【導讀】密碼學的出現(xiàn)和成長都與科技飛速發(fā)展及各類大小戰(zhàn)爭脫離不了關系，在它。密碼學普遍被認為是數(shù)學的一個分支，而橢圓曲線作。實際應用的道路。本文主要是在前人的基礎之上，對密碼學中的一個分支即橢。圓曲線密碼學進行相關的研究討論。本文的框架結構是：第一部分是前言；第二。部分主要介紹密碼學的基本概念以及分類。比方說如果按照歷史的發(fā)展時間來分。以將其劃分成對稱密碼和非對稱密碼[1]，其中公開密鑰密碼就屬于非對稱密碼，比如使用較為廣泛的RSA算法以及本文將著重研究討論的橢圓曲線密碼算法；曲線，而是在平面上光滑的三次曲線；在第四部分中介紹的內容是本文的核心，己的見解和看法。有得到授權的人，無法截獲信息理解消息的真實含義。為避免這種情況發(fā)生可以。其中每個密鑰K都是由。明文空間M中的每個明文M都可以在密鑰Ke的控制下通過加密算法。其中E是加密算法，,iMin?還有一種分類也是最廣為流傳的分類方法就是將密碼從時間的維度上劃分，

　　

【正文】 曲線時有很多的選擇所以 初始化的選擇空間就很大。 基于以上的這些優(yōu)點，橢圓曲線密碼體制在實際中的應用十分廣泛，比如虛擬專用網絡 VPN 安全隧道方面由于要考慮到計算機存儲和資源方面對嵌入式應用的局限性，依據 ECC 加密解密速度較快、節(jié)省帶寬和節(jié)省所需要的存儲資源的特點可以選擇使用橢圓曲線密碼體制設計應用于身份鑒別中，在網絡的通信中必須要高效率的對數(shù)據信息進行加密，而 ECC 的快速處理速度可以使通信不再受限于存儲 的容量大小和計算能力的高低。除此之外，橢圓曲線密碼體制在數(shù)字簽名等需要高加密速度的方面也能快速實現(xiàn)安全高效的加密、簽名。 數(shù) 字 簽名 數(shù)字簽名的原理 簽名實際上就是證明簽名人的身份和數(shù)據信息的真實性的一種信息，所以簽名有不同的方式，比如傳統(tǒng)的簽名就是以書面為介質將手簽或手印或印章等作為簽名，這種書面形式的簽名是具有法律效應的，但是在現(xiàn)在計算機廣泛使用的大環(huán)境中計算機文件成為事務處理方式的基礎，此時就需要采用電子形式的簽名也就是數(shù)字簽名。由于電子商務系統(tǒng)、電子政務系統(tǒng)及電子金融系統(tǒng)都得到了廣泛的應用，那么數(shù)字簽名的問題就顯現(xiàn)的更加重要了，如果數(shù)字簽名問題不能有效的解決，那么這些重要的電子系統(tǒng)就都不能實際的應用于生活之中 了。 要使一種簽名十分完善就要滿足三個條件，首先是簽名不能由任何除本人外的人偽造出來，第二是簽名者不能不承認自己的簽名行為，最后一個條件就是一旦當事人雙方產生關于簽名真?zhèn)蔚臓巿?zhí)，簽名是可以由仲裁者或仲裁機構驗證確認出真?zhèn)蔚?[8]。雖然書面密碼能滿足這樣的條件，但是數(shù)字簽名因為利用了密碼體制的高安全性能所以具有更高的安全性。對于數(shù)字簽名來說，傳統(tǒng)的密碼也能進行數(shù)字簽名但卻不能達到與書面簽名同樣的效果也就是并不實用，所以公開密鑰密碼在數(shù)字簽名中的使用就十分受歡迎。 一個數(shù)字簽名的體制要包括兩個部分施加簽名及驗證 簽名，我們假設施加簽名的算法是 SIG ，將要被簽名的數(shù)據信息是 M ，產生的密鑰是 K ，簽名信息是 S ，驗證簽名的算法是 VER ，所以就有 ( , )SIG M K S? 即得到簽名信息，然后驗證簽名鑒別簽名信息的真?zhèn)渭? ( , )( , ) ( , )T U R E S S IG M KV E R S K F A L S E S S IG M K??? ? ?? 。 天津科技大學 2020屆本科生畢業(yè)論文 27 以 橢圓曲線 密 碼體 制 為基礎設計 的 數(shù) 字 簽名 首先，給出一組能夠有效地驗證橢圓曲線的參數(shù) ( , , , , , )T p a b G n h? 其中 p 表示一個大素數(shù)， ,ab兩個元素和 p 一起確定了有限域 F 中的一條橢圓曲線 E ， G 是在橢圓曲線上選取的一個基點， n 是一個素數(shù)并且等于它的階數(shù)， h被稱為余因子是通過將橢圓曲線上所有的點的個數(shù)與 n 相除得到的整數(shù)部分，在[1, 1]n? 的范圍中選取任意的一個數(shù) d 作為用戶的保密密鑰，再計算 =QdG 作為用戶公開的密鑰 [8]。把 ( , , , , , , , )K p a b G n h d Q? 作為數(shù)字簽名過程中的密鑰。 參數(shù)選取后可以進行 數(shù)字簽名的簽字過程：將明文信息編碼到橢圓曲線上的一個點，選擇在 [1, 1]n? 范圍中的任意一個整數(shù) t 計算 = ( , )1 1 1C tG x y? ， 也就是將數(shù)據信息裝換成數(shù)，計算 [ ] ( , )22h Pb x y? 如果結果是無窮遠點就重新選取整數(shù) t 再計算，然后計算 ( || , )22K Pk x y L? ， =+2C M K ， ( || || )3 2 2C f x M y? 并將結果 || ||1 2 3C C C C? 作為密文發(fā)送，此時便完成了簽字的過程 [8]。 當另一位用戶收到密文后進行 驗證簽名 的 過程，具體如下：首先將收到的密文分離出 1 2 3C C C， ， ，驗證 1C 是不是滿足橢圓曲線的方程如果不滿足則證明改簽名是無效的，如果滿足就進行下一步將計算 []1S hC? ， 如果計算出的點 S 是無窮遠點也證明該簽名是無效的，如果不是則繼續(xù)驗證過程，計算 [ ] ( , )1 2 2db C x y? ， ( || , )22K Pk x y L? ， 39。= 2M C K? ， 最后計算 天津科技大學 2020屆本科生畢業(yè)論文 28 ( || || )22Z f x M y? 驗證結果如果和 3C 不相等就證明簽名是無效的，否則就是有效的，將最后的 39。= 2M C K? 輸出作為明文信息 [8]，至此也就完成了數(shù)字簽名中的驗證簽名環(huán)節(jié)。 智能卡 智能卡的 簡 介 隨著移動網絡時代的發(fā)展， ECC 憑借自身的優(yōu)點決定了它在一些掌上型設備上的重要作用。而作為電子媒介的主要形式出現(xiàn)在人們日常生活中的智慧卡就是一個很好的例子。 智能卡 也被稱為 IC 卡或者微芯片卡，它是以 IC 卡技術為中心將計算機技術和通信技術作為手段將內部各部分聯(lián)系在了一 起成為一個整體的集成電路卡，使用智能卡的用戶就能通過一張卡片完成日常的活動，比如購物就餐、會議辦公、娛樂服務等 [9]，再也不必像以前一樣帶著多把鑰匙多種證件了。這樣不僅方便了人們的生活也方便了一體化的管理。對我們而言最為熟悉的智慧卡大概就是校園智慧一卡通了，除此之外還有小區(qū)智能一卡通、智能大廈一卡通等。 智能卡的功能主要可以歸為四類：第一種是身份識別，通過智慧卡里面含有的微電腦系統(tǒng)對數(shù)據信息進行數(shù)學計算來識 別身份；第二種是加密解密的功能，這一點主要用于網絡消費中，網絡消費最重要的就是交易雙方的身份信息的真實性 [9]、數(shù)據信息的完整性以及交易的合法性，所以 ECC 應用在網絡消費中不僅是錦上添花更是為節(jié)省網絡通訊成本做出了不小的貢獻；第三就是支付的功能，通過智能卡內部的計數(shù)器替代成貨幣等數(shù)據；最后一種就是信息，比如 SIM 卡中儲存信息的功能等。 由于智慧卡具有體積小便于攜帶、安全性高和一定的數(shù)據信息存儲能力、處理能力等特點，從而在電子交易中有十分廣泛的應用，但是又因為存儲數(shù)據信息的容量和計算的速度有限，對其進行加密操 作時使用的密鑰一定要盡可能的短，這樣才能做到實用有效。智能卡的數(shù)據傳送速度相對較慢就必須使基本的數(shù)據單元盡量小而這樣才能減少智慧卡與智慧卡的終端之間的數(shù)據流量盡量少一點。將ECC 應用在智慧卡中有許多的優(yōu)勢，比如很方便生成所需要的私鑰和公鑰，還可以節(jié)省帶寬、節(jié)省處理時間、節(jié)省存儲的空間。 ECC 的使用可以彌補智能卡硬件設施不足的局限性，同時還可以降低生產成本并提高實際使用的效果。 橢圓曲線密碼體制在智能卡中應用的原理 橢圓曲線應用于密碼學中的每一種公鑰密碼體制的原理基本都包括了選取的橢圓曲線的參數(shù)域 所卻確定出的有限域上的運算 [9]。智能卡安全方面的設計主要包括兩個部分：用戶鑒別 PIN 和信息傳遞的過程。而以前傳統(tǒng)的對用戶進行天津科技大學 2020屆本科生畢業(yè)論文 29 身份鑒別的 PIN 不僅抵御攻擊的能力差，而且容易暴露信息，因此可以選擇橢圓曲線加密算法完成對用戶身份的驗證操作。 首先給出一組能夠有效地驗證橢圓曲線的參數(shù) ( , , , , , )T F a b P n h? 其中 F 表示一個有限域， ,ab兩個元素是由有限域 F 中選取的一條橢圓曲線所指定， P 是在有限域中選取的一個基點， n 是一個素數(shù)并且等于它的階， h 被稱為余因子， 終端 B 隨機的選取一個整數(shù)作為自己的密鑰用 KB 來表示，再通過計算 Q K PBB? 將其作為 自己的公開密鑰，智能卡作為用戶 A 隨機地選取一個整數(shù)作為自己的保密密鑰 KA ，同樣通過計算 Q K PAA? 并將其作為自己的公開密鑰，用戶 A 對數(shù)據信息 M 進行分組將它變?yōu)橛邢抻蛏系拿魑男畔K m 再對其編碼使它成為有限域上橢 圓曲線上的點 Pm ，之后將分組后編碼過的信息進行加密的計算并發(fā)送 { , }Q P K QA m A B? 給終端，終端使用自己的保密密鑰進行解密計算的操作即恢復出 Pm ， ()P P K K P K K Pm m A B B A? ? ?。 去掉點 Pm 的最低的一個字節(jié)也就是恢復出明文信息塊 m [9]。 下面給出 使用橢圓曲線密碼體制驗證智能卡身份信息的流程，如圖 51。 天津科技大學 2020屆本科生畢業(yè)論文 30 圖 51智能卡 PIN驗證 身份信息的流程 在驗證用戶身份信息的過程中，減少了 PIN 暴露信息的可能性因為 PIN 的比較過程放在了智慧卡的內部來完成，同時由于橢圓曲線密碼算法的應用，節(jié)約了存儲的空間和所需要的帶寬，提高了智慧卡的實用性并滿足了所需要的安全性能的要求。 指紋加密 背景 及原理 隨著近幾年科技的發(fā)展，尤其是生物特征識別技術的逐步成熟，通過利用生物 體本身具有唯一穩(wěn)定不 變性的特征 將其運用到 確保 信息安全 的領域，指紋加密技術就是生物識別技術與信息安全融洽結合的最好體現(xiàn)。 由于生物特征的唯一性不是 終端 產生隨機數(shù) 鍵入 PIN ﹢ 密碼計算 ( , )M f N PIN K A?? 提交計算結果 ,MAK 解密的計算 39。 39。( , )N f M KA? 檢查過程 39。N N PIN?? 是 注： ,39。ff為加密 和解密的函數(shù) 天津科技大學 2020屆本科生畢業(yè)論文 31 就可以保證使用指紋信息進行身份驗證會比其他方案有更高的安全性、準確性。 指紋采集端 和指紋 認證端 是分開工作的，它們 之間 通過網絡傳輸數(shù)據信息，這也是指紋識別認證系統(tǒng)中的一個特點。 首先是采集指紋信息的過程， 用戶 通過提取 指紋的 儀 器完成該步驟 ， 然后再將指紋信息的 數(shù)字圖像傳 送 給計算機 。之后計算機完成指紋 特征 的采集工作，并 將指紋 的數(shù)字 圖像轉換成 即將進行加密操作的 特征序列 。此時就可以將加密后的信息傳送到指紋 認證的終端了，在終端完成對應的解密操作、指紋特征的對比操作，最后將對比的結果返回，也就是完成了一次通過網絡對指紋身份的識別認證操作。 該方案與上文中介紹的 EIGamal 方案 的原理基本相同， 具體如下： 首先選取有限域上的一條橢圓曲線 E ，并在橢圓曲線上選取一個基點 P ， 它的階是 n ， 選取一個數(shù) k 作為私鑰，并通過橢 圓曲線上點的乘法運算計算 Q kP? 作為公鑰，然后將這條橢圓曲線和 ,PQ兩點傳送至客戶端， 客戶端將采集到的指紋信息編碼到這條橢圓曲線上作為該曲線上的一個點 M ，同時隨機的選取一個整數(shù) ()rr n? 并計算 1C M rQ??， 2C rP? 作為加密后的 數(shù)據信息，將加密后的密文傳送給終端，在終端計算 12C kC? 得到的結果就是點 M [10]，原因是： ( ) ( )12C k C M r Q k r P M r Q r k P M r Q r Q M? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。 最后將點 M 解碼就能夠得到在客戶端采集的指紋信息，然后進行比對等操作。 方案的優(yōu)缺點 該方案的優(yōu)點主要體現(xiàn)在指紋的唯一性決定了較高的安全性 ，也就是說其他的加密方式也能夠達到同樣安全的效果。換言之， 這個方案的安全性并不取決于加密算法的復雜程度，而是取決于加密的數(shù)據信息的安全強度。 但是， 與其他的加密方式相比橢圓曲線使用 較少、 較小的參數(shù)完成過程，尤其與 RSA 算法相比計算過程 更不 易出錯 ，所以使用橢圓曲線密碼體制進行加密還是比較高效的。 橢圓曲線密碼體制與 RSA 密碼體制在實際應用中的比較 橢圓曲線密碼算法和 RSA 算法相比最大的優(yōu)點就是不需要計算橢圓曲線有理點群的離散對數(shù)問題的子指數(shù)算法，也就是說當在同等安全的條件下，橢圓曲線密碼算法可以選擇比 RSA 算法更小的參數(shù)進行加密解密操作 [8]。同時橢圓曲線密碼 算法將實數(shù)域中乘法的運算和指數(shù)的運算映像成了橢圓曲線上加法的運天津科技大學 2020屆本科生畢業(yè)論文 32 算 [9]。綜上所述，橢圓曲線密碼體制更實用、更容易、更安全，同時成本也更低。 將兩種算法作比較可以發(fā)現(xiàn)， RSA 算法的過程不僅復雜還必須嚴格保密，對于素數(shù)的產生和檢測的計算過程容易產生錯誤；而橢圓曲線密碼算法雖然生成的參數(shù)復雜但是不需要保密甚至還可以對外公布，不過雖然保密的密鑰生成復雜但是計算公鑰很容易。 橢圓曲線密碼體制具有橢圓曲線豐富、不易被破解、不需要大量的參數(shù)參與計算及不占用大量存儲空間的優(yōu)勢 。比如 在數(shù)字簽名中 完成 各部分 的效率方面進行比較， RSA 算法 是幾乎不會 受到密鑰位數(shù)變化的影響，一直都 可以 保持著很快的驗證速度，相反地， ECC 算法受到的影響很劇烈，與 RSA 算法受影響程度相比有很大的差距。 在使用超過 一定的密鑰位數(shù) 的范圍中 ，隨著密鑰位數(shù)逐漸地增大ECC 算法就會越優(yōu)于 RSA 算法 [6]。 對于相同使用量的參數(shù)，橢圓曲線密碼體制在每一比特的加密解密過程中都擁有更大的強度，并且所需要的參數(shù)規(guī)模也較小，這在實際的應用中是具有很大優(yōu)勢的。橢圓曲線雖然子在一個 有限域中只有有限的幾個乘法子群，但是卻有很高的安全性能，所以成 為公鑰密碼學中 應用 廣泛 的新體制。