【導(dǎo)讀】線性方程組的解是一個(gè)n維向量(k1,k2,?未知數(shù)xi都用ki替代時(shí)都成為等式.線性方程組的解的情況有三種:無(wú)解,唯一解,無(wú)窮多解.=bm=0的線性方程組稱為齊次線性方程組.原方程組的導(dǎo)出齊次線性方程組，簡(jiǎn)稱導(dǎo)出組.矩陣和向量都是描寫事物形態(tài)的數(shù)量形式的發(fā)展.n個(gè)數(shù)排列成的一個(gè)m行n列的表格,兩邊界以圓括號(hào)或方括號(hào),就成為一個(gè)m?5矩陣.對(duì)于上面的線性方程組,稱矩陣。就體現(xiàn)其全部信息.元素全為0的矩陣稱為零矩陣,通常就記作0.書寫中可用矩陣的形式來(lái)表示向量,例如分量依次是a1,a2,?,an的向量可表示成。n的矩陣的每一行是一個(gè)n維向量,稱為它的行向量;每一列是一個(gè)m維向量,線性運(yùn)算是矩陣和向量所共有的,下面以矩陣為例來(lái)說(shuō)明.,cs是一組數(shù),則稱。對(duì)角矩陣:對(duì)角線外的的元素都為0的n階矩陣.換與初等列變換統(tǒng)稱初等變換.簡(jiǎn)單階梯形矩陣:是特殊的階梯形矩陣,

　　

【正文】 以有多大 (指包含向量的個(gè)數(shù) )的線性無(wú)關(guān)的部分組 . 定義 設(shè) ?1,?2,? ,?s?是 n維向量組 ,(I)是它的一個(gè)部分組 .如果 ① (I)?線性無(wú)關(guān) . ② (I)?再擴(kuò)大就線性相關(guān) . 就稱 (I)為 ?1,?2,? ,?s?的一個(gè) 極大無(wú)關(guān)組 . 條件 ② 可換為 :任何 ?I都可用 (I)?線性表示 ,也就是 (I)?與 ?1,?2,? ,?s?等價(jià) .?當(dāng) ?1,?2,? ,?s?不全為零向量時(shí) ,它就存在極大無(wú)關(guān)組 ,并且任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組都等價(jià) ,從而包含的向量個(gè)數(shù)相等 . ?定義 ???如果 ?1,?2,? ,?s?不全為零向量 ,則把它的極大無(wú)關(guān)組中所包含向量的個(gè)數(shù) ?是一個(gè)正整數(shù) ?稱為 ?1,?2,? ,?s?的 秩 ,記作 r(?1,?2,? ,?s).如果 ?1,?2,? ,?s?全是零向量 ,則規(guī)定r(?1,?2,? ,?s)=0. 由定義得出 : 如果 r(?1,?2,? ,?s)=k,則 i)???1,?2,? ,?s?的一個(gè)部分組如果含有多于 k個(gè)向量 ,則它一定的相關(guān) . ii)??1,?2,? ,?s?的每個(gè)含有 k個(gè)向量的線性無(wú)關(guān)部分組一定是極大無(wú)關(guān)組 . (2) 應(yīng)用 ① ?1,?2,? ,?s?線性無(wú)關(guān) ? r(?1,?2,? ,?s)=s.?② ??可用 ?1,?2,? ,?s?線性表示 ?r(?1,?2,? ,?s,?)=r(?1,?2,? ,?s). (事實(shí)上若 ?不可用 ?1,?2,? ,?s??線性表示 ,則 r(?1,?2,? ,?s,?)=r(?1,?2,? ,?s)+1.) 推論 1:???可用 ?1,?2,? ,?s?唯一線性表示 ?r(?1,?2,? ,?s,?)=r(?1,?2,? ,?s)=s. 推論 2:??如果 r(?1,?2,? ,?s?=維數(shù) n,則任何 n維 向量 ?都可以用 ?1,?2,? ,?s?線性表示 . ③ ?1,?2,? ,?t可以用 ?1,?2,? ,?s?線性表示 ???r(?1,?2,? ,?s,?1,?2,? ,?t)=r(?1,?2,? ,?s). 推論 :?如果 ?1,?2,? ,?t可以用 ?1,?2,? ,?s線性表示 ,則 r(?1,?2,? ,?t)?r(?1,??2,? ,?s?). ④ ??1,?2,? ,?s和 ?1,?2,? ,?t等價(jià) ?? 22 r(?1,?2,? ,?s)= r(?1,?2,? ,?s,??1,?2,? ,?t)= r(?1,?2,? ,?t).?極大無(wú)關(guān)組和秩的概念可以推廣到向量集合上 (即包含的向量的個(gè)數(shù)不必有限 ),所有性質(zhì)仍然成立 . 4. 秩的計(jì)算 ,有相同線性關(guān)系的向量組 兩個(gè)向量個(gè)數(shù)相同的向量組 ?1,?2,? ,?s,和 ??1,?2,? ,?s 稱為 有相同 線性關(guān)系 ,如果向量方程 x1?1+x2?2+? +xs?s=0 和 x1?1+x2?2+? +xs?s=0 同解 ,即齊次線性方程組 (?1,?2,? ,?s)X=0 和 (??1,?2,? ,?s)X=0同解 . 當(dāng) ?1,?2,? ,?s和 ??1,?2,? ,?s有相同線性關(guān)系時(shí) , (1)它們的對(duì)應(yīng)部分組有一致的線性相關(guān)性 . (2)它們的極大無(wú)關(guān)組相對(duì)應(yīng) ,從而它們的秩相等 . (3)它們有相同的內(nèi)在線性表示關(guān)系 . 例如 ,當(dāng) A經(jīng)過(guò)初等行變換化為 B時(shí) , AX=0和 BX=0同解 ,從而 A的列向量組和 B 的列向量組有相同線性關(guān)系 .于是它們的極 大無(wú)關(guān)組相對(duì)應(yīng) ,秩相等 . 這樣 ,就產(chǎn)生了計(jì)算一個(gè)向量組 ?1,?2,? ,?s 的秩和極大無(wú)關(guān)組的方法 :把此向量組作為列向量組構(gòu)造矩陣 (?1,?2,? ,?s),用初等行變換把它化為階梯形矩陣 B,則 B 的非零行數(shù)就是 ?1,?2,? ,?s的秩 ,?B的各臺(tái)角所在列號(hào)對(duì)應(yīng)的部分組是 ?1,?2,? ,?s的的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組 . 如果 A經(jīng)過(guò)初等列變換化為 B，則 A的列向量組和 B 的列向量組是等價(jià)關(guān)系，雖然秩相等 ,但是極大無(wú)關(guān)組并沒(méi)有對(duì)應(yīng)關(guān)系 . (1) 定義 一個(gè)矩陣 A 的行向量組的秩和列向量組的秩相等 ,稱此數(shù)為矩陣 A的秩 ,記作 r(A). 于是 r(A)=0? A=0. 如果 A 是 m?n矩陣 ,則 r(A)?Min{m,n}. 當(dāng) r(A)=m時(shí) ,稱 A為行滿秩的 。 當(dāng) r(A)=n時(shí) ,稱 A為列滿秩的 . 對(duì)于 n階矩陣 A,則行滿秩和列滿秩是一樣的 ,此時(shí)就稱 A滿秩 .于是 : n階矩陣 A 滿秩 ?r(A)=n(即 A的行 (列 )向量組無(wú)關(guān) )?|A|?0?A可逆 . 矩陣的秩還可以用它的非 0子式來(lái)看 . A 的 r階子式 :任取 A 的 r行和 r列 ,在它們的交叉位置上的元素所構(gòu)成的行列式 ,如果它的值不為 0,就稱為非 0子式 . 命題 r(A)就是 A 的非 0 子式的階數(shù)的 最大值 .(即 A 的每個(gè)階數(shù)大于 r(A)的子式的值都為 0,但是 A 有階數(shù)等于 r(A)的非 0子式 .) (2) 計(jì)算 命題 ① 初等變換保持矩陣的秩 .?② ?階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個(gè)數(shù) . 矩陣秩的計(jì)算 :用 初等變換將其化為階梯形矩陣 ,則此 階梯形矩陣的非零行數(shù)就是原矩陣的秩 . (3) 在矩陣運(yùn)算中 ,矩陣的秩有性質(zhì) 23 ① r(A T)=r(A). ② 如果 c不為 0,則 r(cA)=r(A). ③ r(A?B)?r(A)+r(B). ④ r(AB)?Min{r(A),r(B)}. ⑤ 當(dāng) A(或 B)可逆時(shí) ,r(AB)=r(B)(或 r(A)). ⑥ 如果 AB=0,n為 A 的列數(shù) (B的行數(shù) ),則 r(A)+r(B)?n. ⑦ 如果 A 列滿秩 (r(A)等于列數(shù) ),則 r(AB)=r(B). ⑧ 一般公式 : r(A)+r(B)?n+r(AB). 下面給出 ⑤ 和 ⑦ 在判別向量組的線性相關(guān)性和秩的計(jì)算問(wèn)題上的應(yīng)用 . 設(shè)向量組 ?1,??2,? ,?s線性無(wú)關(guān) ,向量組 ?1,??2,? ,?t可用 ?1,??2,? ,?m線性表示 ,表示矩陣為 C,則 i) r(?1,??2,? ,?t)=r(C). ii) 如果 t=s (此時(shí) C 是 t階矩陣 ),則 ?1,??2,? ,?s線性無(wú)關(guān) ? C 可逆 . (令 A=(?1,??2,? ,?s), B=(?1,??2,? ,?t),則 B=AC, 并且 r(A)=列數(shù) s,用 ⑦ 得到r(?1,??2,? ,?s)=r(C). t=s時(shí) ,C可逆 ?r(?1,??2,? ,?s)=r(C)=s ??1,??2,? ,?s線性無(wú)關(guān) .或直接用 ⑤ 證明 ii): C可逆時(shí) r(B)=r(A)=s,從而 ?1,??2,? ,?s線性無(wú)關(guān) .如果 C 不可逆 ,則r(?1,??2,? ,?s)?r(C) s, 從而 ?1,??2,? ,?s線性相關(guān) .) 兩個(gè)矩陣如果可以用初等變換互相轉(zhuǎn)化 ,就稱它們等價(jià) . 矩陣的等價(jià)的充分必要條件為它們類型相同 ,秩相等 . 二 .典型例題 例 1a,b,c滿足什么條件時(shí)向量組 ??1=(a,0,c),?2=(b,c,0),?3=(0,a,b)線性無(wú)關(guān)？ (02) 例 2 已知 (2,1,1,1),(2,1,a,a),(3,2,1,a),(4,3,2,1)線性相關(guān) ,并且 a?1,求 a. (05) 例 3 設(shè) ?1=(1+a,1,1)， ?2=(1,1+b,1)， ?3=(1,1,1b)，問(wèn) a,b 滿足什么條件時(shí)r(?1,?2,?3)=2? 例 4 設(shè) ?1=(1+λ， 1， 1)， ?2=(1， 1+λ， 1)， ?3=(1， 1， 1+λ )， ?=(0，λ ,λ 2)． ① λ為何值時(shí)， ?可用 ?1， ?2， ?3線性表示，并且表示方式唯一？ ② λ為何值時(shí)， ?可用 ?1， ?2， ?3線性表示，并且表示方式不唯一？ ③ λ為何值時(shí)， ?不可用 ?1， ?2， ?3線性表示？ ???例 5?設(shè) ??1=(1,0,1,1),?2=(2,1,0,1),?3=(1,2,2,0),??1=(0,1,0,1),?2=(1,1,1,1).問(wèn) : c1,c2滿足什么條件時(shí) c1?1+c2?2可以用 ???1,?2,?3線性表示 ? ?例 6 設(shè) ?1=(1,2,0,1) , ?2 =(1,1,1,0), ?3=(0,1,a,1),?1=(1,0,1,0),?2=(0,1,0,2).a 和 k取什么值時(shí) ,??1+k?2可用 ?1,?2,?3線性表示 ?寫出表示式 . 例 7 設(shè) ?1=(1,2,3)， ?2=(3,0,1)， ?3=(9,6,7)， ?1=(0,1,1)， ?2=(a,2,1)， ?3=(b， 1，0)． 已知 r(?1,?2,?3)=r(?1,?2,?3),并且 ?3可用 ?1,?2,?3線性表示，求 a,b.(00二 ) 24 例 8 求常數(shù) a,使得向量組 ?1=(1,1,a),?2=(1,a,1),?3=(a,1,1)可由向量組 ?1=(1,1,a), ?2=(2,a,4),?3=(2,a,a)線性表示 ,但是 ?1,??2,??3不可用 ?1,?2,?3線性表示 . (2020 年數(shù)學(xué)二 ) 例 9 給定向量組 (Ⅰ )??1=(1,0,2)， ?2=(1,1,3)， ?3=(1,1,a+2)和 (Ⅱ )?1=(1,2, a+3)，?2=( 2,1 ,a+6)， ?3=(2,1,a+4)．當(dāng) a為何值時(shí) (Ⅰ )和 (Ⅱ )等價(jià) ? a為何值時(shí) (Ⅰ )和 (Ⅱ )不等價(jià) ?(03四 ) 例 10設(shè) ??1=(1,1,2,4),?2=(0,3,1,2),?3=(3,0,7,14),?4=(1,2,2,0),?5=(2,1,5,10).它們的下列部分組中 ,是極大無(wú)關(guān)組的有哪幾個(gè) ? (1)??1,?2,?3. (2)??1,?2,?4. (3)??1,?2,?5. (4)??1,?3,?4. 2. 向量組秩的性質(zhì)的應(yīng)用 例 11 已知 ?1,?2,?3線性相關(guān) ,而 ?2,?3,?4線性無(wú)關(guān) ,則 ?1,?2,?3,?4中 , 能用另外 3 個(gè)向量 線性表示 ,而 不能用另外 3個(gè)向量 線性表示 . 例 12已知 r(?1,?2,?3)=r(?1,?2,?3,?4)=3,r(?1,?2,?3,?4,?5)=4，求 r(?1,?2,?3,?4?5 )． (95三 ) 例 13 已知 ?可用 ?1,?2,… ,?s 線性表示，但 不可用 ?1,?2,… ,?s1線性表示．證明 ⑴ ?s不可用 ?1,?2,… ,?s1線性表示； ⑵ ?s可用 ?1,?2,… ,?s1,?線性表示． 例 14??1,?2,?3,?線性無(wú)關(guān) ,而 ?1,?2,?3,?線性相關(guān) ,則 ?A) ?1,?2,?3,c?+?線性相關(guān) . (B) ?1,?2,?3,c?+?線性無(wú)關(guān) . (C) ?1,?2,?3,?+c?線性相關(guān) . (D????1,?2,?3,?+c?線性無(wú)關(guān) . 例 15 已知 n 維向量組 ?1,?2,… ,?s 線性無(wú)關(guān) ,則 n 維向量組 ?1,??2,… ,??s 也 線性無(wú)關(guān)的充分必要條件為 ?A) ?1,?2,… ,?s 可用 ?1,??2,… ,??s線性表示 . (B) ?1,??2,… ,??s可用 ?1,?2,… ,?s線性表示 . (C) ?1,?2,… ,?s 與 ?1,??2,… ,??s等價(jià) . (D???矩陣 ??1,?2,… ,?s )和 (?1,??2,… ,??s?等價(jià) . 例 16 n階矩陣 1 a a ? a a 1 a ? a A= a a 1 ? a ┆ ┆ ┆ ┆ a a a ? 1 的秩為 n1,求 a.(98三 ) 25 例 17 設(shè) a b b A= b a b ,已知 r(A)+r(A*)=3,求 a,b應(yīng)該滿足的關(guān)系 .(03三 ) b b a 例 18 設(shè) 1 2 3 4 1 2 3 4 A= 2 3 4 5 , B= 0 1 2 3 ,求 r(BA+2A). 3 4 5 6 0 0 1 2 4 5 6 7 0 0 0 1 例 19 a b 3 b1 a 1 3階矩陣 A= 2 0 2 ， B= ???????????0 ， 已知 r(AB)小于 r(A)和 r(B),求 a,b和 ???????????????????????????????3 2 1 0 2 1 r(AB). 例 20 設(shè) ??1， ?2， ?3 線性無(wú)關(guān)，則 ( )線性無(wú)關(guān)： ⑴ ?1+?2， ?2+?3， ?3?1； ⑵ ?1+?2， ?2+?3， ??1+2?2+?3； ⑶ ?1+2?2， 2