中國(guó)東南地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題及答案-資料下載頁(yè)
2025-01-10 05:39本頁(yè)面
【正文】 ()? 由哥西不等式 : 2( ) 11 3 (1 3 ) (1 3 )xxx y x x y x x y?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?，因?yàn)?(1 3 ) ( 2 4 ) 2 .3x x y x x y z x y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 從而 3 ,1 3 7xxy???? 311 2 ,77f ? ? ? ? max 1,7f ?當(dāng)且僅當(dāng) 13x y z? ? ? 時(shí)等號(hào)成立 . 再證 0,f? 當(dāng) 1, 0x y z? ? ? 時(shí)等號(hào)成立 . 事實(shí)上， ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )( , , )1 3 1 3 1 3x y z y z x z x yf x y z x y y z z x? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?= 2 1 2 1( ) ( )1 3 1 3 1 3 1 3x y x zx y y z z x x y? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?21()1 3 1 3yz y z z x??? ? ? ? 77(1 3 ) (1 3 ) (1 3 ) (1 3 )x y z x y zx y y z z x x y??? ? ? ? ? ? ? ?7 0(1 3 )(1 3 )xyzy z z x??? ? ? ? 故 min 0f ? ， 當(dāng) 1, 0x y z? ? ? 時(shí)等號(hào)成立 ． 另證： 設(shè) ? ?min , ,z x y z? ，若 0z? ，則22( , , 0 ) 01 3 1 2 4 2x y x y x y x yf x y x y y x y x y? ? ? ? ?? ? ? ? ?； 下設(shè) ,0x y z?? ，由 ()? 式，要證 0f? ，只要證， 11 3 2xxy???? …① 注意到 12 2 4 2xyx y x y????，于是 ①等價(jià)于 8( ) ( ) ( )1 3 2 4 1 3 2 1 3 2 4 1 3 1 3z x x y y z x yz x x y x y x y y z x y x y y z? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?即 2 4 81 3 1 3 1 3x y x yz x x y y z? ??? ? ? ? ? ? …② 而由柯西不等式，可得 9 228 ( 2 )1 3 1 3 (1 3 ) (1 3 ) / 2x y x yx y y z x x y y y z? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 222( 2 ) 2 4( 3 ) ( 3 ) / 2 1 3x y x yx x x y y y y z z x????? ? ? ? ? ? ? 即 ②成立，從而 0f? ，故 min 0f ? ， 當(dāng) 1, 0x y z? ? ? 時(shí)等號(hào)成立 . 8． 在 88 方格表中，最少需要挖去幾個(gè)小方格，才能使得無(wú)法從剩余的方格表中裁剪出一片形狀如下完整 的 T 型 五方連塊？ （孫文先供題） 答 ： 至少要如下圖挖去 14個(gè)小方格 ． 如右圖，將 88 棋盤切為五個(gè)區(qū)域 ． 中央部份的區(qū)域至少要挖去 2 個(gè)小方格才能使 T 形的五方塊 放不進(jìn)去。二個(gè)打叉的位置是不等同的位置，一個(gè)是在角落位置， 另一個(gè)是內(nèi)部位置，只挖去其中一個(gè)無(wú)法避免 T置入 ． 對(duì)于在邊界的四個(gè)全等的區(qū)域，每區(qū)域至少要挖去 3個(gè) 小方格才能使 T形的五方塊放不進(jìn)去 ． 證明 ： 以右上角的區(qū)域?yàn)槔?，下?T 部份必需挖去 1 個(gè) 小方格，上方部份必需挖去打叉的位置的 1個(gè)小方格 ． 下方 T 部份挖去的 1 個(gè)小方格有五種情況，但無(wú)論如何 均可再置入一片 T形的五方塊， 因此至少要挖去 3個(gè)小方格 ． 綜合所有區(qū)域，對(duì)于 T型五方塊至少要挖去 34+2=14 個(gè)小方格 ． 2 3 3 3 3
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