【導(dǎo)讀】1．通過實(shí)例，理解等比數(shù)列的概念；2．探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的公式；3．能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題。等比數(shù)列與等差數(shù)列同樣在高考中占有重要的地位，是高考出題的重點(diǎn)。用，對(duì)基本的運(yùn)算要求比較高，解答題大多以數(shù)列知識(shí)為工具。題型以等比數(shù)列的公式、性質(zhì)的靈活應(yīng)用為主的1~2道客觀題目；關(guān)于等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用問題或知識(shí)交匯題的解答題也是重點(diǎn)；等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論等，它將能靈活考察考生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力。公比依次是2，5，21?。2．等比數(shù)列通項(xiàng)公式為：)0(111?????一般地，設(shè)等比數(shù)列123,,,,,naaaa的前n項(xiàng)和是?nn，正確判斷數(shù)列{an}是等差數(shù)列或等比數(shù)列，都必須用上述關(guān)系式，尤其注意首項(xiàng)與其他各項(xiàng)的關(guān)系。因此c22≠c1²c3，故｛｝不是等比數(shù)列。證明：記rn為圓On的半徑，則r1=2ltan30°=l63。

　　

【正文】 ），記 Sn是數(shù)列｛ an｝的 前 n項(xiàng)和，試比較Sn與 21 lgbn+1的大小，并證明你的結(jié)論。 解析：（ 1）設(shè)等差數(shù)列｛ an｝的公差為 d，則 Sn=na1＋ 21 n（ n－ 1） d．∴ S7＝ 7， S15＝ 75， ∴??? ?? ?? ,7510515 ,721711 da da 即 ??? ?? ?? ,57 ,1311 da da 第 20 頁(yè) 共 25 頁(yè) 解得 a1＝－ 2， d＝ 1．∴nSn＝ a1＋ 21 （ n－ 1） d＝－ 2＋ 21 （ n－ 1）。 ∵2111 ???? nSnS nn， ∴數(shù)列｛nSn｝是等差數(shù)列，其首項(xiàng)為－ 2，公差為 21 ， ∴ Tn＝41n2－49n． （ 2）（Ⅰ）設(shè)數(shù)列｛ bn｝的公差為 d，由題意得?????????.1002 )110(1010,111dbb 解得??? ??.2,11db ∴ bn=2n－ 1. （Ⅱ）由 bn=2n－ 1，知 Sn=lg（ 1+1） +lg（ 1+31 ） +? +lg（ 1+ 121?n ） =lg［（ 1+1）（ 1+31 ）?（ 1+ 121?n ）］， 21 lgbn+1=lg 12 ?n . 因此要比較 Sn與 21 lgbn+1的大小，可 先比較（ 1+1）（ 1+31 ）?（ 1+ 121?n ）與 12 ?n的大小 . 取 n=1，有（ 1+1）＞ 112 ?? ， 取 n=2，有（ 1+1）（ 1+31 ）＞ 122 ?? ，?? 第 21 頁(yè) 共 25 頁(yè) 由此推測(cè)（ 1+1）（ 1+31）?（ 1+121?n）＞ 12 ?n .① 若①式成立，則由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)可斷定： Sn＞ 21 lgbn+1。 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明①式。 （ i）當(dāng) n=1 時(shí)已驗(yàn)證①式成立。 （ ii）假設(shè)當(dāng) n=k（ k≥ 1）時(shí)，①式成立，即（ 1+1）（ 1+31）?（ 1+121?k）＞ 12 ?k . 那么，當(dāng) n=k+1時(shí)，（ 1+1）（ 1+31）?（ 1+121?k）［ 1+1)1(2 1 ??k］＞ 12 ?k 178。（ 1+121?k） = 12 12??kk （ 2k+2）。 ∵［ 12 12??kk （ 2k+2）］ 2－（ 32 ?k ） 2 ＝ 012 112 )384(484 22 ???? ????? kk kkkk ， ∴ .1)1(232)22(12 12 ???????? kkkkk . 因而 .1)1(2)12 11)(12 11()311)(11( ????????? kkk? 這就是說①式當(dāng) n=k+1 時(shí)也成立 . 由（ i），（ ii）知①式對(duì)任何正整數(shù) n都成立 . 由此證得： Sn＞ 21 lgbn+1。 評(píng)述：本題主要考查等差數(shù)列的求和公式的求解和應(yīng)用，對(duì)一些綜合性的問題要先理清思路再行求解。 題型 7：等差數(shù)列的性質(zhì)及變形公式 例 13．（ 1）（ 2020上海春， 16）設(shè)｛ an｝（ n∈ N*）是等差數(shù)列， Sn是其前 n項(xiàng)的和，第 22 頁(yè) 共 25 頁(yè) 且 S5＜ S6， S6＝ S7＞ S8，則下列結(jié)論 錯(cuò)誤 ． ． 的是（ ） ＜ 0 ＝ 0 ＞ S5 與 S7均為 Sn的最大值 （ 2）（ 1994 全國(guó)理， 12）等差數(shù)列 {an}的前 m 項(xiàng)和為 30，前 2m 項(xiàng)和為 100，則它的前 3m項(xiàng)和為（ ） 解析：（ 1）答案： C； 由 S5S6 得 a1+a2+a3+? +a5a1+a2+? +a5+a6，∴ a60， 又 S6=S7，∴ a1+a2+? +a6=a1+a2+? +a6+a7，∴ a7=0， 由 S7S8，得 a80，而 C 選項(xiàng) S9S5，即 a6+a7+a8+a90? 2（ a7+a8） 0， 由題設(shè) a7=0， a80，顯然 C 選項(xiàng)是錯(cuò)誤的。 （ 2）答案： C 解法一：由題意得方程組?????????????1 002 )12(22302 )1(11dmmmadmmma， 視 m為已知數(shù)，解得212 )2(10,40 mmamd ???， ∴ 210402 )13(3)2(1032 )13(3322113 ???????? mmmmmmdmmamaS m。 解法二：設(shè)前 m項(xiàng)的和為 b1，第 m+1 到 2m 項(xiàng)之和為 b2，第 2m+1 到 3m項(xiàng)之和為b3，則 b1， b2， b3 也成等差數(shù)列。 于是 b1=30， b2=100－ 30=70，公差 d=70－ 30=40。 ∴ b3=b2+d=70+40=110 ∴前 3m項(xiàng)之和 S3m=b1+b2+b3=210. 解法三：取 m=1，則 a1=S1=30， a2=S2－ S1=70，從而 d=a2－ a1=40。 于是 a3=a2+d=70+40=110.∴ S3=a1+a2+a3=210。 點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的基本知識(shí)，及靈活運(yùn)用等差數(shù)列解決問題的能力，解法二中是利用構(gòu)造新數(shù)列研究問題，等比數(shù)列也有類似性質(zhì) .解法三中，從題給選擇支獲得的信息可知，對(duì)任意變化的自然數(shù) m，題給數(shù)列前 3m 項(xiàng)的和是與 m 無關(guān)的不變量，在含有某種變化過程的數(shù)學(xué)問題，利用不變量的思想求解，立竿見影。 例 14．（ 2020 上海， 21）在 XOY 平面上有一點(diǎn)列 P1（ a1， b1）， P2（ a2， b2），?，Pn（ an， bn），?，對(duì)每個(gè)自然數(shù) n，點(diǎn) Pn位于函數(shù) y=2020（ 10a ） x（ 0＜ a＜ 10＝的圖象第 23 頁(yè) 共 25 頁(yè) 上，且點(diǎn) Pn、點(diǎn)（ n， 0）與點(diǎn)（ n+1， 0）構(gòu)成一個(gè)以 Pn為頂點(diǎn)的等腰三角形。 （Ⅰ）求點(diǎn) Pn的縱坐標(biāo) bn的表達(dá)式； （Ⅱ）若對(duì)每個(gè)自然數(shù) n，以 bn， bn＋ 1， bn＋ 2為邊長(zhǎng)能構(gòu)成一個(gè) 三角形，求 a的取值范圍； （Ⅲ）（理）設(shè) Bn＝ b1， b2? bn（ n∈ N） .若 a?。á颍┲写_定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，求數(shù)列｛ Bn｝的最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)。 （文）設(shè) ＝ lg（ bn）（ n∈ N） .若 a?。á颍┲写_定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，問數(shù)列｛ ｝前多少項(xiàng)的和最大 ?試說明理由。 解析： .解：（Ⅰ）由題意， an＝ n＋ 21 ，∴ bn＝ 2020（10a） 21?n 。 （Ⅱ）∵函數(shù) y=2020（10a） x（ 0＜ a＜ 10）遞減， ∴對(duì)每個(gè)自然數(shù) n，有 bn＞ bn＋ 1＞ bn＋ 2 則以 bn， bn＋ 1， bn＋ 2為邊長(zhǎng)能構(gòu)成一個(gè)三角形的充要條件是 bn＋ 2＋ bn＋ 1＞ bn， 即（ 10a ） 2＋（ 10a － 1）＞ 0， 解得 a＜－ 5（ 1＋ 5 ）或 a＞ 5（ 5 － 1）， ∴ 5（ 5 － 1）＜ a＜ 10． （Ⅲ）（理）∵ 5（ 5 － 1）＜ a＜ 10， ∴ a=7， bn＝ 2020（ 107 ） 21?n 。 數(shù)列｛ bn｝是一個(gè)遞減的正數(shù)數(shù)列 .對(duì)每個(gè)自然數(shù) n≥ 2， Bn＝ bnBn－ 1。 于是當(dāng) bn≥ 1 時(shí)， Bn≥ Bn－ 1，當(dāng) bn＜ 1 時(shí)， Bn＜ Bn－ 1， 因此，數(shù)列｛ Bn｝的最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù) n滿足不等式 bn≥ 1 且 bn＋ 1＜ 1。 由 bn＝ 2020（ 107 ） 21?n ≥ 1，得 n≤ ，∴ n=20。 （文）∵ 5（ 5 － 1）＜ a＜ 10，∴ a=7， bn＝ 2020（ 107 ） 21?n 。 第 24 頁(yè) 共 25 頁(yè) 于是 ＝ lg［ 2020（107） 21?n ］＝ 3＋ lg2（ n＋ 21 ） 數(shù)列｛ ｝是一個(gè)遞減的等差數(shù)列 . 因此，當(dāng)且僅當(dāng) ≥ 0，且 ＋ 1＜ 0 時(shí)，數(shù)列｛ ｝的前 n項(xiàng)的和最大。 由 ＝ 3＋ lg2＋（ n＋ 21 ） lg0． 7≥ 0， 得 n≤ ，∴ n=20。 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的解析式，函數(shù)的性質(zhì)，解不等式，等差、等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)，及等價(jià)轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法 . 五．思維總結(jié) 1． 數(shù)列的知識(shí)要點(diǎn)： （ 1）數(shù)列是特殊的函數(shù)，數(shù)列是定義在自然數(shù)集 N（或它的有限子集｛ 1， 2， 3，?，n，?｝）上的函數(shù) f（ n），當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值： f（ 1）， f（ 2），f（ 3）， ?， f（ n），?。數(shù)列的圖象是由一群孤立的點(diǎn)構(gòu)成的。 （ 2）對(duì)于數(shù)列的通項(xiàng)公式要掌握：①已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，就可以求出數(shù)列的各項(xiàng)；②根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，這是一個(gè)難點(diǎn)，在學(xué)習(xí)中要注意觀察數(shù)列中各項(xiàng)與其序號(hào)的變化情況，分解所給數(shù)列的前幾項(xiàng)，看看這幾項(xiàng)的分解中．哪些部分是變化的，哪些是不變的，再探索各項(xiàng)中變化部分與序號(hào)的聯(lián)系，從而歸納出構(gòu)成數(shù)列的規(guī)律，寫出通項(xiàng)公式；③一個(gè)數(shù)列還可以用遞推公式來表示；④在數(shù)列｛ an｝中，前 n 項(xiàng)和 Sn 與通項(xiàng)公式 an 的關(guān)系，是本講內(nèi)容一個(gè)重點(diǎn)，要認(rèn)真掌握之。 即 an＝??? ???? )2()1(11 nSS nSnn。特別要注意的是，若 a1 適合由 an＝ Sn－ Sn－ 1（ n≥ 2）可得到的表達(dá)式，則 an 不必表達(dá)成分段形式，可化統(tǒng)一為一個(gè)式子。 2．等差數(shù)列的知識(shí)要點(diǎn)： （ 1）等差數(shù)列定義 an＋ 1－ an＝ d（常數(shù)）（ n ?N），這是證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的依據(jù)，要防止僅由前若干項(xiàng)，如 a3－ a2＝ a2－ a1＝ d（常數(shù)）就說｛ an｝是等差數(shù)列這樣的錯(cuò)誤，判斷一個(gè)數(shù)列是否是等差數(shù)列。還可由 an＋ an＋ 2＝ 2 an＋ 1 即 an＋ 2－ an＋ 1＝ an＋1－ an 來判斷。 （ 2）等差數(shù)列的通項(xiàng)為 an＝ a1＋（ n－ 1） d．可整理成 an＝ an＋（ a1－ d），當(dāng) d≠ 0時(shí)， an 是關(guān)于 n 的一次式，它的圖象是一條直線上，那么 n 為自然數(shù)的點(diǎn)的集合。 （ 3）對(duì)于 A 是 a、 b 的等差中項(xiàng)，可以表示成 2 A＝ a＋ b。 （ 4）等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式 Sn＝ 21 naa? 178。 n－ na1＋ 2 )1( ?nn d，可以整理成 Sn＝ 2d n2＋ nda )2(1?。當(dāng) d≠ 0 時(shí)是 n 的一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為 0 的二次式。 （ 5） 等差數(shù)列的判定方法： ①定義法：對(duì)于數(shù)列 ??na ，若 daa nn ???1 (常數(shù) )，則數(shù)列 ??na 是等差數(shù)列； 第 25 頁(yè) 共 25 頁(yè) ②等差中項(xiàng)：對(duì)于數(shù)列 ??na ，若 212 ?? ?? nnn aaa ，則數(shù)列 ??na 是等差數(shù)列。 3．等差數(shù)列的性質(zhì)： （ 1）在等差數(shù)列 ??na 中，從第 2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)是它相鄰二項(xiàng)的等差中項(xiàng)； （ 2）在等差數(shù)列 ??na 中，相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是 AP ， 如： 1a ， 3a ， 5a ，7a ，??； 3a ， 8a ， 13a ， 18a ，??； （ 3 ） 在等 差數(shù)列 ??na 中 ，對(duì) 任意 m ， nN?? ， ()nma a n m d? ? ? ，nmaad nm?? ? ()mn? ； （ 4）在等差數(shù)列 ??na 中，若 m ， n ， p ， qN?? 且 m n p q? ? ? ，則m n p qa a a a? ? ?； 5． 說明：設(shè)數(shù)列 {}na 是等差數(shù)列，且公差為 d ，（ Ⅰ ）若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，設(shè)共有 2n 項(xiàng)，則 ① S 奇 ? S 偶 nd? ； ② 1nnS aSa??奇偶； （ Ⅱ ）若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，設(shè)共有 21n? 項(xiàng)，則 ① S偶 ? S 奇 naa??中 ； ②1S nSn? ?奇偶。 6．（ 1） 1 0a? ， 0d? 時(shí)， nS 有最大值； 1 0a? ， 0d? 時(shí)， nS 有最小值；（ 2） nS最值的求法： ① 若已知 nS ，可用二次函數(shù)最值的求法（ nN?? ）； ② 若已知 na ，則 nS 最值時(shí) n 的值（ nN?? ）可如下確定100nnaa???? ??或100nnaa???? ??。