【導讀】質量Ｍ＝的小球靜置于垂直柱上，柱高ｈ＝5m。粒質量ｍ＝、以速度0v＝500m/s飛行的子彈水平地穿過球心。球落在距離柱s＝20m的地面上。度.兩者的飛行時間都是??這表明原來動能的%被系統(tǒng)吸收而變?yōu)闊崮?。這種碰撞不是完全非彈性碰撞。撞的情形下，動能是守恒的。而如果是完全非彈性碰。撞，子彈將留在球內。個電阻均為r，求Ａ、Ｂ兩點間的總電阻。放在水平面上的球重心升。以細線懸掛的球與之相反。從包含一方放熱和另一方吸熱的方程中可算出石油的比熱。兩條溫度曲線起始點。的切線斜率與比熱成反比關系，據(jù)此可以測定石油的比熱。０℃的干燥空氣10升，加入3克水后將系統(tǒng)加熱到100℃，求容器的壓強。解：在100℃時，全部水都處于汽相。求放開物體后的加速度。摩擦系數(shù)μ＝，忽略軸承的摩擦和滾動摩擦。均勻圓柱體的轉動慣量為221rmI?的α3值與已得出的α2值相同。度為1000C的甲苯，兩體積之和為410cm3。＝V10＋V20＋β（dtmdtm2211?

　　

【正文】 這個值應等于最小的能量子 42mvE?? 因此 ????mEvm/s 非彈性碰撞后，兩個原子的速度為 ??v m/s 本題第二問的解答與多普勒效應有聯(lián)系。對于比光速小很多的速度，相對速度之比給出頻率相對變化的極好近似： 104∶ 3108＝ 104＝ 102 % 兩束光的頻率按此比率稍小于或稍大于簡正頻率。 【題 2】給定一厚度為 d 的平行平板，其折射率按 下式變化rxnxn ??1)( 0 束光在 O 點由空 氣垂直射入平板，并在 A 點以角 度 射出，如圖 所示。求 A 點的折射率 nA，并 確定 A 點的位置及平板的厚度。（設 n0＝ ， r＝ 13cm， β1＝ 300） 圖 解：首先考慮光的路線，如解圖 所示。對于經過一系列不同折射率的平行平板的透射光，可以應用斯奈爾 1,3,5 博微物理 29 定律：1221sinsin nn??? ， 2332sinsin nn??? 更簡單的形式是： ??? 332211 s ins ins in ??? nnn … 這個公式對任意薄層都 是成立的。在我們的情形里， 折射率只沿 x 軸變化，即 xxn ?sin ＝常數(shù) 解圖 在本題中，垂直光束從折射率為 n0的點入射，即 nx＝ n0 x＝ 900 則常數(shù)等于 n0，于是在平板內任意一點有 xxn ?sin ＝ n0 nx與 x 的關系已知，因此沿平板中的光束為： r xrrxnn xx ????? 1s in 0? 由解圖 表明光束的路徑是一個為 XC＝ r 的圓， 解圖 從而有：xXC xOC ?sin＝? 現(xiàn)在我們已知光的路徑，就有可能找到問題的解答。按照折射定律，當光線在 A 點射出時，有：AAAn ???? c o ss in)90s in ( s in0 ??? 因為 nA sin A＝ n0，故有：AA nn0sin ?? 20 )(1c o sAA nn??? ， 于是20 )(1sinAAnnn ??? 因此 ?220 sin?? nn A ， 在本題情形 n A＝ 由 x??， 得出 A 點的 x 坐標為 x＝ 1 cm 光線的軌跡方程為 y 2＋（ 1－ x） 2＝ r 2 代入 x＝ 1 cm，得到平板厚度為 y＝ d＝ 5 cm ??????n 1 n 2 n 3 n 4xyOx C? xX博微物理 30 【題 3】一科學探險隊因船只失事流落荒島。他們沒有能源，卻發(fā)現(xiàn)了一種惰性氣體源。這種氣體比空氣重，其壓強與溫度同周圍的大氣相等。探險隊有兩個膜片，其中一個能滲透該氣體，另一片只能滲透空氣。試設計一個做工的熱機。 解：我們要用到兩個重要的定律。如果一個容器中裝著氣體混合物，則每種氣體的分壓強等于這種氣體在同樣溫度下單獨占據(jù)相同體積時的壓強。壓強計在混合氣體中讀出的是各分壓強之 和。如果一膜片對某一氣體是可滲透的，則在膜片兩側該氣體的分壓強相等。我們設計這樣的熱機（見解圖）對惰性氣體能滲透的那張膜片裝在管子里，這個管子把氣源與活塞下面的圓筒連通。對空氣能滲透的那張膜片裝在圓筒底部。在活塞下部總有同樣的一個大氣壓壓強，因而空氣對所做的功來說是沒有關系的。首先，打開管中的閥門１，導通可滲透氣體的膜片。膜片兩側氣體的分壓強將相等，于是活塞下部也有這一分壓強。結果圓筒內總壓強將達到二個大氣壓，活塞上升做功。關閉閥門１可停止活塞的上升運動，然后打開閥門２，活塞回到初始位置而不做功。 解圖 如果圓筒導熱良好，且過程足夠緩慢，則上述過程是等溫的，做功等于 12lnVVRT 這個過程不是循環(huán)過程，我們也不在乎它的效率。 有兩個膜片就可以實現(xiàn)上述過程，只要有一個周圍是真空的氣體源。 【實驗題】兩個同類的半導體二極管和一個歐姆電阻以未知方式聯(lián)接，并封閉在一個盒里。盒子有兩個引出線接線柱，不打開盒子試測量該電阻的歐姆值。 解答：分別在兩個方向測定兩個不同電壓下的 電流，我們得到下列結果：兩個方向都能觀測到電流，但并不相同，且不是電壓的線性函數(shù)。根據(jù)這些結果，不難畫出如解圖 所示的網絡。 解圖 其次，畫出兩個方向的伏安圖，找到在兩個方向上電流相同的兩個電壓。電壓之差 給出電阻兩端的電壓，除以電流，得出電阻的歐姆值。 氣體源對氣體可滲透對氣體可滲透121,3,5 博微物理 31 歷屆國際物理奧林匹克競賽試題與解答 第 8 屆 （ 1975 年于德意志民主共和國的居斯特羅） 【題 1】一根桿以恒定的角速度 ω 繞 豎直軸旋轉，桿與軸的夾角為（ 900－ α）。質量為 m 的質點可以沿桿滑動，摩擦系數(shù)為 μ 。求轉動過程中，質點保持在同一高度的條件（如圖 ）。 解：我們發(fā)現(xiàn)，采用所謂 “滑動摩擦角 ”概念是有用的。如果滑動摩擦系數(shù)等于某一角度的正切值，就稱這個角 ε 為 “滑動摩擦角 ”（如解圖 所示），即 tan ε＝ μ 我們必須求出把物體壓向平臺的合力。如果合力與平面法線之間的夾角在滑動摩擦角之內，則摩擦力大到足以阻止運動。極限情形是合力與摩擦角的一臂重合。 對于本題，當我們尋找質點在旋轉桿上向上滑動的極限情況時，合力應位于（ α＋ ε）角的雙臂內（如解圖 所示）。 圖 ? ??mgm ? 2 r??r 解圖 解圖 把質點壓在桿上的力是重力 mg 與 mω2r＝ mω2Lcosα 的合力。故質點在向上滑動的極限情形下，角（ α＋ ε）的正切為 gLmgLm ?????? c o sc o s)t a n( 22 ??? 同 理，質點向下滑動的極限情形可用角（ α＋ ε）的正切得到。于是，如果)t a n (c o s)t a n ( 2 ?????? ??? gL－ 則質點在旋轉桿上處于平衡。 從邊界條件可以看出，存在著一個較高位置（ Lf）和一個較低位置（ La），質點在這兩位置之間的任何地方將處于隨遇 解圖 ?0 .1 0 .2 0 .3 m45 060 015 030 01,3,5 博微物理 32 平衡狀態(tài)。在這兩邊界之外，質點無法平衡，質點將向上或向下滑動。隨遇平衡位置 Lf－ La 可由邊界條件導出： )t a nt a n1(c o s t a n2 2232 ???? ? ???? gLL af 解圖 對不同的 α角，畫出質點在桿上哪些部分處于隨遇 平衡，（取 ω＝ 10 s1， μ＝ ， ε＝ 150）。虛線表示無摩擦時質點非穩(wěn)定平衡位置。 【題 2】求出厚透鏡對兩個不同波長有同一焦距的條件，并就不同類型的透鏡討論可行性。 解答：我們必須知道厚透鏡的性質。厚透鏡由下述數(shù)據(jù)表征：球形表面的半徑 r1和 r2，厚度 d 和折射率 n（如解圖 所示）。焦距 f＝ B F 由下式給出 ?????? ????? 2121 1)1(11)1(1 rrnndrrnf 焦距是從主點 B 算起的。 B 點離表面的距離為 解圖 )1()( 21 2 ????? ndrrn drhBA 上述公式對任意厚度的厚透鏡都成立，但只對近軸光線才給出滿意的結果，因為是在一定的近似下得到的。 光被透鏡色散。透鏡對波長 λ a的折射率是 n a，對波長 λ b的折射率是 n b。按折射率的冪次整理焦距公式，得 f（ r1＋ r2－ d） n2＋ [2fd－ f（ r1 ＋ r2）－ r1r 2]n－ f d＝ 0 這是一個二次方程。給定一個 f 值，應有兩個 n 值，因此，我們的問題可望解決。 先后以 n a和 n b代入方程，并令其相等： )111)(1()111)(1( 21212121 rrnndrrnrrnndrrn bbbaaa ?????????? 結果得出 )11(21 ba nndrr ??? 如果半徑 r r2 與厚度 d 滿足這一條件，則對兩個不同的波長，即對兩個不同的折射率來說，焦距是相同的。有趣的是折射率的乘積 n an b在起作用，而不是色散（ n b－ n a）。因為折射率大于１，于是括號內的數(shù)值小于１，說明半徑之和小于鏡厚。這意味著透鏡是相當厚的。 結果討論：首先透鏡不能是平凸或平凹的，因為這種透鏡有無限大的半徑。其次， r1 和 r2 之一為AB Fr 1dfr 2博微物理 33 負的發(fā)散透鏡是許可的，但不能是雙凹透鏡。 如果要求的不是 f 而是（ f－ h）對兩個折射率有相同的值（注：即要求消除焦點色差），實現(xiàn) 這一點也是可能的，但卻是一個復雜得多的問題。 【題 3】質量為 m 的一簇離子在 P 點以同一速度 v 向不同方向散開（如圖 ）。垂直紙面的均勻磁場 B 將這些離子聚焦于 R 點，距離 PR＝ 2a，離子的軌道應是對稱的。試確定磁場區(qū)的邊界。 解：在磁場 B 中，作用于電量為 Q、速度為 v 的質點上的洛侖茲力為 Q v B。結果使粒子在半徑為 r 的圓軌道上運動，即： rmvQvB 2? 質量為 m 的所有粒子都在半徑為 圖 QBmvr?的相同的圓軌道上運動。離開磁場后，它們將沿最后的切線方向直線飛行。磁場邊界應按所有離子都打在同一點 R 的要求去尋找。要解決的數(shù)學問題是，粒子應從這些半徑為 r 的圓的何處離開，才能使它們的切線在 R 點相交。這些半徑為 r 的圓的圓心都位于y 軸上（如解圖 所示） 在半徑為 r 的圓軌道上運動的粒子，在坐標為（ x， y）的 A 點離開磁場，沿切線飛向 R。由相似三角形得到： y xax by ??? 圓的方程為 222 )( rbyx ??? 消去（ y－ b），得到滿足條件的 A 點的集合，因此，表示磁場邊界的函數(shù)為： 22)( xr xaxy ??? 這是一個四次函數(shù)。只要在第一象限畫出這個函數(shù)的曲線，把它對 y 軸反演即可。 表示磁場邊界的函數(shù)的形式取決于給定的距離 a 和半徑 r 的相對大?。ㄒ娊鈭D （ a），（ b），（ c））。 P Raav磁場P RPPRR(a)(b)(c)解 xyrabAR解 博微物理 34 如果半徑 r 小于 a（小速度強磁場），則磁場邊界無限延伸，向任何方向出發(fā)的離子也都能聚焦① 。 如果半徑 r 等于 a，所有的離子也都能聚焦 ② 。磁場邊界在 P 和 R 點處垂直出發(fā)，處在有限的范圍內。 如果半徑 r 大于 a，邊界更為平坦。那些出發(fā)方向比 P 點切線更陡的離子不能達到 R 點。 （注： ① 原文 “向任何方向出的離子都能聚焦 ”的結論不妥。在 r＜ a 時， v 與 x 軸夾角大于 900的離子無法聚焦。 ② 在 r＝ a 時， “所有的離子也都能聚焦 ” 的結論也不妥。 v 與 x 軸夾角大于 900 的離子也無法聚焦。） 【實驗題】測定有兩個接點的某一半導體器件的特性曲線。其最大允許負載為 ，可供使用的是：對所有量程內阻均已知的兩個電表 ，一個 9V 的電池，一個可調電阻器及一個固定電阻器。 解答：通過伏安計測量電壓和安培計測量電流所得到的特性曲線，表明該半導體器件是齊納（ Z e n e r ）二極管。 （注：原文無詳細解答，沒有給出測量伏安特性的具體線路） 1,3,5