【正文】 矢量運(yùn)算在多核心的 CPU 上實(shí)施是有效的。然而，可以進(jìn)一步改善 SPMV 的性能通過(guò)增加一個(gè)額外的矢量提供了有關(guān)基于 Rhino 的有限元網(wǎng)格離散技術(shù)研究 上海工程技術(shù)大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 48 下列內(nèi)容的信息的數(shù)量在每行中的非零點(diǎn)。其結(jié)果是，額外零的數(shù)量被確定通過(guò)切片的行之間最短和最長(zhǎng)的距離，而不是由整個(gè)矩陣的距離來(lái)確定。格式被稱(chēng)為 ELLRT，它是一個(gè)擴(kuò)張的 ELLR， ELLR 需要施加預(yù)處理 [24]。為了更好地執(zhí)行在一個(gè) GPU 上行數(shù)是程序塊尺寸的除數(shù)，否則就沒(méi)有全局存儲(chǔ)器的聯(lián)合訪問(wèn)。然而，從存儲(chǔ)器的角度來(lái)看，這種格式是非常有效的，因?yàn)闆](méi)有需要零填充。線程可以訪問(wèn) GPU 內(nèi)存幾種：全球記憶體（大，讀寫(xiě)延遲），共享內(nèi)存（片上，低延時(shí)，限每塊 16 KB），紋理內(nèi)存（低延遲，只讀），和寄存器（低延遲）。新方法不僅顯著降低多余的零填充，但它也允許一個(gè)實(shí)現(xiàn)SPMV 的性能，這等同于至今最好的結(jié)果報(bào)告。 可惜， Ellpack 的格式具有一個(gè)嚴(yán)重的缺點(diǎn)，即，它存儲(chǔ)一個(gè)矩陣一行接一行，每行包含相同數(shù)目的元素。這種方法，通常用于分析的復(fù)雜諧振器或的波導(dǎo)或解決電磁輻射和散射問(wèn)題 [11{16]，產(chǎn)生一個(gè)很大的稀疏的方程系統(tǒng)。該格式適用于計(jì)算電磁學(xué)中產(chǎn)生的大型稀疏、復(fù)值線性系統(tǒng)的加速迭代求解。 基于 Rhino 的有限元網(wǎng)格離散技術(shù)研究 上海工程技術(shù)大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 41 表 八個(gè)最低非零本征值),( 10 ?cmk和誤差，其各自有 n個(gè)未知量 模式 解析值 計(jì)算值 誤差（ %） N=308 N=506 N=380 N=506 101TM 111TE 110TM 011 211TE 4 結(jié)束語(yǔ) 有限元法作為一種成熟的分析方法，已廣泛應(yīng)用電磁學(xué)、力學(xué)等工程的各種問(wèn)題中。需要注意的是，并不是所有著更多未知量的本征 值是更好的。從階梯模型的邊界面的三角形擬合的效果來(lái)分析可得，并不是所有的形狀都是三角形的，其中還有長(zhǎng)方形的，如圖 ，如圖這說(shuō)明了，對(duì)階梯模型的剖分不全都是四面體單元，這與不符合四面體網(wǎng)格剖分中所有單元都必須是四面體單元的要求。 圖 邊界擬合圖 基于 Rhino 的有限元網(wǎng)格離散技術(shù)研究 上海工程技術(shù)大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 35 圓柱腔體 （ 1） 實(shí)例 2 是一個(gè)半徑為 ，高為 的圓柱腔體，對(duì)于圓柱腔體的建立，這里采用的是 Rhino 中由曲面到體的建模方法，先建一個(gè)圓形的曲面，再用 Rhino 中的由面到體的命令完成圓柱腔體的建模，如圖 所示。取消細(xì)分網(wǎng)格，并使用不對(duì)齊接縫頂點(diǎn)可以使轉(zhuǎn)換的網(wǎng)格有較多的四角網(wǎng)格面。 （ 8）細(xì)分網(wǎng)格：網(wǎng)格轉(zhuǎn)換開(kāi)始后， Rhino 會(huì)一直不斷地細(xì)分網(wǎng)格，直到網(wǎng)格符合最大角度、最小邊緣長(zhǎng)度、最大邊緣長(zhǎng)度及邊緣到曲面的最大距離的設(shè)置值。預(yù)設(shè)值為 0，設(shè)置值需依照物件的大小做調(diào)整。這個(gè)設(shè)置值大約是 起始四角網(wǎng)格面 邊緣的最大長(zhǎng)度。當(dāng)物件的形狀較為細(xì)長(zhǎng)時(shí)，可以將這個(gè)選項(xiàng)設(shè)為 0，建立的網(wǎng)格面的形狀可能會(huì)很細(xì)長(zhǎng)，您可以配合其它設(shè)置控制網(wǎng)格的平滑度。設(shè)置值越小，網(wǎng)格轉(zhuǎn)換越慢、網(wǎng)格越精確、網(wǎng)格面數(shù)越多。 在 Rhino 中網(wǎng)格剖分都是自動(dòng)完成的 ，因此我們只需要設(shè)置好網(wǎng)格的參數(shù)就行了。我們期望生成的網(wǎng)格 的質(zhì)量盡量高對(duì)。這種自動(dòng)計(jì)算網(wǎng)格的方法是一次生成一個(gè)單元，從區(qū)域的邊界向內(nèi)部逐漸生成全域網(wǎng)格。第二，根據(jù)得到的網(wǎng)格模板模型，再進(jìn)行網(wǎng)格剖分處理。最早提出的結(jié)點(diǎn)生成法是隨機(jī)布點(diǎn)法，該方法不能保證布點(diǎn)的均勻性，同時(shí)為了確定可用結(jié)點(diǎn)，要進(jìn)行點(diǎn)距檢查和多次試探 ,算法效率低。 幾何分解法的最大優(yōu)勢(shì)是離散時(shí)考慮了網(wǎng)格的形狀和大小，因此，所生成的網(wǎng)格單元形狀和分布比較好。但映射法處理曲面問(wèn)題很有效。 （ 4） 網(wǎng)格單元形狀 網(wǎng)格單元形狀的好壞對(duì)計(jì)算精度有著很大的影響 ,在網(wǎng)格剖分時(shí)應(yīng)保證合理的單元形狀 ,即使只有一個(gè)單元形狀很差或畸形 (畸形網(wǎng)格通常有單元結(jié)點(diǎn)交叉編號(hào)、結(jié)點(diǎn)重合、內(nèi)角大于 180176。故而，對(duì)有限元網(wǎng)格剖分的研究十分必要 有限元網(wǎng)格剖分的基本原則 （ 1） 網(wǎng)格數(shù)量 有限元分析計(jì)算的精確度和規(guī)模的大小與網(wǎng)格的數(shù)目有關(guān)。 圖 Rhino 中的基本幾何體 關(guān)于這些基本幾何體命令的使用，操作起來(lái)很簡(jiǎn) 單，因此只簡(jiǎn)單敘述下，見(jiàn)圖 所示。讀取和修復(fù)難以處理的 IGES 檔案。強(qiáng)大的曲面建造和優(yōu)質(zhì)的模型結(jié)構(gòu)，使得它能夠輕松自如的創(chuàng)建非常精確的工業(yè)產(chǎn)品、建筑、首飾、家具的三維模型。出現(xiàn)了相應(yīng)的一些新的方法。有近些年比較新的內(nèi)容。 （ 2） 共軛梯度法 共軛梯度法的基本思想是把共軛性與最速下降方法相結(jié)合，利用已知點(diǎn)處的梯度構(gòu)造一組共軛方向，并沿這組方向進(jìn)行搜素，求出目標(biāo)函數(shù)的極小點(diǎn)。 一旦解出}{?的方程組，就能計(jì)算出所需的參數(shù)。其次，將單元方程組對(duì)所有單元求和，得到方程組，這個(gè)過(guò)程叫做組合。所以，利用局部和全局編碼的關(guān)系，我們可以擴(kuò)展（ ）式，然后將它對(duì)每一單 元求和，得到 ?? ?? ???? Me eeeMe e bKRR 11 }{}]{[}{}{ ???????????????（ ） 式中，TnRRRRR ],[}{ 321 ??。 （ 1） 里茲方法的求解公式 讓我們考慮（ )式中的問(wèn)題。一旦選定了多項(xiàng)式的階數(shù)，我們就能導(dǎo)出一個(gè)單元未知解的表達(dá)式。再次有必要描述一下這些結(jié)點(diǎn)。在這一步驟中，全域Ω被分成許多小區(qū)域，用 e?（ e=1,2,3,? ,M)表示，這里 M 表示子域總數(shù)。在有限元法中，結(jié)點(diǎn)就是空間中的坐標(biāo)位置，它具有物理特性，且存在相互物理作用。把一個(gè)連續(xù)體分割成有限個(gè)單元，即把一個(gè)復(fù)雜的結(jié)構(gòu)看成由有限個(gè)通過(guò)結(jié)點(diǎn)相連的單元組成的整體，先進(jìn)行單元分析，然后再把這些單元組合起來(lái)代表原來(lái)的結(jié)構(gòu)，以得到復(fù)雜問(wèn)題的近似數(shù)值解。隨著計(jì)算機(jī)輔助前處理技術(shù)和計(jì)算機(jī)輔助后處理技術(shù)的發(fā)展，以及有限元法與計(jì)算機(jī)的結(jié)合，有限元法必將會(huì)獲得更廣泛的應(yīng)用。以及有限元網(wǎng)格剖分的研究，其中重點(diǎn)是對(duì)四面體網(wǎng)格自動(dòng)剖分進(jìn)行了研究和敘述，并提出了現(xiàn)今四面體網(wǎng)格單元質(zhì)量的度量準(zhǔn)則和幾種常用的算法。 （ 3）最后就是在運(yùn)用前面所提到有限元分析的基本求解步驟和網(wǎng)格剖分的基礎(chǔ)理論條件下，利用我們提取轉(zhuǎn)換的有限元計(jì)算所需的網(wǎng)格數(shù)據(jù)對(duì)矩形腔體模型進(jìn)行相關(guān)的有限元計(jì)算。因此，對(duì)有限元網(wǎng)格生成技術(shù)的分析和研究，對(duì)發(fā)展有限元技術(shù)及實(shí)用化有重要 的作用。所謂離散化就是將一個(gè)連續(xù)體分割成若干個(gè)通過(guò)結(jié)點(diǎn)相連的單元，這樣一個(gè)有無(wú)限個(gè)自 由度的結(jié)構(gòu)就變換成一個(gè)具有有限個(gè)自由度的近似結(jié)構(gòu)。每個(gè)單元的特性是通過(guò)一些線性方程來(lái)描述的。對(duì)于二維區(qū)域，單元通常是小三角形或矩形，如圖 （ b）。因?yàn)閰^(qū)域離散過(guò)程完全可以與其它步驟分開(kāi)，所以，通常將它當(dāng)作一項(xiàng)預(yù)處理工作。函數(shù)ejN的重要特征是：它們只有在單元 e內(nèi)才不為零，而在單元 e外均為零。將（ ）式代入（ ）式，可得到 }){}{}]{[}{21()~( eTeeeTeMe bKF ?????? ? ?????????????（ ） 通過(guò)求和運(yùn)算，并采用全局結(jié)點(diǎn)編碼，上式可寫(xiě)成 }{}{][}{21 bKF TT ???? ???????????????????（ ） 式中][K是 NN?對(duì)稱(chēng)矩陣； N 是未知量或結(jié)點(diǎn)總數(shù)；}{?是 1?N的未知向量，其中元素是未知展開(kāi)系數(shù)；}{b是 1?的已知向量。有兩類(lèi)邊界條件經(jīng)常出現(xiàn)：一是狄利克雷邊界條件，另一類(lèi)是齊次羅曼邊界條件。 方程組的求解 方程 組的求解是有限元分析的最后一步。 對(duì)電磁學(xué)以及其他工程領(lǐng)域中的許多問(wèn)題，有限元公式的最終結(jié)果是一組線性代數(shù)方程組如（ ）式那樣，有許多的算法可解（ ）式。在各種優(yōu)化算法中，共軛梯度法是非常重要的一種。也有一些研究項(xiàng)目，例如核磁共振成像系統(tǒng)磁體、磁流體發(fā)電、電池物體發(fā)射 以及電磁對(duì)人體影響等計(jì)算分析這些應(yīng)用各具特色，它們的計(jì)算分析方法也不盡相同。對(duì)于高頻場(chǎng)的處理有兩種方法：一種是類(lèi)似于渦流場(chǎng)情況 ，這是求解獲得的是對(duì)應(yīng)某個(gè)頻率下的場(chǎng)量分布；另一種專(zhuān)門(mén)用于高頻場(chǎng)的分析，即為特征值和特征矢量的計(jì)算。不受復(fù)雜度、階數(shù)級(jí)以及尺寸的限制。經(jīng)濟(jì)實(shí)惠普通的硬設(shè)備，容易上手，價(jià)格相當(dāng)于一 般的 Windows 軟件，并且不需額外的維護(hù)費(fèi)用。 圖 三角形 基于 Rhino 的有限元網(wǎng)格離散技術(shù)研究 上海工程技術(shù)大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 18 圖 三棱體 實(shí)體工具 實(shí)體工具集中主要是有三類(lèi)工具：布爾運(yùn)算工具、抽面工具、倒角工具。對(duì)于結(jié)構(gòu)形狀相對(duì)簡(jiǎn)單的實(shí)體模型選擇較多網(wǎng)格；相反，為了不降低計(jì)算的精確度而又要保證網(wǎng)格的數(shù)量不要過(guò)多，一般用分布式計(jì)算法或其他的方法降低模型的計(jì)算規(guī)模。 圖 網(wǎng)格對(duì)稱(chēng) 基于 Rhino 的有限元網(wǎng)格離散技術(shù)研究 上海工程技術(shù)大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 23 圖 網(wǎng)格不對(duì)稱(chēng) （ 6）結(jié)點(diǎn)和單元編號(hào) 網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)和網(wǎng)格單元的編號(hào)會(huì)影響結(jié)構(gòu)總剛度矩陣的帶寬與波前數(shù) ,從而影響計(jì)算時(shí)間和存儲(chǔ)空間的大小，合理的結(jié)點(diǎn)編號(hào)有利于提高計(jì)算速度和計(jì)算精度 ,這對(duì)于大型的復(fù)雜結(jié)構(gòu)更為重要。然而在實(shí)踐中仍有幾個(gè)難點(diǎn)需要克服：如何自動(dòng)地將復(fù)雜的不可映射的待剖分域分解成簡(jiǎn)單的可映射的子區(qū)域；如何滿(mǎn)足某些物理問(wèn)題中對(duì)網(wǎng)格疏密過(guò)渡的要求；如何滿(mǎn)足子區(qū)域之間的網(wǎng)格相容性要求。 這種方法預(yù)先產(chǎn)生網(wǎng)格模板，然后將要進(jìn)行網(wǎng)格化的物體加到其上，并在實(shí)體內(nèi)部盡可能多地填充規(guī)則的長(zhǎng)方體或正方體網(wǎng)格，在實(shí)體的 邊界上根據(jù)實(shí)體邊界的具體特征更改網(wǎng)格的形狀和相互連接關(guān)系，使邊界基于 Rhino 的有限元網(wǎng)格離散技術(shù)研究 上海工程技術(shù)大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 25 上的單元盡可能無(wú)限地逼近物體的邊界形狀。但恢復(fù)了邊界完整性的三角剖分并不能?chē)?yán)格滿(mǎn)足 Delaunay 準(zhǔn)則，因此稱(chēng)為約束 DT。 （ 6） 推進(jìn)波前法 近年來(lái)，推進(jìn)波前法也已經(jīng)成為目前最流行的通用的全自動(dòng)網(wǎng)格生成方法之一。 AFT 方法的特點(diǎn)之一是能夠在生成結(jié)點(diǎn)的同時(shí)生成單元，這樣就可以在生成結(jié)點(diǎn)時(shí)對(duì)結(jié)點(diǎn) 的位置加以控制，從而控制單元形狀、尺寸以達(dá)到質(zhì)量控制、局部加密及網(wǎng)格過(guò)渡的要求。下面介紹幾種常用的度量準(zhǔn)則： (1)半徑比 Rr/3?? ????????? ??????????? ??????（ ） 其中， r和 R分別為四面體內(nèi)切圓和外接圓的半徑，其表達(dá)式 43213 ssss Vr ???? ? ??????? ??????????? ????（ ） VacbbcacbacbaR 24 ))()()(( ????????? ?? ????????? ?（ ） 其中， 1s、 3s、 4是四個(gè)面的面積， a、 b、 c分別為對(duì)邊邊長(zhǎng)之積， V是四面體的體積。 基于 Rhino 的有限元網(wǎng)格離散技術(shù)研究 上海工程技術(shù)大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 29 圖 Rhino 網(wǎng)格 圖 網(wǎng)格簡(jiǎn)易設(shè)置界面 我們選擇網(wǎng)格簡(jiǎn)易設(shè)置界面上的高級(jí)控制，進(jìn)入高級(jí)手動(dòng)設(shè)置，如圖 所示。起始四角網(wǎng)格面大小較平均、這些四角網(wǎng)格面 的長(zhǎng)寬比會(huì)小于最大長(zhǎng)寬比的設(shè)置值。設(shè)置值越大，網(wǎng)格轉(zhuǎn)換越快、網(wǎng)格越不精確、網(wǎng)格面數(shù)較少設(shè)置為 0 代表停用這個(gè)選項(xiàng)。這個(gè)選項(xiàng)和物件的比例有關(guān)。也就是說(shuō)，每一個(gè)曲面轉(zhuǎn)換的網(wǎng)格面至少會(huì)是這個(gè)設(shè)置值的數(shù)目。取消這個(gè)選項(xiàng)時(shí)，未修剪的曲面與修剪過(guò)的曲面離開(kāi)修剪邊 緣的部分的網(wǎng)格面大小會(huì)比較平均。使用平面最簡(jiǎn)化時(shí)，平面的網(wǎng)格轉(zhuǎn)換除了不對(duì)齊接縫頂點(diǎn)以外，其它所有選項(xiàng)都會(huì)被忽略，并以最少的網(wǎng)格面轉(zhuǎn)換平面。網(wǎng)格剖分后從 Rhino 中的前視圖、頂視圖和右視圖，如圖 所示，分析可得，符合 四面體網(wǎng)格剖分的要求，這說(shuō)明對(duì)圓柱腔體實(shí)行四面體網(wǎng)格剖分是成功的。這個(gè)問(wèn)題可以通過(guò)前面推導(dǎo)的通用矢量有限元公式來(lái)分析。同樣的是兩者的相對(duì)介電常數(shù)和磁導(dǎo)率都等于 1。在網(wǎng)格離散技術(shù)的探討中，簡(jiǎn)單地介紹了網(wǎng)格剖分常用原則和常用的生成方法，在有限元計(jì)算方面由于時(shí)間和能力有限所以只對(duì)矩形腔體和圓柱腔體進(jìn)行電磁場(chǎng)方面的有限元計(jì)算。在速度方面的新格式以最快的速度成為迄今公布的最佳格式，同時(shí)它不引入多余的零元素，這種元素必須存儲(chǔ)以確?？焖賰?nèi)存訪問(wèn)。一些研究小組已經(jīng)證明， SPMV 操作可以更快的執(zhí)行在 GPU 上比在多核中央處理器（ CPUs）上 [2124]。在計(jì)算涉及只有非常有限的快速內(nèi)存（一般可達(dá) GB）的商 品 GPU（圖形處理器）時(shí)，這將成為一個(gè)問(wèn)題。在 CUDA 架構(gòu) [28]， GPU 的處理器被收集到多處理器。影響速度的第二個(gè)因素是明智地使用各種功能的 CUDA 架構(gòu)。在的 ELL 格式，壓縮的矩陣的每一行存儲(chǔ)兩個(gè)向量中的非零項(xiàng)的矢量和矢量的非零項(xiàng)的列指數(shù)（包括一些額外的零）。在 ELLR 格式里，對(duì)于雙精度和復(fù)雜的值的矩陣所需存儲(chǔ)字節(jié)的數(shù)量是： )4)()(2( 0m a x0m a x B ytesNNNB ytesNNRE L L ????????? （ 2） 其中： maxN—— 數(shù)最長(zhǎng)行中的非零項(xiàng)。相比于 ELL