【正文】 ino建模技術(shù)及網(wǎng)格剖分 Rhino 軟件簡介 Rhino，中文名稱犀牛，是一款超強的三維建模工具，大小才幾十兆，硬件要求也很低。 基于 Rhino 的有限元網(wǎng)格離散技術(shù)研究 上海工程技術(shù)大學畢業(yè)設(shè)計論文 13 有限元法的應(yīng)用 目前，有限元法計算在許多工程計算中都有應(yīng)用，例如流體力學、電磁學、工程結(jié)構(gòu)等。而方程（ ）式是本征值型的，它是從齊次控制微分方程和齊次邊界條件導(dǎo)出的。因為這里的算符?不必是自伴的，所以，單元矩陣][ eK也不必是對稱的。盡管高階多項式的精度較高，但通常得到的公式也比較復(fù)雜。并利用簡單而又相互作用的單元，用有限數(shù)量的未知量去逼近無限未知量的真實系統(tǒng)。因為點是無限多的，存在無限自由度的問題，很難直接求解這種偏微分方程用來解決實際工程問題，因此需要采用近似方法來處理?；?Rhino 的有限元網(wǎng)格離散技術(shù)研究 上海工程技術(shù)大學畢業(yè)設(shè)計論文 1 上海工程技術(shù)大學 畢業(yè)設(shè)計論文 題 目： 基于 Rhino 的有限元網(wǎng)格離散技術(shù)研究 學 院： 電子電氣工程學院 專 業(yè)： 自動化 基于 Rhino 的有限元網(wǎng)格離散技術(shù)研究 上海工程技術(shù)大學畢業(yè)設(shè)計論文 1 目 錄 摘要??????????????????????????? 1 ABSTRACT????????????????????????? 2 0 引言 ?????????????????????????? 4 1 有限元法 ???????????????????????? 5 有限元法的基本原理 ?????????????????? 5 有限元法基本思想 ?????????????????? 5 有限元法幾個基本概念 ???????????????? 5 有限 元求解的基本步驟 ????????????????? 6 區(qū)域離散 ?????????????????????? 6 插值函數(shù)的選擇 ??????????????????? 8 方程組 公式的建立 ?????????????????? 8 方程組的求解 ???????????????????? 11 有限元法的應(yīng)用 ???????????????????? 13 2 Rhino 建模技術(shù)及網(wǎng)格剖分 ???????????????? 14 Rhino 軟件簡介 ???????????????????? 14 Rhino 實體建模技術(shù) ?????????????????? 16 基本幾何體創(chuàng)建 ???? ??????????????? 16 實體工具 ?????????????????????? 18 網(wǎng)格剖分 ??????????????????????? 21 有限元網(wǎng)格剖分的基本原 則 ?????????????? 21 有限元網(wǎng)格生成的方法 ???????????????? 23 網(wǎng)格質(zhì)量的度量準則 ????????????????? 27 基于 Rhino 的有限元網(wǎng)格離散技術(shù)研究 上海工程技術(shù)大學畢業(yè)設(shè)計論文 2 Rhino 網(wǎng)格工具 ? ?????????????????? 28 模型及四面體網(wǎng)格剖分實例 ??????????????? 33 矩形腔體 ?????????????????????? 33 圓柱腔體 ??? ??????????????????? 35 階梯模型 ?????????????????????? 36 3 有限元計算 ??????????????????????? 39 矩形腔體計算 ????? ???????????????? 39 圓柱腔體計算 ????????????????????? 40 4 結(jié)束語 ????????????????????????? 41 5 參考文獻????????????? ??????????? 42 6 譯文?????????????????????????? 44 7 原文說明???????????????????????? 55 基于 Rhino 的有限元網(wǎng)格離散技術(shù)研究 上海工程技術(shù)大學畢業(yè)設(shè)計論文 1 摘 要 本文首先對有限元法的基本原理進行簡要的敘述，指出了四面體網(wǎng)格在有限元分析中的使 用及四面體網(wǎng)格剖分的難點和現(xiàn)狀，使用了 Rhino軟件建立三維幾何模型并對模型進行四面體網(wǎng)格自動剖分，提取網(wǎng)格數(shù)據(jù)，再轉(zhuǎn)換成有限元計算所需數(shù)據(jù)，并進行有限元計算。 基于 Rhino 的有限元網(wǎng)格離散技術(shù)研究 上海工程技術(shù)大學畢業(yè)設(shè)計論文 5 1 有限元法 有限元法的基本原理 有限元法基本思想 我們實際要處理的對象都是連續(xù)體，在傳統(tǒng)設(shè)計思維和方法中，是通過一些理想化的假定后，建立一組偏微分方程及其相應(yīng)的邊界條件，從而求出在連續(xù)體上任一點上未知量的值。 （ 4）有限元分析：利用數(shù)學近似的方法對幾何模型進行模擬。通常，插值函數(shù)可選擇為一階（線性）、二階（二次）、或高階多項式。因為][K是對稱的，jiij KK ?，因此，（ ）式變成 0??????? ? ijNj iji bKF Ni ,3,2,1 ????????????????（ ） 或?qū)懗删仃囆问剑? }{}]{[ bK ?? ????????????????????????（ ） （ 2） 伽遼金方法的求解公式 上述方程組也可以用過伽遼金方法導(dǎo)出，對于（ ）式，第 e 個單元的殘數(shù)加權(quán)為 ???? ?? dfNR eeiei )~(? ni ,3,2,1 ?????????????????（ ） 將（ ）式代入（ ）式后得到 ????? ?? ?? dfNdNNR eieTeeiei }{}{? ni ,3,2,1 ???????????（ ） 也可寫成矩陣形式 }{}]{[}{eeee bKR ??? ????? ???????????????（ ） 這里Teneeee RRRRR ],[} 321 ??，矩陣元素eijK和 ib分別于（ ）式和（ ）式的相同。在電磁學中，確定性方程組通常與散射、輻射以 及其它存在源或激勵的確定性問題有關(guān)。正是基于共軛梯度法的優(yōu)點，本文所涉及的有限元算例都是運用共軛梯度 法求解。它特別適合于諧振腔、天線等裝置設(shè)備的電磁有限元計算。 最后我們給出兩個用 Rhino 創(chuàng)造的 3D 作品，如圖 所示的汽車模型和圖 所示的變形金剛。疏密不同的網(wǎng)格剖分基于以下原則：在計算分析的數(shù)據(jù)變化較大的地方，采用較密集的網(wǎng)格，來更好的反應(yīng)數(shù)據(jù)變化的規(guī)律；相反，在計算分析的數(shù)據(jù)變化較小的地方，采用相對稀疏的網(wǎng)格，來減小模型的規(guī)模。這類算法基于問題域的拓撲幾何描述，通過從域中逐個移去單元而生成有限元網(wǎng)格。 DT 的最大 最小角特性使它自動地避免了生成小內(nèi)角的長薄單元 ,因此特別適用于有限元網(wǎng)格生成。 AFT 方法的特點之二是在生成新單元時需要進行大量的相交判斷、包含判斷，以及為了保證單元的質(zhì)量而進行的距離判斷。 （ 2）最大角度：兩個網(wǎng)格面的法線方向最大允許的差異角度。這個選項和物件的比例有關(guān)。預(yù)設(shè)值為 16，建議值為 0至 10000。矩形腔體直接用 Rhino 工具中的基本幾何體命令建立，模型如圖 所示。分別用未知量 15 260 和 979 計算的結(jié)果在表 和表 給出。雖然有限元法已經(jīng)相當成熟，但還是有許多的難題沒有得到徹底解決，如網(wǎng)格劃分效率、更復(fù)雜模型的計算等還需要進一步提高，這些都是今后可研究的方向。影響的矩陣矢量乘積的效率，其原因之一 就是這種被存儲在 GPU 的存儲器的系數(shù)矩陣 [21]。在內(nèi)核一個線程是并行化的最小單元。以 ELLR 格式為基礎(chǔ)的 SPMV 產(chǎn)品以一列線程的工作方式在 GPU 上實現(xiàn)。在這種預(yù)處理非零元素和它們的列索引被置換和零填充時，每行是 16 的倍數(shù)。對于雙精度和復(fù)雜的值的 矩陣所需的存儲在 CRS 格式的字節(jié)的數(shù)目是： )4)(82( BytesNNNZBytesNNZCR S ?????? （ 1） 其中： NNZ 為非零項向量的長度， N 為數(shù)行。 二、 GPUS 程序設(shè)計 我們將簡要回顧一下幾個概念是必要的理解追求效率的 GPU 計算[26， 27]。由此產(chǎn)生的特征值或驅(qū)動的問題，然后經(jīng)常使用的克雷洛夫空間迭代技術(shù)來解決 [17{19]。正因為這樣，有限元法也是一個相當寬的研究領(lǐng)域，全面而系統(tǒng)地進行綜述是相當困難的，這不僅要求懂得相關(guān)的工程專業(yè)知識、全面掌握有限元法，還需要懂得計算機軟件設(shè)計知識。因此，可以得出結(jié)論，對階梯模型的四面體網(wǎng)格剖分是失敗的。 （ 10）平面最簡化：轉(zhuǎn)換網(wǎng)格時先分割邊緣，然后以三角形網(wǎng)格面填滿邊緣內(nèi)的 區(qū)域?？僧斪鼍W(wǎng)格轉(zhuǎn)換時的公差設(shè)置。 (4)最小邊緣長：度當網(wǎng)格邊緣的長度小于最小邊緣長度的設(shè)置值時，不會再進一步細分網(wǎng)格。網(wǎng)格參數(shù)的設(shè)置可分為簡易設(shè)置和高級手動設(shè)置，簡易設(shè)置界面，如圖 所示，它的作用一目了然，調(diào)節(jié)滑竿來調(diào)節(jié)多邊形的網(wǎng)絡(luò)密度。由它生成的網(wǎng)格同樣有著很好的幾何尺寸和形狀且疏密過渡平滑。近年出現(xiàn)的長方形網(wǎng)格直接布點法和距水平掃描線直接布點法等方法在一定程度上提高了結(jié)點連元法的計算效率，但 Delaunay 三角剖分方法(簡稱 DT 法 )的出現(xiàn)才真正使得結(jié)點連元法成為目前主流的全自動網(wǎng)格剖分方法之一。 映射法的優(yōu)點是：算法簡單、 速度快、單元質(zhì)量好、密度可控制，它既可生成結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格又可生成非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，既可生成四邊形單元網(wǎng)格又可生成六面體單元網(wǎng)格，可用于曲面網(wǎng)格生成，可與形狀優(yōu)化算法集成等。網(wǎng)格數(shù)目變大，雖然會提高計算的精確度，但相應(yīng)會擴大計算規(guī)模，因此應(yīng)充分考慮這兩個因素的影響來確定網(wǎng)格的多少。容易使用非常容易學習使用，讓您可以專注于設(shè)計與想象而不必分心于軟件的操作上。 對于高頻場，位移電流不能忽視。根據(jù)共軛方向基 本性質(zhì)，這種方法具有二次終止性。最后。為了簡單起見，假設(shè)問題是實數(shù)值得。一個結(jié)點的完整描述應(yīng)包括它的坐基于 Rhino 的有限元網(wǎng)格離散技術(shù)研究 上海工程技術(shù)大學畢業(yè)設(shè)計論文 8 標值、局部編碼和全局編碼。 基于 Rhino 的有限元網(wǎng)格離散技術(shù)研究 上海工程技術(shù)大學畢業(yè)設(shè)計論文 6 （ 3）有限元模型：有限元模型真實系統(tǒng)理想化的數(shù)學抽象。 然而在進行有限元分析之前，必須對將要分析的幾何模型進行網(wǎng)格離散，為保證計算的準確性，網(wǎng)格剖分需滿足原來的模型以及有限元分析的要求，所以有限元網(wǎng)格的合理剖分在有限元法中占據(jù)著重要的位置。在 Fortran 語言環(huán)境下將提取網(wǎng)格數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成有限元計算所需的網(wǎng)格數(shù)據(jù)。 有限元法是一種以計算機為手段，通過離散化將研究對象變換成一個與原始結(jié)構(gòu)近似的數(shù)學模型，再經(jīng)過一系列規(guī)范化的步驟以求解相應(yīng)參數(shù)的數(shù)值計算方法。對于實際上是直線或曲線的一維區(qū)域單元通常是短直線，如圖 （ a)。例如，若ejN是線性函數(shù)，則單元 e是線性單元。令（ ）式等于零，可得方程組 }0{}){}]{([1 ????? eeMe e bK ???????????????????（ ） 基于 Rhino 的有限元網(wǎng)格離散技術(shù)研究 上海工程技術(shù)大學畢業(yè)設(shè)計論文 11 在方程組（ ）式能求得定解 之前，必須應(yīng)用所需的邊界條件。這個最后步驟也稱為后處理過程，完全可以同其它步驟分開處理。還有變壓器及其他電力系統(tǒng)元件，如高壓線圈、輸電線電纜、接地系統(tǒng)、輸電線配電線的外部磁場、電暈等的分析。 Rhino 可以在 Windows 系統(tǒng)中建立、編輯、分析和轉(zhuǎn)換 NURBS 曲線、曲面和實體。建立的三棱體如圖 所示。 （ 5）網(wǎng)格布局 當實體模型的結(jié)構(gòu)形狀對稱時 ,為使其表現(xiàn)出這種對稱性 ,生成的網(wǎng)格最 好也保持對稱，動態(tài)分析時 ,實體的結(jié)構(gòu)形狀對稱 ,若生成的網(wǎng)格不保持對稱 ,那生成的網(wǎng)格質(zhì)量也不具有對稱性，利用集中質(zhì)量矩陣計算質(zhì)量分布時 ,采用圖 中的對稱網(wǎng)格 ,結(jié)果是對稱的；采用圖 中所示的不對稱網(wǎng)格 ,結(jié)果是不對稱的 ,這將不利于動力計算。 （ 3） 基于柵格法 基于柵格法的基本剖分流程如下：首先用一組不相交的尺寸相同或不同的柵格覆蓋在目標區(qū)域上面，保留完全或部分落在目標區(qū)域之內(nèi)的柵格，刪除完全落在目標區(qū)域之外的柵格；然后對與物體邊界相交的柵格進行調(diào)整、剪裁、再分解等操作，使其更準確地逼近目標區(qū)域；最后對內(nèi)部柵格和邊界柵格（特別是后者）進行柵格級的網(wǎng)格剖分，進而得到整個目標區(qū)域的有限元網(wǎng)格。另外，網(wǎng)格模板法對物體的方向較敏感。 三維空間中，網(wǎng)格剖分的單元主要有兩種：四面體單元和六面體單元，四面體網(wǎng)格簡單靈活，對復(fù)雜的邊界有較強的適應(yīng)能力，故成為三維有限元網(wǎng)格剖分中常用的單元，網(wǎng)格單元質(zhì)量的度量標準應(yīng)滿足以下原則：單元的旋轉(zhuǎn)、反射、平衡、均勻綻放都不應(yīng)該改變其度量值；當四面體的體積趨近于零時，其度量值也近似于零；當且僅當四面體是正面