【導(dǎo)讀】法以及功能、運(yùn)用；2．掌握兩個實(shí)數(shù)比較大小的一般方法；3．通過不等式性質(zhì)證明的學(xué)習(xí)，提高學(xué)生邏輯推論的能力；4．提高本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，；培養(yǎng)學(xué)生條理思維的習(xí)慣和認(rèn)真嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度；講了五個定理和三個推論，并給出了嚴(yán)格的證明。用，不等式的證明和解一些簡單的不等式，無不以不等式的性質(zhì)作為基礎(chǔ)。件及其它的應(yīng)用。示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大”利用數(shù)軸可以比較數(shù)的大小。比較兩個代數(shù)式的大小，實(shí)際上是比較它們的值的大小，而這又歸結(jié)為判斷它們的差的符號.授課方法可以采取講授與問答相結(jié)合的方式．通過問答形式不斷地給學(xué)生設(shè)置疑問；1．掌握實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序間關(guān)系；3．強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合思想.若，則是正數(shù)；逆命題也正確.差值正負(fù)判斷時引起注意，對于限制條件的應(yīng)用經(jīng)常被學(xué)生所忽略.為了使大家進(jìn)一步掌握求差比較法，我們來進(jìn)行下面的練習(xí).1．理解同向不等式，異向不等式概念；

　　

【正文】 解決某些數(shù)學(xué)問題；研究性題培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力． （五）課后點(diǎn)評 1．關(guān)于新課引入設(shè)計(jì)的想法： 導(dǎo)入這一環(huán)節(jié)是調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，激發(fā)學(xué)生探究精神的重要環(huán)節(jié)，本節(jié)課開始給出一個引例，通過探究解決此問題的各種解法，產(chǎn)生用平均值定理求最值，點(diǎn)明課題．事實(shí)上，在解決引例問題的過程中也恰恰突出了教學(xué)重點(diǎn)． 數(shù)學(xué)驛站 2．關(guān)于課堂練習(xí)設(shè)計(jì)的想法： 正確理解和使用平均值定理求某些函數(shù)的最值是教學(xué)難點(diǎn)．為突破難點(diǎn)，教師單方面強(qiáng)調(diào)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，只有讓學(xué)生通過自己的思考、嘗試，發(fā)現(xiàn)使用定理的三個條件缺一不可，才能大大加深學(xué)生對正確使用定理的理解，設(shè)計(jì)解法正誤討論能夠使學(xué)生嘗試失敗，并 從失敗中找到錯誤原因，加深了對正確解法的理解，真正把新知識納入到原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中． 3．培養(yǎng)應(yīng)用意識． 教學(xué)中應(yīng)不失時機(jī)地使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)源于客觀世界并反作用干客觀世界．為增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識，在平時教學(xué)中就應(yīng)適當(dāng)增加解答應(yīng)用問題的教學(xué)．本節(jié)課中設(shè)計(jì)了兩道應(yīng)用問題，用剛剛學(xué)過的數(shù)學(xué)知識解決了問題，使學(xué)生不禁感到“數(shù)學(xué)有用，要用數(shù)學(xué)”． 作業(yè)解答 思考題： ．當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時，上式取等號．所以當(dāng) 時，函數(shù) y 有最小值 9，無最大值． 研究性題：設(shè)使用 年報廢最合算，由題意有； 年平均費(fèi)用 當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時，取得最小值，即使用 10 年報廢最合算，年平均費(fèi)用 3 萬元． （程紹烘） 數(shù)學(xué)驛站 數(shù)學(xué)驛站 不等式 的推廣及應(yīng)用 數(shù)學(xué)驛站 人教版《高中數(shù)學(xué)第二冊》（上） P11第 1 題證明不等式 .利用該不等式可以簡捷巧妙地解答其它一些不等式問題 .本文簡單介紹它的應(yīng)用及推廣，供大家在教學(xué)中參考 . 一、不等式 的應(yīng)用 例 1 設(shè) c 是直角三角形斜邊的長，兩直角邊長為 a 和 b,求證 證明：∵ 例 2 填空：設(shè) 的最小值為 . 當(dāng)且僅當(dāng) . 例 3 設(shè) A、 B、 C、 D 為空間中的四點(diǎn)， 求證： 數(shù)學(xué)驛站 證明：如圖，取 BD 的中點(diǎn) E，連結(jié) AE和 EC，則在 △ ABD和 △ BCD中，根據(jù)中線的性質(zhì)，有 二、不等式 的推廣及應(yīng)用 不等式 可以推廣成如下命題： 如果 ： =an時取 “ =”號） . 證明： 數(shù)學(xué)驛站 例 4 （外森比克不等式）已知三角形的邊長為 a,b,c，其面積為 S，求證 ，并指出何時等號成立 . 證明：由海倫公式， 例 5 試確定 的所有實(shí)數(shù)解 . 解：由 取“ =”號 . 數(shù)學(xué)驛站 所以，原方程組有唯一實(shí)數(shù)解 三、不等式 的再推廣及應(yīng)用 不等式 還可以再推廣，這就是著名的 Holder不等式 . 如果 （當(dāng)且僅當(dāng) 時取“ =”號） . 證明從略 . 例 6 求證： 證明：由 Holder不等式，得 例 7 設(shè) A、 B、 C 為 △ ABC的三個內(nèi)角， n為自然數(shù)，求證 數(shù)學(xué)驛站 證明：由 不等式，得 當(dāng)且僅當(dāng) 時取“ =”號 . 例 8 已知 ，求證 證明：由 H lder 不等式，得 事實(shí)上，我們稱 Mm( = 為 n 個正數(shù) 的 m 次冪平均．關(guān)于冪平均有下面的定理： 如果 為正數(shù)， ，那么 （ ）（當(dāng)且僅當(dāng) a1=a2=? =an時取“ =”號）． 數(shù)學(xué)驛站 證明從略． 據(jù)定理，有 Ｍ ２ （ ） Ｍ １ （ ）（當(dāng)且僅當(dāng) 時取“ =”號），即 ） （ ）（當(dāng)且僅當(dāng) 時取“ =”號），即為 不等式 . 閱讀材料在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用 文／劉 虹 全日制普通高級中學(xué)數(shù)學(xué)教科書（試驗(yàn)本）第一至三冊共編入 23 篇閱讀材料．由于教學(xué)大綱沒有對這部分內(nèi)容做具體要求，在教學(xué)中 往往被教師忽略．筆者認(rèn)為，作為教材的一部分，正文內(nèi)容的補(bǔ)充，教師應(yīng)鼓勵、要求、指導(dǎo)學(xué)生課外閱讀．如果處理好這些內(nèi)容，能夠提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，開闊他們的視野，激勵學(xué)生熱愛科學(xué)、敢于創(chuàng)新的精神，培養(yǎng)他們良好的個性品質(zhì)，使數(shù)學(xué)課程在從應(yīng)試教育向素質(zhì)教育轉(zhuǎn)軌的過程中發(fā)揮更積極的作用．以下談?wù)勛约涸诮虒W(xué)中的幾點(diǎn)體會． 一、進(jìn)行數(shù)學(xué)史教育，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)品質(zhì) 關(guān)于數(shù)學(xué)史教育，一般在必修課教學(xué)過程中涉及不多，然而史學(xué)教育對于了解一門學(xué)科起著重要作用．部分閱讀材料正是教師對學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)史教育的良好素材．如《 笛卡兒和費(fèi)馬》一文介紹了解析幾何學(xué)產(chǎn)生的歷史背景，以及兩位數(shù)學(xué)家笛卡兒和費(fèi)馬在創(chuàng)立這門學(xué)科過程中的主要貢獻(xiàn)；《復(fù)數(shù)系是怎樣建立的》則向?qū)W生展示了建立復(fù)數(shù)系的漫長過程，并指明了復(fù)數(shù)廣闊的應(yīng)用領(lǐng)域和發(fā)展前景．對這兩篇閱讀材料的處理，教師可以從以下兩個方面指導(dǎo)學(xué)生閱讀：首先，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)發(fā)展過程中的每一項(xiàng)重大發(fā)現(xiàn)的偶然性與必然性，以及其中所蘊(yùn)藏著的不懈追求與探索的精神．眾多數(shù)學(xué)家們的嚴(yán)謹(jǐn)、踏實(shí)、不畏艱難、追求真理、敢于創(chuàng)新的科學(xué)精神，會帶給學(xué)生極大的啟示和教育，使其受益終身；其次，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)發(fā)展的過去、現(xiàn)在 和未來，了解數(shù)學(xué)發(fā)展的前沿和動態(tài)，有助于促使學(xué)生產(chǎn)生使命感．閱讀完這一材料后，學(xué)生對“超復(fù)數(shù)”表示出較大的興趣，教師可指出，數(shù)系的擴(kuò)張是無窮無盡的，超復(fù)數(shù)的提出留給了學(xué)生立志于數(shù)學(xué)研究的廣闊空間，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，明確今后的努力方向． 二、處理好與教材知識前后呼應(yīng)的內(nèi)容，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力 通過學(xué)習(xí)與所學(xué)知識有聯(lián)系的閱讀材料，能促進(jìn)學(xué)生對知識的理解，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)．對這部分內(nèi)容教師應(yīng)不拘形式地指導(dǎo)學(xué)生閱讀．例如，無窮等比數(shù)列各項(xiàng)和的概念及計(jì)算公式在教學(xué)大綱中雖然沒有作要求，但是如果學(xué)生掌握 （ ＝這一公式，可以簡化解題步驟，提高解題效率．因此，對《無窮等比數(shù)列》（ ＝的和＝的處理我采取了以下方式：在完成教材（第三冊）第 2． 2 節(jié)例 3 求 的教學(xué)后，讓學(xué)生討論一般的無窮等比數(shù)列 ， ， ，?， ，?當(dāng) 時前 項(xiàng)和的極限，學(xué)生能夠較快地得出結(jié)論．這時，教師指出Ｓ ｎ 與Ｓ的區(qū)別，并要求學(xué)生課后學(xué)習(xí)閱讀材料《無窮等比數(shù)列》 ＝的和＝．通過閱讀，學(xué)生能進(jìn)一步了解到利用 不僅能提高解題速度，還能將無限循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，而且能解決其他涉及這種等比關(guān)系的求和問題．再如，教學(xué)大綱對兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，要求“不擴(kuò)展到三個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不少于它們的幾何平均數(shù)定理”．于是，對《幾個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與集合平均數(shù)》一文可指導(dǎo)學(xué)有余力的同學(xué)閱讀，并可適當(dāng)補(bǔ)充一些習(xí)題，使學(xué)生了解均值不等式在證明不等式及解決有關(guān)最大值、最小值的實(shí)際問題中的重要作用，這樣既能滿足學(xué)生對知識的渴求，也能開闊學(xué)生的思路，有助于提高學(xué)生的解題能力． 數(shù)學(xué)驛站 三、加強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)科與社會及相關(guān) 學(xué)科的橫向聯(lián)系，強(qiáng)化用數(shù)學(xué)的意識 《全日制普通高級中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》在要求培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力中指出：會提出、分析和解決帶有實(shí)際意義的或在相關(guān)學(xué)科、生產(chǎn)和日常生活中的數(shù)學(xué)問題；會使用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、進(jìn)行交流，形成用數(shù)學(xué)的意識．作為工具學(xué)科的數(shù)學(xué)，與物理、化學(xué)及日常生活息息相關(guān)，當(dāng)某一個學(xué)科的問題一旦被數(shù)學(xué)化之后，它就被納入了數(shù)學(xué)的軌道，從而能借助數(shù)學(xué)方法得以解決．《自由落體運(yùn)動的數(shù)學(xué)模型 》一文扼要地介紹了數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)模型方法，并以意大利科學(xué)家伽利略在 16 世紀(jì)研究自由落體運(yùn)動的過程為例，具體地說明了用數(shù)學(xué)模型方法解決問題的基本步驟．學(xué)生在學(xué)完第 2． 9 節(jié)《函數(shù)的應(yīng)用舉例》一節(jié)后，對數(shù)學(xué)模型的概念已經(jīng)有了初步了解，這時教師再帶領(lǐng)學(xué)生閱讀《自由落體運(yùn)動的數(shù)學(xué)模型 》一文，能使學(xué)生對數(shù)學(xué)模型及數(shù)學(xué)模型方法有比較完整的認(rèn)識，使數(shù)學(xué)知識的運(yùn)用得到升華． 近幾年來，數(shù)學(xué)應(yīng)用題一直是高考熱點(diǎn)題型之一．如 1997 年的“運(yùn)輸成本”問題， 1998 年的“污水沉淀箱”問題， 1999 年的“減薄率”問題，等等．解決這些問題所涉及到的數(shù)學(xué)知識并不是中學(xué)數(shù)學(xué)中特別高深的理論，然而考試成績并不理想，其主要原因是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系 不緊．因此，在平時的教學(xué)中，教師要注意從學(xué)生所熟悉的生活、生產(chǎn)中的實(shí)際問題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生把數(shù)學(xué)知識運(yùn)用到生活和生產(chǎn)實(shí)踐中去．而《有關(guān)儲蓄的計(jì)算》、《抽簽有先有后，對各人公平嗎 ?》等閱讀材料都是給靠近課本的數(shù)學(xué)模型賦予使學(xué)生可理解、可接受、感興趣的具體問題，教學(xué)中可以借助這些閱讀材料，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)語言來表示實(shí)際問題中的數(shù)學(xué)關(guān)系，進(jìn)而使學(xué)生認(rèn)識到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要性和必要性，幫助學(xué)生糾正“數(shù)學(xué)難而無用”的錯誤思想，喚起他們的求知欲，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)他們自覺學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的意識．因而，忽視這 部分內(nèi)容的教學(xué)，就可能喪失一次訓(xùn)練學(xué)生解決實(shí)際問題能力的機(jī)會． 四、挖掘閱讀材料中的數(shù)學(xué)思想和方法，加強(qiáng)對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng) 某些閱讀材料中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想和方法．“不完全歸納法與完全歸納法”告訴學(xué)生不完全歸納法雖然不能作為一種論證方法，但是研究數(shù)學(xué)的一把鑰匙，是發(fā)現(xiàn)規(guī)律、探求結(jié)論的一種重要手段，猜想與證明正是以不完全歸納法與完全歸納法為依據(jù)的重要解題方法之一；文中完全歸納法的例題之一，證明圓周角定理按圓心位置分三種情況討論還隱含著分類思想． 《柱體和錐體的體積》一文中體積公式的推導(dǎo)是通過分 割棱柱使之轉(zhuǎn)化為棱錐而完成的，其中滲透了化歸思想．《復(fù)數(shù)系是怎樣建立的》這篇閱讀材料則揭示了數(shù)形結(jié)合思想在推動虛數(shù)這一新的研究對象發(fā)生、形成和發(fā)展中所起的重要作用．《同頻率正弦電流相加，頻率不變》放在第 4 11 節(jié)“已知三角函數(shù)值求角”之后，是因?yàn)槠鋬?nèi)容要綜合運(yùn)用正弦的和角公式，函數(shù) 中頻率 的概念和作用，以及已知角 的正弦、余弦值求 等知識，這里的 可以看成參數(shù)．因此，本篇閱讀材料不僅反映了數(shù)學(xué)知識在物理學(xué)科中的應(yīng)用，還滲透了數(shù)學(xué)中的參數(shù)法等．?dāng)?shù)學(xué)思想方法是思維的工具，是形成數(shù)學(xué)能力的必要條件，而學(xué)生的數(shù)學(xué)思想和方法需要在教師平時教學(xué)的及時總結(jié)、不斷提煉、悉心培養(yǎng)中形成．教師如果能從閱讀材料中挖掘其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，對學(xué)生能力的提高會大有裨益． 總之，新教材中增加的 23 篇閱讀材料，穿插于課文間有其不可替代的教育功能，教師若能深入領(lǐng)會閱讀材料的編寫意圖，切實(shí)搞好教學(xué)，不僅能豐富課堂教學(xué)內(nèi)容， 而且使數(shù)學(xué)課更具有特色，有利于全面推進(jìn)素質(zhì)教育． 摘自中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考 著名不等式薈萃 在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里，不等式知識占有廣闊的天地，而一個個的重要不等式又把這片天地裝點(diǎn)得更加豐富多彩．下面擇要介紹一些著名的不等式． 一、平均不等式（均值不等式） 設(shè) ， ，?， 是 個實(shí)數(shù)， 數(shù)學(xué)驛站 叫做這 個實(shí)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)。當(dāng)這 個實(shí)數(shù)非負(fù)時， 叫做這 個非負(fù)數(shù)的幾何平均數(shù)。當(dāng)這 個實(shí)數(shù)均為正數(shù)時， 叫做這 個正數(shù)的調(diào)和平均數(shù)。 設(shè) ， ，?， 為 個正數(shù)時，對如下的平均不等式： ， 當(dāng)且僅當(dāng) 時等號成立。 平均不等式 是一個重要的不等式，它的應(yīng)用非常廣泛，如求某些函數(shù)的最大值和最小值即是其應(yīng)用之一。 設(shè) ， ，?， 是 個正的變數(shù)，則 （ 1）當(dāng)積 是定值時，和 有最小值，且 ； （ 2）當(dāng)和 是定值時，積 有最大值，且 兩者都是當(dāng)且僅當(dāng) 個變數(shù)彼此相等時，即 時，才能取得最大值或最小值。 在 中，當(dāng) 時，分別有 數(shù)學(xué)驛站 ， 平均不等式 經(jīng)常用到的幾個特例是（下面出現(xiàn)的 時等號成立； （ 3） ， 當(dāng)且僅當(dāng) 時等號成立； （ 4） ，當(dāng)且僅當(dāng) 時等號成立。 二、柯西不等式（柯西 — 許瓦茲不等式或柯西 — 布尼雅可夫斯基不等式） 對任意兩組實(shí)數(shù) ， ，?， ； ， ，?， ，有 ，其中等號當(dāng)且僅當(dāng) 時成立。 柯西不等式經(jīng)常用到的幾個特例（下面出現(xiàn)的 ，?， ； ，?， 都表示實(shí)數(shù)）是： （ 1） ， ，則 （ 2） （ 3） 柯西不等式是又一個重要不等式，有許多應(yīng)用和推廣，與柯西不等式有關(guān)的競賽題也頻頻出現(xiàn)，這充分顯示了它的獨(dú)特地位。 三、閔可夫斯基不等式 設(shè) ， ，?， ； ， ，?， 是兩組正數(shù)， ，則 數(shù)學(xué)驛站 （ ） （ ） 當(dāng)且僅當(dāng) 時等號成立。 閔可夫斯基不等式是用某種長度度量下的三角形不等式，當(dāng) 時得平面上的三角形不等式： 右圖給出了對上式的一個直觀理解。 若記 ， ，則上式為 四、貝努利不等式 （ 1）設(shè) ，且同號，則 （ 2）設(shè) ，則 （?。┊?dāng) 時，有 ； （