【文章內容簡介】 卻回避了討論，得到了巧妙的解法 2 與解法 3。 數(shù)學驛站 數(shù)學驛站 數(shù)學驛站 數(shù)學驛站 數(shù)學驛站 數(shù)學驛站 數(shù)學驛站 數(shù)學驛站 數(shù)學驛站 數(shù)學驛站 數(shù)學驛站 數(shù)學驛站 數(shù)學驛站 數(shù)學驛站 數(shù)學驛站 教學目標 （ 1）掌握 “ 兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù) ” 這一重要定理； （ 2）能運用定理證明不等式及求一些函數(shù)的最值； （ 3）能夠解決一些簡單的實際問題； （ 4）通過對不等式的結構的分析及特征的把握掌握重要不等式的聯(lián)系； （ 5）通過對重要不等式的證明和等號成立的條件的分析，培養(yǎng)學生嚴謹科學的認識習慣，進一步滲透變量和常量的哲學觀； 教學建議 1．教材分析 （ 1）知識結構 數(shù)學驛站 本節(jié)根據不等式的性質推導出一個重要的不等式： ，根據這個結論，又得到了一個定理： ，并指出了 為 的算術平均數(shù)， 為 的幾何平均數(shù)后，隨后給出了這個定理的幾何解釋。 （ 2）重點、難點分析 本節(jié)課的重點內容是掌握“兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)”；掌握兩個正數(shù)的和為定值時積有最大值，積為定值時和有最小值的結論，教學難點是正確 理解和使用平均值定理求某些函數(shù)的最值．為突破重難點，教師單方面強調是遠遠不夠的，只有讓學生通過自己的思考、嘗試，注意到平均值定理中等號成立的條件，發(fā)現(xiàn)使用定理求最值的三個條件“一正，二定，三相等”缺一不可，才能大大加深學生對正確使用定理的理解，教學中要注意培養(yǎng)學生分析歸納問題的能力，幫助學生形成知識體系，全面深刻地掌握平均值定理求最值和解決實際問題的方法． ㈠定理教學的注意事項 在公式 以及算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理的教學中，要讓學生注意以下兩點： （ 1） 和 成立的條件是不同的：前者只要求 都是實數(shù)，而后者要求 都是正數(shù)。 例如 成立，而 不成立。 （ 2）這兩個公式都是帶有等號的不等式，因此對其中的“當且僅當??時取‘ =’號”這句話的含義要搞清楚。教學時，要提醒學生從以下兩個方面來理解這句話的含義： 當 時取等號，其含義就是： 僅當 時取等號，其含義就是： 綜合起來，其含義就是： 是 的充要條件。 （二）關于用定理證明不等式 數(shù)學驛站 當用公式 ， 證明不等式時，應該使學生認 識到： 它們本身也是根據不等式的意義、性質或用比較法（將在下一小節(jié)學習）證出的。因此，凡是用它們可以獲證的不等式，一般也可以直接根據不等式的意義、性質或用比較法證明。 （三）應用定理求最值的條件 應用定理時注意以下幾個條件： （ 1）兩個變量必須是正變量； （ 2）當它們的和為定值時，其積取得最大值；當它們的積是定值時，其和取得最小值； （ 3）當且僅當兩個數(shù)相等時取最值． 即必須同時滿足“正數(shù)”、“定值”、“相等”三個條件，才能求得最值． 在求某些函數(shù)的最值時，還要注意進行恰當?shù)暮愕?變形、分析變量、配置系數(shù)． （四）應用定理解決實際問題的分析 在應用兩個正數(shù)的算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理解決這類實際問題時，要讓學生注意； （ 1）先理解題意，設變量，設變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)； （ 2）建立相應的函數(shù)關系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題； （ 3）在定義域內，求出函數(shù)的最大值或最小值； （ 4）正確寫出答案。 2．教法建議 （ 1）導入新課建議采用學生比較熟悉的問題為背景，這樣容易被學生接受，產生興趣，激發(fā)學習動機．使得學生學習本節(jié)課知識自 然且合理． （ 2）在新授知識過程中，教師應力求引導、啟發(fā)，讓學生逐步回憶所學的知識，并應用它們來分析問題、解決問題，以形成比較系統(tǒng)和完整的知識結構．對有關概念使學生理解準確，盡量以多種形式反映知識結構，使學生在比較中得到深刻理解． （ 3）教學方法建議采用啟發(fā)引導，講練結合的授課方式，發(fā)揮教師主導作用，體現(xiàn)學生主體地位，學生獲取知識必須通過學生自己一系列思維活動完成，啟發(fā)誘導學生深入思考問題，有利于培養(yǎng)學生思維靈活、嚴謹、深刻等良好思維品質． （ 4）可以設計解法的正誤討論，這樣能夠使學生嘗試失敗， 并從失敗中找到錯誤原因，加深對正確解法的理解，真正把新知識納入到原有認知結構中． （ 5）注意培養(yǎng)應用意識．教學中應不失時機地使學生認識到數(shù)學源于客觀世界并反作用干客觀世界．為增強學生的應用意識，在平時教學中就應適當增加解答應用問題的教學，使學生不禁感到“數(shù)學有用，要用數(shù)學”． 數(shù)學驛站 第一課時 教學目標： 1． 學會推導并掌握兩個正數(shù)的算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理； 2． 理解定理的幾何意義； 3． 能夠簡單應用定理證明不等式 . 教學重點：均值定理證明 教學難點：等號成立條件 教學方法：引導式 教學過程： 一、復習回顧 上一節(jié)，我們完成了對不等式性質的學習，首先我們來作一下回顧 . （學生回答） 由上述性質，我們可以推導出下列重要的不等式 . 二、講授新課 1． 重要不等式： 如果 證明： 當 所以， 即 由上面的結論，我們又可得到 2． 定理：如果 是正數(shù)，那么 數(shù)學驛站 證明：∵ ? 即 ? 顯然，當且僅當 ? 說明：?。┪覀兎Q ? 的算術平均數(shù)，稱 ? 的幾何平均數(shù)，因而，此定理又可敘述為：兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù) . ⅱ） 成立的條件是不同的：前者只要求 都是實數(shù)，而后者要求 都是正數(shù) . ⅲ）“當且僅當”的含義是充要條件 . 3．均值定理的幾何意義是“半徑不小于 半弦” . 以長為 的線段為直徑作圓，在直徑 AB 上取點 C， .過點 C 作垂直于直徑AB 的弦 DD′ ,那么 即 這個圓的半徑為 ，顯然，它不小于 CD，即 ，其中當且僅當點 C 與圓心重合；即 時，等號成立 . 在定理證明之后，我們來看一下它的具體應用 . 4． 例題講解： 例 1 已知 都是正數(shù)，求證： （ 1）如果積 是定值 P,那么當 時，和 有最小值 數(shù)學驛站 （ 2）如果和 是定值 S,那么當 時，積 有最大值 證明：因為 都是正數(shù)，所以 （ 1）積 xy 為定值 P 時，有 上式當 時，取“ =”號，因此，當 時，和 有最小值 . （ 2）和 為定值 S 時，有 上式當 時取“ =”號，因此，當 時，積 有最大值 . 說明：此例題反映的是利用均值定理求最值的方法，但應注意三個條件： （ 1）函數(shù)式中各項必須都是正 數(shù) 。 （ 2）函數(shù)式中含變數(shù)的各項的和或積必須是常數(shù)； （ 3）等號成立條件必須存在 . 接下來，我們通過練習來進一步熟悉均值定理的應用 . 三、課堂練習 課本 P11練習 2， 3 要求：學生板演，老師講評 . 課堂小結： 數(shù)學驛站 通過本節(jié)學習，要求大家掌握兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會應用它證明一些不等式，但是在應用時，應注意定理的適用條件 . 課后作業(yè)：習題 1， 2， 3， 4 板書設計： 167。 ?? 1．重要不等式 說明?。? ?? 學生 ?? ⅱ） ?? 練習 ⅲ） ?? 2．均值定理 ?? ?? 第二課時 教學目標： 1． 進一步掌握均值不等式定理； 2． 會應用此定理求某些函數(shù)的最值； 3． 能夠解決一些簡單的實際問題 . 教學重點：均值不等式定理的應用 教學難點： 解題中的轉化技巧 教學方法：啟發(fā)式 教學過程： 一、復習回顧 上一節(jié)，我們一起學習了兩個正數(shù)的算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理，首先我們來回顧 一下定理內容及其適用條件 . （學生回答） 數(shù)學驛站 利用這一定理，可以證明一些不等式，也可求解某些函數(shù)的最值，這一節(jié)，我們來繼續(xù)這方面的訓練 . 二、講授新課 例 2 已知 都是正數(shù)，求證： 分析：此題要求學生注意與均值不等式定理的“形”上發(fā)生聯(lián)系，從而正確運用，同時加強對均值不等式定理的條件的認識 . 證明：由 都是正數(shù)，得 即 例 3 某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為 ，深為 3m，如果池底每 的造價為 150 元，池壁每 的造價為 120 元，問怎樣設計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？ 分析：此題首先需要由實際問題向數(shù)學問題轉化，即建 立函數(shù)關系式，然后求函數(shù)的最值，其中用到了均值不等式定理 . 解：設水池底面一邊的長度為 xm，水池的總造價為 l 元，根據題意，得 當 因此，當水池的底面是邊長為 40m 的正方形時，水池的總造價最低，最低總造價是 297600元 . 數(shù)學驛站 評述：此題既是不等式性質在實際中的應 用，應注意數(shù)學語言的應用即函數(shù)解析式的建立，又是不等式性質在求最值中的應用，應注意不等式性質的適用條件 . 為了進一步熟悉均值不等式定理在證明不等式與求函數(shù)最值中的應用，我們來進行課堂練習 . 三、課堂練習 課本 P11練習 1， 4 要 求：學生板演，老師講評 . 課堂小結： 通過本節(jié)學習，要求大家進一步掌握利用均值不等式定理證明不等式及求函數(shù)的最值，并認識到它在實際問題中的應用 . 課后作業(yè)： 習題 5,6,7 板書設計： 均值不等式 例 2 167。 .2 例 3 學生 定理回顧 ?? ?? ?? ?? ?? 練習 ?? ?? ?? 第一課時 一、教材分析 （一）教材所處的地位和作用 “算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)”是全日制普通高級中學教科書（試驗修訂本必修）數(shù)學第二冊（上）“不等式”一章的內容，是在學完不等式性質 的基礎上對不等式的進一步研究．本節(jié)內容具有變通靈活性、應用廣泛性、條件約束性等特點，所以本節(jié)內容是培養(yǎng)學生應用數(shù)學知識，靈活解決實際問題，學數(shù)學用數(shù)學的好素材二同時本節(jié)知識又滲透了數(shù)形結合、化歸等重要數(shù)學思想，所以有利于培養(yǎng)學生良好的思維品質． （二）教學目標 數(shù)學驛站 1．知識目標：理解兩個實數(shù)的平方和不小于它們之積的 2 倍的重要不等式的證明及其幾何解釋；掌握兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)定理的證明及其幾何解釋；掌握應用平均值定理解決一些簡單的應用問題． 2．能力目標：培養(yǎng)學生數(shù)形結合、化 歸等數(shù)學思想． （三）教學重點、難點、關鍵 重點：用平均值定理求某些函數(shù)的最值及有關的應用問題． 難點：定理的使用條件，合理地應用平均值定理． 關鍵：理解定理的約束條件，掌握化歸的數(shù)學思想是突破重點和難點的關鍵． （四）教材處理 依據新大綱和新教材，本節(jié)分為二個課時進行教學．第一課時講解不等式（兩個實數(shù)的平方和不小于它們之積的 2 倍）和平均值定理及它們的幾何解釋．掌握應用定理解決某些數(shù)學問題．第二課時講解應用平均值定理解決某些實際問題．為了講好平均值定理這節(jié)內容，在緊扣新教材的前提下， 對例題作適當?shù)恼{整，適當增加例題． 二、教法分析 （－）教學方法 為了激發(fā)學生學習的主體意識，又有利于教師引導學生學習，培養(yǎng)學生的數(shù)學能力與創(chuàng)新能力，使學生能獨立實現(xiàn)學習目標．在探索結論時，采用發(fā)現(xiàn)法教學；在定理的應用及其條件的教學中采用歸納法；在訓練部分，主要采用講練結合法進行． （二）教學手段 根據本節(jié)知識特點，為突出重點，突破難點，增加教學容量，利用計算機輔導教學． 三、教學過程設計 6． 2 算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)（第一課時） （一）導入新課 （教師活動） 1．教師打出字幕（提出問題）