中國東南地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克競賽試題及答案-展示頁
2025-01-19 05:39本頁面
【正文】 個：其頂點標(biāo)號為： ? ? ? ? ? ?1, 5 , 9 , 2 , 6 ,10 , 3, 7, 11； ? ?2,4,6 型三個：其頂點標(biāo)號為： ? ? ? ? ? ?4 , 6 ,12 , 8 ,10 , 4 , 12 , 2 , 8． （每種情況下的其余三角形都可由其中一個三角形繞圓心適當(dāng)旋轉(zhuǎn)而得）． 這樣共得到 24 個三角形，且滿足本題條件，因此， n 的最小值為 24 ． 6 第六屆中國東南地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克 試題解答 第 二 天 5．設(shè) 1,2, ,9 的所有排列 1 2 9( , , , )X x x x? 的集合為 A ； XA??，記 1 2 3 9( ) 2 3 9f X x x x x? ? ? ? ?， { ( ) }M f X X A??；求 M ． （其中 M 表示集合 M 的元素個數(shù)） ． （熊斌供題） 解：我們一般地證明，若 4n? ，對于前 n 個正整數(shù) 1,2, ,n 的 所有 排列 12( , , , )nnX x x x?構(gòu)成的集合 A ，若 1 2 3( ) 2 3nnf X x x x nx? ? ? ? ?， { ( ) }nM f X X A??， 則 3 66n nnM ???． 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： nM ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 1 ), 1 , ,6 6 6n n n n n n n n n? ? ? ? ? ?????????． 當(dāng) 4n? 時，由排序不等式知，集合 M 中的最小元素是 ? ?? ?4,3,2,1 20f ?，最大 元素是 ? ?? ?1,2,3,4 30f ?．又 ， ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?3 , 4 , 2 , 1 21 , 3 , 4 , 1 , 2 22 , 4 , 2 , 1 , 3 23f f f? ? ?， ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?3 , 2 , 4 , 1 24 , 2 , 4 , 1 , 3 25 , 1 , 4 , 3 , 2 26 , 1 , 4 , 2 , 3 27f f f f? ? ? ?， ? ?? ? ? ?? ?2 ,1 , 4 , 3 2 8 , 1 , 2 , 4 , 3 2 9ff??， 所以， 4M =? ?20,21, ,30 共有 11= 34 4 66?? 個元素． 因此 ， 4n? 時命題成立． 假設(shè)命題在 1n? （ 5n? ）時成立； 考慮命題在 n 時的情況． 對于 1,2, , 1n? 的任一排列1 1 2 1( , , , )nnX x x x??? ，恒取 nxn? ， 得到 1,2, ,n 的一個排列 1 2 1, , , ,nx x x n? ， 則1nkk kx??121nkkn kx?????．由歸納假設(shè)知，此時1nkk kx??取遍區(qū)間 222( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2 1 ) ( 5 ) ( 1 ) ( 2 1 ),6 6 6 6n n n n n n n n n n nnn ??? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?????? ??上 所有整數(shù)． 再令 1nx? ，則 7 111 1 1( 1 )( 1 ) 2n n nk k kk k knnk x n k x n k x??? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ?11( 1) ( 1)2 n kknn kx???? ? ?? ， 再由歸納假設(shè)知，1nkk kx??取遍區(qū)間 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2 1 ) ( 1 ) ( 2 ) 2 ( 2 ),2 6 2 6 6 6n n n n n n n n n n n n n n n??? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?????? ?? 上的所有整數(shù)． 因為 222 ( 2) ( 5)66n n n n??? ，所以，1nkk kx??取遍區(qū)間 ( 1 )( 2 ) (
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