y+1)24y(y+1)≥0， 解得 1≤y≤ ,且 y≠0. 綜合 (1)(2),得 1≤y≤ ,所以 2 1 1 1 . 1 3xxx???211xy x Rxx??? ， ，1313 2 1 1 1 . 1 3xxx???立足教育 開(kāi)創(chuàng)未來(lái) 高中總復(fù)習(xí)（第一輪） 理科數(shù)學(xué) 全國(guó)版 35 已知函數(shù) f(x)=ln(x+1)x，若 x＞ 1，證明 : ≤ln(x+1)≤x. 證明： 令 f ′(x)=0，得 x=0. 當(dāng) x∈ (1， 0)時(shí)， f ′(x)＞ 0。 當(dāng) x∈ (0， +∞)時(shí)， f ′(x)＜ 0. 題型 不等式與函數(shù)的綜合應(yīng)用 參考題111x ?1 ( ) 1 .11xfxxx? ????立足教育 開(kāi)創(chuàng)未來(lái) 高中總復(fù)習(xí)（第一輪） 理科數(shù)學(xué) 全國(guó)版 36 所以 f(x)在區(qū)間 (1， 0)上是增函數(shù)， 在區(qū)間 (0， +∞)上是減函數(shù) . 所以當(dāng) x＞ 1時(shí)， f(x)≤f(0)=0， 即 ln(x+1)x≤0，故 ln(x+1)≤x. 令 則 令 g′(x)=0，得 x=0. 當(dāng) x∈ (1， 0)時(shí)， g′(x)＜ 0。 當(dāng) x∈ (0， +∞)時(shí)， g′(x)＞ 0. 1( ) l n ( 1 ) ( 1 )1g x x x?? ? ，2211( ) .1 ( 1 ) ( 1 )xgxx x x? ??? ? ?立足教育 開(kāi)創(chuàng)未來(lái) 高中總復(fù)習(xí)（第一輪） 理科數(shù)學(xué) 全國(guó)版 37 所以 g(x)在 (1， 0)上是減函數(shù)， 在 (0， +∞)上是增函數(shù)， 故當(dāng) x＞ 1時(shí)， g(x)≥g(0)=0， 即 故 綜上知， 1l n ( 1 ) ( 1 ) 01x x?? ? ，11 l n( 1 ) .1xx???11 l n ( 1 ) .1xxx? ? ??立足教育 開(kāi)創(chuàng)未來(lái) 高中總復(fù)習(xí)（第一輪） 理科數(shù)學(xué) 全國(guó)版 38 1. 在已知中如果出現(xiàn)兩數(shù)相加等于一個(gè)正常數(shù) ， 可聯(lián)想到公式 sin2α+cos2α=1， 進(jìn)行三角換元 . 2. 含有字母的不等式證明 ， 可以化為一邊為零 ， 而另一邊為某個(gè)字母的二次三項(xiàng)式 ，考慮判別式 . 3. 有些不等式 ， 從正面證如果不易說(shuō)清楚 ， 可以考慮反證法 .凡是有 “ 至少 ”“ 唯一 ”或含有其他否定詞的命題 ， 適宜用反證法 .
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