【正文】 柯西不等式經(jīng)常用到的幾個(gè)特例（下面出現(xiàn)的 ，?， ； ，?， 都表示實(shí)數(shù)）是： （ 1） ， ，則 （ 2） （ 3） 柯西不等式是又一個(gè)重要不等式，有許多應(yīng)用和推廣，與柯西不等式有關(guān)的競賽題也頻頻出現(xiàn)，這充分顯示了它的獨(dú)特地位。 [點(diǎn)評 ] 要正確理解 的意義，即方程 要有解，且解在定義域內(nèi)． [字幕 ] 例 2 某工廠要建造一個(gè)長方體無蓋貯水池，其容積為 4800 ，深為 3 m，如果池底每l 的造價(jià)為 150 元，池壁每 1 的造價(jià)為 120 元，問怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是多少元？ ［分析］ 設(shè)水池底面一邊的長為 m，水池的總造價(jià)為 y，建立 y 關(guān)干 的函數(shù)．然后用定理求函數(shù) y 的最小值． 解：設(shè)水池底面一邊的長度為 m，則另一邊的長度為 m，又設(shè)水池總造價(jià)為 y 元，根據(jù)題意，得 （ ） 所以 當(dāng) ，即 時(shí)， y 有最小值 297600．因此，當(dāng)水池的底面是邊長為 40 m 的正方形時(shí)．水池的總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是 297600元． 設(shè)計(jì)意圖：加深理解應(yīng)用平均值定理求最值的方法，學(xué)會應(yīng)用平均值定理解決某些函數(shù)最值問題和實(shí)際問題，并掌握分析變量的構(gòu)建思想．培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力，化歸的數(shù)學(xué)思想． 【課堂練習(xí)】 （教師活動）打出字幕（練習(xí)），要求學(xué)生獨(dú)立思考，完成練習(xí)；請三位同學(xué)板演；巡視學(xué)生解題情況，對正確的給予肯定，對偏差進(jìn)行糾正；講評練習(xí)． （學(xué)生活動）在筆記本且完成練習(xí)、板演． 數(shù)學(xué)驛站 ［字幕〕練習(xí) A 組 1．求函數(shù) （ ）的最大值． 2 求函數(shù) （ ）的最值． 3．求函數(shù) （ ）的最大值． B 組 1．設(shè) ，且 ，求 的最大值． 2．求函數(shù) 的最值，下面解法是否正確？為什么？ 解： ，因?yàn)? ，則 ．所以 [講評 ] A 組 1． ； 2． ； 3． B 組 1． ； 2．不正確 ①當(dāng) 時(shí)， ；②當(dāng) 時(shí)， ，而函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)沒有最值． 設(shè)計(jì)意圖； A 組題訓(xùn)練學(xué)生掌握應(yīng)用平均值定理求最值． B 組題訓(xùn)練學(xué)生掌握平均值定理的綜合應(yīng)用，并對一些易出現(xiàn)錯(cuò)誤的地方引起注意．同時(shí)反饋課堂教學(xué)效果，調(diào)節(jié)課堂教學(xué)． 【分析歸納、小結(jié)解法】 （教師活動）分析歸納例題和練習(xí)的解題過程，小結(jié)應(yīng)用平均值定理解決有關(guān)函數(shù)最 值問題和實(shí)際問題的解題方法． （學(xué)生活動）與教師一道分析歸納，小結(jié)解題方法，并記錄筆記． 1．應(yīng)用平均值定理可以解決積為定值或和為定值條件下，兩個(gè)正變量的和或積的最值問題． 數(shù)學(xué)驛站 2．應(yīng)用定理時(shí)注意以下幾個(gè)條件：（?。﹥蓚€(gè)變量必須是正變量．（ⅱ）當(dāng)它們的和為定值時(shí)，其積取得最大值；當(dāng)它們的積是定值時(shí)，其和取得最小值．（ iii）當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)數(shù)相等時(shí)取最值，即必須同時(shí)滿足“正數(shù)”、“定值”、“相等”三個(gè)條件，才能求得最值． 3．在求某些函數(shù)的最值時(shí)，會恰當(dāng)?shù)暮愕茸冃?—— 分析變量、配置系數(shù)． 4．應(yīng) 用平均值定理解決實(shí)際問題時(shí)，應(yīng)注意：（ l）先理解題意，沒變量，把要求最值的變量定為函數(shù)．（ 2）建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問題抽象為函數(shù)的最值問題，確定函數(shù)的定義域．（ 3）在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最值，正確寫出答案． 設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生分析歸納問題的能力，幫助學(xué)生形成知識體系，全面深刻地掌握平均值定理求最值和解決實(shí)際問題的方法． （三）小結(jié) （教師活動）教師小結(jié)本節(jié)課所學(xué)的知識要點(diǎn)． （學(xué)生活動）與教師一道小結(jié)，并記錄筆記． 這節(jié)課學(xué)習(xí)了利用平均值定理求某些函數(shù)的最值問題．現(xiàn)在我們又多了一 種求正變量在定積或定和條件下的函數(shù)最值方法．這是平均值定理的一個(gè)重要應(yīng)用，也是本節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容，同學(xué)們要牢固掌握． 應(yīng)用定理時(shí)要注意定理的適用條件，即“正數(shù)、定值、相等”三個(gè)條件同時(shí)成立，且會靈活轉(zhuǎn)化問題，達(dá)到化歸的目的． 設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生對所學(xué)知識進(jìn)行概括歸納的能力，鞏固所學(xué)知識． （四）布置作業(yè) 1．課本作業(yè)： P ， 6， 7． 2．思考題：設(shè) ，求函數(shù) 的最值． 3．研究性題：某種汽車購車時(shí)費(fèi)用為 10 萬元，每年保險(xiǎn)、養(yǎng)路、汽車費(fèi)用 9 千元；汽車的維修費(fèi)各年為：第一年 2 千元，第二年 4 千元，依每年 2 千元的增量逐年遞增．問這種汽車最多使用多少年報(bào)廢最合算（即使用多少年的平均費(fèi)用最少）？ 設(shè)計(jì)意圖：課本作業(yè)供學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識；思考題供學(xué)有余力的學(xué)生練習(xí)，使學(xué)生能靈活運(yùn)用定理解決某些數(shù)學(xué)問題；研究性題培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力． （五）課后點(diǎn)評 1．關(guān)于新課引入設(shè)計(jì)的想法： 導(dǎo)入這一環(huán)節(jié)是調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，激發(fā)學(xué)生探究精神的重要環(huán)節(jié)，本節(jié)課開始給出一個(gè)引例，通過探究解決此問題的各種解法，產(chǎn)生用平均值定理求最值，點(diǎn)明課題．事實(shí)上，在解決引例問題的過程中也恰恰突出了教學(xué)重點(diǎn)． 數(shù)學(xué)驛站 2．關(guān)于課堂練習(xí)設(shè)計(jì)的想法： 正確理解和使用平均值定理求某些函數(shù)的最值是教學(xué)難點(diǎn)．為突破難點(diǎn)，教師單方面強(qiáng)調(diào)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，只有讓學(xué)生通過自己的思考、嘗試，發(fā)現(xiàn)使用定理的三個(gè)條件缺一不可，才能大大加深學(xué)生對正確使用定理的理解，設(shè)計(jì)解法正誤討論能夠使學(xué)生嘗試失敗，并 從失敗中找到錯(cuò)誤原因，加深了對正確解法的理解，真正把新知識納入到原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中． 3．培養(yǎng)應(yīng)用意識． 教學(xué)中應(yīng)不失時(shí)機(jī)地使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)源于客觀世界并反作用干客觀世界．為增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識，在平時(shí)教學(xué)中就應(yīng)適當(dāng)增加解答應(yīng)用問題的教學(xué)．本節(jié)課中設(shè)計(jì)了兩道應(yīng)用問題，用剛剛學(xué)過的數(shù)學(xué)知識解決了問題，使學(xué)生不禁感到“數(shù)學(xué)有用，要用數(shù)學(xué)”． 作業(yè)解答 思考題： ．當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)，上式取等號．所以當(dāng) 時(shí)，函數(shù) y 有最小值 9，無最大值． 研究性題：設(shè)使用 年報(bào)廢最合算，由題意有； 年平均費(fèi)用 當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)，取得最小值，即使用 10 年報(bào)廢最合算，年平均費(fèi)用 3 萬元． （程紹烘） 數(shù)學(xué)驛站 數(shù)學(xué)驛站 不等式 的推廣及應(yīng)用 數(shù)學(xué)驛站 人教版《高中數(shù)學(xué)第二冊》（上） P11第 1 題證明不等式 .利用該不等式可以簡捷巧妙地解答其它一些不等式問題 .本文簡單介紹它的應(yīng)用及推廣，供大家在教學(xué)中參考 . 一、不等式 的應(yīng)用 例 1 設(shè) c 是直角三角形斜邊的長，兩直角邊長為 a 和 b,求證 證明：∵ 例 2 填空：設(shè) 的最小值為 . 當(dāng)且僅當(dāng) . 例 3 設(shè) A、 B、 C、 D 為空間中的四點(diǎn)， 求證： 數(shù)學(xué)驛站 證明：如圖，取 BD 的中點(diǎn) E，連結(jié) AE和 EC，則在 △ ABD和 △ BCD中，根據(jù)中線的性質(zhì)，有 二、不等式 的推廣及應(yīng)用 不等式 可以推廣成如下命題： 如果 ： =an時(shí)取 “ =”號） . 證明： 數(shù)學(xué)驛站 例 4 （外森比克不等式）已知三角形的邊長為 a,b,c，其面積為 S，求證 ，并指出何時(shí)等號成立 . 證明：由海倫公式， 例 5 試確定 的所有實(shí)數(shù)解 . 解：由 取“ =”號 . 數(shù)學(xué)驛站 所以，原方程組有唯一實(shí)數(shù)解 三、不等式 的再推廣及應(yīng)用 不等式 還可以再推廣，這就是著名的 Holder不等式 . 如果 （當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取“ =”號） . 證明從略 . 例 6 求證： 證明：由 Holder不等式，得 例 7 設(shè) A、 B、 C 為 △ ABC的三個(gè)內(nèi)角， n為自然數(shù)，求證 數(shù)學(xué)驛站 證明：由 不等式，得 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取“ =”號 . 例 8 已知 ，求證 證明：由 H lder 不等式，得 事實(shí)上，我們稱 Mm( = 為 n 個(gè)正數(shù) 的 m 次冪平均．關(guān)于冪平均有下面的定理： 如果 為正數(shù)， ，那么 （ ）（當(dāng)且僅當(dāng) a1=a2=? =an時(shí)取“ =”號）． 數(shù)學(xué)驛站 證明從略． 據(jù)定理，有 Ｍ ２ （ ） Ｍ １ （ ）（當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取“ =”號），即 ） （ ）（當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取“ =”號），即為 不等式 . 閱讀材料在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用 文／劉 虹 全日制普通高級中學(xué)數(shù)學(xué)教科書（試驗(yàn)本）第一至三冊共編入 23 篇閱讀材料．由于教學(xué)大綱沒有對這部分內(nèi)容做具體要求，在教學(xué)中 往往被教師忽略．筆者認(rèn)為，作為教材的一部分，正文內(nèi)容的補(bǔ)充，教師應(yīng)鼓勵(lì)、要求、指導(dǎo)學(xué)生課外閱讀．如果處理好這些內(nèi)容，能夠提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，開闊他們的視野，激勵(lì)學(xué)生熱愛科學(xué)、敢于創(chuàng)新的精神，培養(yǎng)他們良好的個(gè)性品質(zhì)，使數(shù)學(xué)課程在從應(yīng)試教育向素質(zhì)教育轉(zhuǎn)軌的過程中發(fā)揮更積極的作用．以下談?wù)勛约涸诮虒W(xué)中的幾點(diǎn)體會． 一、進(jìn)行數(shù)學(xué)史教育，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)品質(zhì) 關(guān)于數(shù)學(xué)史教育，一般在必修課教學(xué)過程中涉及不多，然而史學(xué)教育對于了解一門學(xué)科起著重要作用．部分閱讀材料正是教師對學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)史教育的良好素材．如《 笛卡兒和費(fèi)馬》一文介紹了解析幾何學(xué)產(chǎn)生的歷史背景，以及兩位數(shù)學(xué)家笛卡兒和費(fèi)馬在創(chuàng)立這門學(xué)科過程中的主要貢獻(xiàn)；《復(fù)數(shù)系是怎樣建立的》則向?qū)W生展示了建立復(fù)數(shù)系的漫長過程，并指明了復(fù)數(shù)廣闊的應(yīng)用領(lǐng)域和發(fā)展前景．對這兩篇閱讀材料的處理，教師可以從以下兩個(gè)方面指導(dǎo)學(xué)生閱讀：首先，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)發(fā)展過程中的每一項(xiàng)重大發(fā)現(xiàn)的偶然性與必然性，以及其中所蘊(yùn)藏著的不懈追求與探索的精神．眾多數(shù)學(xué)家們的嚴(yán)謹(jǐn)、踏實(shí)、不畏艱難、追求真理、敢于創(chuàng)新的科學(xué)精神，會帶給學(xué)生極大的啟示和教育，使其受益終身；其次，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)發(fā)展的過去、現(xiàn)在 和未來，了解數(shù)學(xué)發(fā)展的前沿和動態(tài)，有助于促使學(xué)生產(chǎn)生使命感．閱讀完這一材料后，學(xué)生對“超復(fù)數(shù)”表示出較大的興趣，教師可指出，數(shù)系的擴(kuò)張是無窮無盡的，超復(fù)數(shù)的提出留給了學(xué)生立志于數(shù)學(xué)研究的廣闊空間，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，明確今后的努力方向． 二、處理好與教材知識前后呼應(yīng)的內(nèi)容，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力 通過學(xué)習(xí)與所學(xué)知識有聯(lián)系的閱讀材料，能促進(jìn)學(xué)生對知識的理解，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)．對這部分內(nèi)容教師應(yīng)不拘形式地指導(dǎo)學(xué)生閱讀．例如，無窮等比數(shù)列各項(xiàng)和的概念及計(jì)算公式在教學(xué)大綱中雖然沒有作要求，但是如果學(xué)生掌握 （ ＝這一公式，可以簡化解題步驟，提高解題效率．因此，對《無窮等比數(shù)列》（ ＝的和＝的處理我采取了以下方式：在完成教材（第三冊）第 2． 2 節(jié)例 3 求 的教學(xué)后，讓學(xué)生討論一般的無窮等比數(shù)列 ， ， ，?， ，?當(dāng) 時(shí)前 項(xiàng)和的極限，學(xué)生能夠較快地得出結(jié)論．這時(shí)，教師指出Ｓ ｎ 與Ｓ的區(qū)別，并要求學(xué)生課后學(xué)習(xí)閱讀材料《無窮等比數(shù)列》 ＝的和＝．通過閱讀，學(xué)生能進(jìn)一步了解到利用 不僅能提高解題速度，還能將無限循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，而且能解決其他涉及這種等比關(guān)系的求和問題．再如，教學(xué)大綱對兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，要求“不擴(kuò)展到三個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不少于它們的幾何平均數(shù)定理”．于是，對《幾個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與集合平均數(shù)》一文可指導(dǎo)學(xué)有余力的同學(xué)閱讀，并可適當(dāng)補(bǔ)充一些習(xí)題，使學(xué)生了解均值不等式在證明不等式及解決有關(guān)最大值、最小值的實(shí)際問題中的重要作用，這樣既能滿足學(xué)生對知識的渴求，也能開闊學(xué)生的思路，有助于提高學(xué)生的解題能力． 數(shù)學(xué)驛站 三、加強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)科與社會及相關(guān) 學(xué)科的橫向聯(lián)系，強(qiáng)化用數(shù)學(xué)的意識 《全日制普通高級中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》在要求培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力中指出：會提出、分析和解決帶有實(shí)際意義的或在相關(guān)學(xué)科、生產(chǎn)和日常生活中的數(shù)學(xué)問題；會使用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、進(jìn)行交流，形成用數(shù)學(xué)的意識．作為工具學(xué)科的數(shù)學(xué)，與物理、化學(xué)及日常生活息息相關(guān)，當(dāng)某一個(gè)學(xué)科的問題一旦被數(shù)學(xué)化之后，它就被納入了數(shù)學(xué)的軌道，從而能借助數(shù)學(xué)方法得以解決．《自由落體運(yùn)動的數(shù)學(xué)模型 》一文扼要地介紹了數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)模型方法，并以意大利科學(xué)家伽利略在 16 世紀(jì)研究自由落體運(yùn)動的過程為例，具體地說明了用數(shù)學(xué)模型方法解決問題的基本步驟．學(xué)生在學(xué)完第 2． 9 節(jié)《函數(shù)的應(yīng)用舉例》一節(jié)后，對數(shù)學(xué)模型的概念已經(jīng)有了初步了解，這時(shí)教師再帶領(lǐng)學(xué)生閱讀《自由落體運(yùn)動的數(shù)學(xué)模型 》一文，能使學(xué)生對數(shù)學(xué)模型及數(shù)學(xué)模型方法有比較完整的認(rèn)識，使數(shù)學(xué)知識的運(yùn)用得到升華． 近幾年來，數(shù)學(xué)應(yīng)用題一直是高考熱點(diǎn)題型之一．如 1997 年的“運(yùn)輸成本”問題， 1998 年的“污水沉淀箱”問題， 1999 年的“減薄率”問題，等等．解決這些問題所涉及到的數(shù)學(xué)知識并不是中學(xué)數(shù)學(xué)中特別高深的理論，然而考試成績并不理想，其主要原因是傳