【導(dǎo)讀】成本，具有十分明顯的經(jīng)濟(jì)意義。本文針對(duì)鐵路線一側(cè)兩煉油廠及鐵路線上增建一個(gè)車站，考慮油管的。布置問題，利用函數(shù)偏導(dǎo)求極值和數(shù)學(xué)軟件mathlab、lingo的計(jì)算機(jī)優(yōu)化模擬，建立了管線建設(shè)費(fèi)用。最省的一般數(shù)學(xué)模型與方法。這種模式具有一定的普遍性。問題三，在該實(shí)際問題中，為進(jìn)一步節(jié)省費(fèi)用，各段管線的單位造價(jià)可根據(jù)自身生產(chǎn)能力造來選擇，了此種情形下的各段管線的相關(guān)參數(shù)。線、污水管道線，電力電纜的鋪設(shè)設(shè)計(jì)等。分界線用圖中的虛線表示。若所有管線的鋪設(shè)費(fèi)用均為每千米萬元。這時(shí)的管線鋪設(shè)費(fèi)用將分別降為輸送A廠成品油的每千米，輸送B廠成品油。的每千米，共用管線費(fèi)用為每千米，拆遷等附加費(fèi)用同上。佳布置方案及相應(yīng)的費(fèi)用。問題二，際上是問題一的延伸，可以在問題一的模型上改進(jìn)。

　　

【正文】 P長為某一取定值 t時(shí)， M 可以在直線 y=t上任意一個(gè)位置，但要使 A 油廠和 B 油廠的管線最短，根據(jù)平面鏡成像原理，可以唯一地確定 M的位置，如圖二，做 A點(diǎn)關(guān)于 y=t的對(duì)稱點(diǎn) A? ， A? 點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 0,2ya） ， A? 與 B的連線和 y=t的交點(diǎn)即為 M的最優(yōu)位置。A油廠和 B油廠的管線可以用 A? B取代， 因此，（ 1）式得以簡化，建立模型為： ? ? 2122 2 mymybalM inz ??????? 模型Ⅰ y 為決策變量 ,即為交點(diǎn) M 的縱坐標(biāo)， y 的取值范圍為： 0ya。 對(duì)目標(biāo)函數(shù)求極值，然后與邊界值（即為圖三和圖四的情形）進(jìn)行比較得出最省費(fèi)用。 目標(biāo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為：222 1)2( )2(239。 mybal mybaz ???? ?????， 令 0??Z ,解得： )4(21 22212 mm lmbay ???? ，由 M 、 A? 、 B 共 線 ，斜 率 相等 ， 可得 ：22222124)( m lmmmbax ???? 。 當(dāng)煉油廠的位置確定時(shí)，建設(shè)費(fèi)用（相同和不相同）也確定時(shí) ，很容易求解得建設(shè)費(fèi)用最省的設(shè)計(jì)方案。 圖一 圖二 圖三 圖四 問題二：建設(shè)費(fèi)用不但要考慮鋪設(shè)管道的費(fèi)用，還要考慮在城區(qū)的拆遷和工程補(bǔ)償?shù)雀郊淤M(fèi)用，問題一的模型對(duì)問題二不適用，我們分交點(diǎn)在城區(qū)和在郊區(qū)兩種情形進(jìn)行討論，如圖五， A煉油 廠， B煉油 廠管道交點(diǎn)為 ),( 21 xxM ， 管道與虛線交點(diǎn)為 ),15( 2yN 。通過圖六的比較可以排除 M點(diǎn)在城區(qū)的可能，因?yàn)?B點(diǎn)到鐵路的距離要比 A點(diǎn)到鐵路的距離大，通過平面鏡成像原理可得 M 點(diǎn)的位置一定在 AB 水平距離中點(diǎn)偏左，而且一定不會(huì)在 A點(diǎn)之上，不考慮費(fèi)用，交點(diǎn) M不會(huì)在城區(qū)范圍，如要考慮費(fèi)用， BN長度也會(huì)比 BM短，故排除 M在城區(qū)的情況?？山⒛Ｐ腿缦?: )()8()1520()()15()5(2221221212121????????????????yyyyxyxM i n Z 模型Ⅱ 8y05y015x0..21??????ts 用 lingo軟件求解，計(jì)算得最省費(fèi)用為： MinZ= （萬元） ， M點(diǎn)坐標(biāo)為 (, )， N點(diǎn)坐標(biāo)為 (15,)，則設(shè)計(jì)方案可以確定。 圖五 圖六 問題三 :當(dāng) A廠油管和 B 廠油管單價(jià)不同時(shí)，不能用平面鏡成像原理對(duì) M點(diǎn)進(jìn)行約束，類似問題二，分兩種情形討論，如圖七，當(dāng)交點(diǎn)在郊區(qū)時(shí)，可建立模型為： ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?2221212122121????????????????yyxyyyxM i n Z 模型Ⅲ 8050150..211??????yyxts 對(duì)于交點(diǎn)在城區(qū)的可能，因?yàn)?A廠和 B廠油管費(fèi)用相差不大， M點(diǎn)偏移到城區(qū)的可能性不大，如果存在可能，要看在城區(qū)鋪 設(shè)管道線路的情況，如果在城區(qū)鋪設(shè)線路過長，會(huì)影響城區(qū)居民的生活，造成很多危險(xiǎn)因素。當(dāng)建造費(fèi)用與在郊區(qū)相差不大時(shí)，應(yīng)考慮把車站建在郊外。建立交點(diǎn)在城區(qū)的模型，如圖八，用以與模型Ⅲ作比較。模型為： )()8()20()()()()15()5(152121121221222??????????????????yxyyyxyM i n Z 模型Ⅳ 80802020..211??????yyxts 用 lingo軟件分別對(duì)這兩個(gè)模型進(jìn)行求解，得模型Ⅲ的解最優(yōu)，最優(yōu)解為 MinZ= （萬元） ， M點(diǎn)坐標(biāo)為（ ,） ,N點(diǎn)坐標(biāo)為（ 15， ），則可確定管線布置方案。 圖七 圖八 六、 模型評(píng)價(jià)與推廣 問題一模型通過平面鏡成像原理對(duì)交點(diǎn) M進(jìn)行了約束，目標(biāo)函數(shù)得以簡化，使問題的分析解決更加容易，對(duì)類似于這樣的優(yōu)化問題提供了一個(gè)簡而易行的方法。問題二和問題三充分考慮了管道交點(diǎn) M可能出現(xiàn)的情況，模型比較嚴(yán)謹(jǐn)。 在現(xiàn)實(shí)生活中有很多類似輸油管道的鋪設(shè)的問題，如公路的鋪設(shè)，港口的建立，都可以用這種模型進(jìn)行求解，此種模型在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用很廣。 參考文獻(xiàn) : [1] 謝金星 薛毅，優(yōu)化建模與 LINDO/LINGO 軟件 [M]，北京：清華大學(xué)出版社， 2020年 7月。 [2] 姜啟源 謝金星 葉 俊，數(shù)學(xué)模型（第三版） [M]，北京：高等教育出版社， 2020年 8月。 [3] 劉玉璉 傅沛仁，數(shù)學(xué)分析講義（第四版） [M]，北京：高等教育出版社， 2020年 6月。 附 錄 問題二： 模型Ⅱ求解程序如下： model: min=(X1^2+(5Y1)^2)^*+((Y2Y1)^2+(15X1)^2)^*+*Y1+((2015)^2+(8Y2)^2)^*。 end 運(yùn)行結(jié)果： Global optimal solution found. Objective value: Extended solver steps: 712 Total solver iterations: 57481 Variable Value Reduced Cost X1 Y1 Y2 Row Slack or Surplus Dual Price 1 問題三： 模型Ⅲ求解程序如下： model: min=(x1^2+(5y1)^2)^*+((y2y1)^2+(15x1)^2)^*6+y1*+((2015)^2+(8y2)^2)^*。 end 運(yùn)行結(jié)果： Global optimal solution found. Objective value: Extended solver steps: 407 Total solver iterations: 32187 Variable Value Reduced Cost X1 Y1 Y2 Row Slack or Surplus Dual Price 1 模型Ⅳ求解程序如下： model: min=(15*15+(5y2)^2)^*+((15x1)^2+(y2y1)^2)^*(+)+y1*(+)+((20x1)^2+(8y1)^2)^*(6+)。 end 運(yùn)行結(jié)果 Global optimal solution found. Objective value: Extended solver steps: 107 Total solver iterations: 22174 Variable Value Reduced Cost Y2 X1 Y1 Row Slack or Surplus Dual Price 1