【導讀】據(jù)，再轉換成有限元計算所需數(shù)據(jù)，并進行有限元計算。對有限元法基本原理的學習,其中重點偏向三維有限元分析。在Fortran語言環(huán)境下將提取網(wǎng)格數(shù)據(jù)轉換成有限元計算。據(jù)對矩形腔體模型進行相關的有限元計算。

　　

【正文】 這些都是今后可研究的方向。 基于 Rhino 的有限元網(wǎng)格離散技術研究 上海工程技術大學畢業(yè)設計論文 42 參考文獻 [1] Jin J M. The Finite Element Method in Electromagics [M]. WileyIEEE Press, 1993. [2] Liu J, Chen B,Chen Y. Boundary recovery after 3D Delaunay tetrahedralization without adding extra nodes[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering,2020,72(6):744756. [3] 關振群 ,宋超 ,顧元憲 ,隋曉峰 .有限元網(wǎng)格生成方法研究的新進展 [J].計算機輔助設計與圖形學學報 ,2020,15(1):114. [4] 關振群 ,劉邦志 ,顧元憲等 .薄元分解與 Laplacian光順相結合的四面體有限元網(wǎng)格優(yōu)化方法 [J].計算力學學報 ,2020,24(3):257263. [5] 劉巖 ,關振群 ,張洪武 .任意多面體邊界一致四面體網(wǎng)格生成方法 [J].計算力學學報 ,2020,29(2):200204. [6] 鄭奎松 ,葛德彪 ,魏兵 .導彈目標的 FDTD 建模與 RCS 計算 [J].系統(tǒng)工程與電子技術 ,2020,26(7):896899. [7] 張培培 ,陶華 ,顧小鋒 .CAD/CAE 集成中參數(shù)化有限元建模的研究 [J].現(xiàn)代制造工程 ,2020,(9). [8] 熊勝華 ,謝正堅 ,何濤 .計算機輔助結構設計與分析的集成框架研究 [J].圖學學報 ,2020,33(4):129135. [9] 彭國倫 ,Fortran95 程序設計 [M].中國電力出版社 ,2020. [10] 朱江 ,費逸偉 ,郭常穎 ,黃焱飛 ,Rhino 操作平臺研究進展綜述 [J].技術與市場 ,2020,(11). 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Mrozowski WiComm 卓越中心，電子系 電信和信息（ ETI） 格但斯克大學學報（ GUT），波蘭格但斯克 80233 摘要 —— 本文提出了一種新的稀疏矩陣的存 儲格式，這使得一個稀疏矩陣矢量乘在費米圖形處理單元（ GPU）有效地執(zhí)行。不同于以往的格式，它具有低內存占用和良好的吞吐量，我們稱這種新的格式為 Sliced ELLRT。該格式適用于計算電磁學中產(chǎn)生的大型稀疏、復值線性系統(tǒng)的加速迭代求解。數(shù)值試驗表明，該執(zhí)行性能達到 69 GFLOPS（復單精度運算）。相比于優(yōu)化的六核中央處理單元（ CPU）（英特爾處理 5680），這樣的表現(xiàn)意味著一個 6 倍的加速。在速度方面的新格式以最快的速度成為迄今公布的最佳格式，同時它不引入多余的零元素，這種元素必須存儲以確?？焖賰却嬖L問。 相比此前公布的解決方案，大問題可以使用成本更低、具有有限數(shù)量板上存儲器的 GPU 進行處理。 一、緒論 解決電磁問題包括密集和耗時的計算。 為了減少處理時間，計算電磁學團體一直在探索使用 GPU（圖形處理器）為加快各種數(shù)值方法的可能性，包括時域有限差分（ FDTD）方法 [1 {4]，交替方向隱式（ ADI）方法[5]，傳輸線模型（ TLM）方法 [6， 7]，也為應用在如雷達散射截面預測基于 Rhino 的有限元網(wǎng)格離散技術研究 上海工程技術大學畢業(yè)設計論文 45 （ RCS） [810]。 相對很少有人注意迄一直以來已有的有限元法（ FEM）。這種方法，通常用于分析的復雜諧振器或的波導或解決電磁輻射和散射問題 [11{16]，產(chǎn)生一個很大的稀疏的方程系統(tǒng)。由此產(chǎn)生的特征值或驅動的問題，然后經(jīng)常使用的克雷洛夫空間迭代技術來解決 [17{19]。這種技術涉及到很多稀疏矩陣倍向量積（ SPMV）的計算 [20]。一些研究小組已經(jīng)證明， SPMV 操作可以更快的執(zhí)行在 GPU 上比在多核中央處理器（ CPUs）上 [2124]。 SPMV作用于 GPU 上的速度是非常重要的，因為該操作施加一個顯著的影響在克雷洛夫空間解算器的整體解決方案的時間尤其是當多項式 [17]或多級預條件的雅各比平滑 [25]被使用。影響的矩陣矢量乘積的效率，其原因之一 就是這種被存儲在 GPU 的存儲器的系數(shù)矩陣 [21]。對于不規(guī)則的非零項模式的矩陣在 GPU 上的最好的結果，得到存儲方案的使用變體稱為 Ellpack[21]。 Ellpack 格式可以被修改，以最好地利用特別的 GPU 結構的計算功能 [22 24]。 可惜， Ellpack 的格式具有一個嚴重的缺點，即，它存儲一個矩陣一行接一行，每行包含相同數(shù)目的元素。如果某行包含較少的非零元素，它是用零填充。對于矩陣，其中每行的非零的數(shù)目變化顯著，這意味著存儲了大量的冗余元件。在計算涉及只有非常有限的快速內存（一般可達 GB）的商 品 GPU（圖形處理器）時，這將成為一個問題。 問題是找到一個高效的內存矩陣的存儲格式，它也適用于在 GPU 上快速執(zhí)行稀疏矩陣的向量積，甚至更為明顯在計算電磁學方面，人們常常處理復雜的矩陣時。 在本文中，我們提出了一種新的高效，快速的內存存儲格式，非常適合用于實現(xiàn)稀疏矩陣的時間向量乘法用于由英偉達設計的 CUDA（統(tǒng)一計算設備架構）。我們還通過使用可配置的緩存和并發(fā)內核執(zhí)行顯示如何調整 SPMV 操作最新的英偉達的費米系列 GPU。我們證明了追求效率的新的格式和 SPMV 操作在來自電介質天線問題有限元離散化的一些復雜的價基于 Rhino 的有限元網(wǎng)格離散技術研究 上海工程技術大學畢業(yè)設計論文 46 值 稀疏矩陣。新方法不僅顯著降低多余的零填充，但它也允許一個實現(xiàn)SPMV 的性能，這等同于至今最好的結果報告。 二、 GPUS 程序設計 我們將簡要回顧一下幾個概念是必要的理解追求效率的 GPU 計算[26， 27]。 GPU（圖形處理器）有很多處理器稱為內核對不同的數(shù)據(jù)并行執(zhí)行的相同的代碼。在 CUDA 架構 [28]， GPU 的處理器被收集到多處理器。在一個 CPU 里被稱為內核的。在內核一個線程是并行化的最小單元。線程將被收集到線程塊，共享內存在一臺單一的多重處理器。線程塊將被收集到線性塊的網(wǎng)格，在邏輯上是并行執(zhí)行的一個內核執(zhí) 行期間。線程可以訪問 GPU 內存幾種：全球記憶體（大，讀寫延遲），共享內存（片上，低延時，限每塊 16 KB），紋理內存（低延遲，只讀），和寄存器（低延遲）。為了獲得高效率的代碼執(zhí)行，重要的是要注意以下規(guī)則： ◎保證聯(lián)合訪問全局內存 ◎如果聯(lián)合訪問全局存儲器是不可能的 使用紋理內存代替 ◎盡可能地使用共享內存 ◎用共享內存訪問取代全局存儲器訪問（如果可能） ◎ GPU 和 CPU 之間的傳輸降到最低 費米，這是最新一代的 CUDA 架構的代碼名稱 [29]，增加了新的功能，可以利用以提高性能。特別是，費米架構： ◎支持可 配置的緩存，可分配的共享內存和 16 KB， 48 KB 的 L1 額外的緩存或 48 KB 的可分配的共享內存和 16 kB 的 L1 額外的緩存 ◎允許并行執(zhí)行的并行執(zhí)行內核（最多 16 個不同的 GPU 功能） ◎執(zhí)行雙精度計算顯著快于前代 GPU 基于 Rhino 的有限元網(wǎng)格離散技術研究 上海工程技術大學畢業(yè)設計論文 47 三、 壓縮存儲使 SPMV 更高效 如引言中所解釋的矩陣存儲的格式，同時影 SPMV 操作的性能和使用的內存量。影響速度的第二個因素是明智地使用各種功能的 CUDA 架構。 在本節(jié)中，我們將討論的幾個矩陣存儲格式，可用于在 SPMV 產(chǎn)品的功能和 GPU 計算的背景下展示自己的優(yōu)點和缺點。 壓縮行存 儲 在一個 CRS（壓縮行存儲）格式，一個稀疏矩陣被壓縮成三個矢量：一個非零項的向量，一個非零項的向量的列指數(shù)，在一行中的第一非零項的矢量列索引 [17]。 這種格式采用的是英特爾 MKL（數(shù)學核心函數(shù)庫），它對于稀疏矩陣矢量運算在多核心的 CPU 上實施是有效的。盡管 GPU 實現(xiàn) SPMV 基于CRS[21， 30]比 MKL 有著更好的表現(xiàn)，由于缺乏聯(lián)合訪問全局存儲器，它們顯示更壞的吞吐量比基于狀 Ellpacklike 格式的 SPMV。然而，從存儲器的角度來看，這種格式是非常有效的，因為沒有需要零填充。對于雙精度和復雜的值的 矩陣所需的存儲在 CRS 格式的字節(jié)的數(shù)目是： )4)(82( BytesNNNZBytesNNZCR S ?????? （ 1） 其中： NNZ 為非零項向量的長度， N 為數(shù)行。 ELLR 為了確保聯(lián)合訪問內存，同時執(zhí)行 SPMV 在一個 GPU Ellpack（ ELL）格式 [21]中提出的。在的 ELL 格式，壓縮的矩陣的每一行存儲兩個向量中的非零項的矢量和矢量的非零項的列指數(shù)（包括一些額外的零）。此格式允許在 GPU 上實現(xiàn)更好的性能相對于在 CPU 上，但是在內存方面引 入了顯著的冗余，用行零填充的方法來獲得長度最長的非零項行（ Nmax）。以 ELLR 格式為基礎的 SPMV 產(chǎn)品以一列線程的工作方式在 GPU 上實現(xiàn)。然而，可以進一步改善 SPMV 的性能通過增加一個額外的矢量提供了有關基于 Rhino 的有限元網(wǎng)格離散技術研究 上海工程技術大學畢業(yè)設計論文 48 下列內容的信息的數(shù)量在每行中的非零點。此修改的格式被稱為 ELLR和增強的性能，因為只有非零在計算中被涉及的 22]。為了更好地執(zhí)行在一個 GPU 上行數(shù)是程序塊尺寸的除數(shù)，否則就沒有全局存儲器的聯(lián)合訪問。要滿足這樣的條件只有用零元素添加一些額外的行（ 0N）。從以上的描述得知 ELLR 格式?jīng)]有 CRS 有效是顯而易見的從存儲器的角度來看。在 ELLR 格式里，對于雙精度和復雜的值的矩陣所需存儲字節(jié)的數(shù)量是： )4)()(2( 0m a x0m a x B ytesNNNB ytesNNRE L L ????????? （ 2） 其中： maxN—— 數(shù)最長行中的非零項。 Sliced ELLPACK 在 ELL 格式中為了消除固有的冗余， Monakovetal [23]提出限制矩陣在壓縮之前。在這種被稱為 Slicde ELL 的格式中，有一個特定的預處理應用，也就是一個稀疏矩陣首先被劃分成由子矩陣（切片）組成的 S 相鄰行（ S=1， ...， N），然后切片存儲在 ELL 格式。其結果是，額外零的數(shù)量被確定通過切片的行之間最短和最長的距離，而不是由整個矩陣的距離來確定。 ELLRT 在 SPMV操作在 GPU上的浮點運算方面表現(xiàn)出最佳性能是至今以被報道的一種存儲格式先前被提到在 [24]。格式被稱為 ELLRT，它是一個擴張的 ELLR， ELLR 需要施加預處理 [24]。在這種預處理非零元素和它們的列索引被置換和零填充時，每行是 16 的倍數(shù)。由于此修改，使聚結和對齊訪問全局內存發(fā)生。相比于 ELLR