【正文】 質(zhì)求極值不失為一種好方法，我們不妨試一試。 數(shù)學(xué)驛站 數(shù)學(xué)驛站 巧用不等式性質(zhì)速求物理量極值 極值問(wèn)題是物理應(yīng)用中常見(jiàn)問(wèn)題之一，解決這類(lèi)問(wèn)題的方法有幾種，如二次函數(shù)配方法、二次方程判別法、三角函數(shù)法、幾何作圖法，對(duì)于同一問(wèn)題采取方法不同，其效果往往并一樣。 說(shuō)明： 1）是真分?jǐn)?shù)的性質(zhì)，可簡(jiǎn)述為：真分?jǐn)?shù)越加越大，越減越小。 3．取絕對(duì)值的 性質(zhì) 1） 。 2）若 ，則 。 不等式的性質(zhì) 1．同向不等式 2 3 3 異向不等式 證明 證明 推論 2．定理 1 證明 說(shuō)明 說(shuō)明 證明 第三課時(shí) 教學(xué)目標(biāo) 1． 熟練掌握定理 1， 2， 3 的應(yīng)用； 2． 掌握并會(huì)證明定理 4 及其推論 1， 2； 3． 掌握反證法證明定理 5. 教學(xué)重點(diǎn)：定理 4， 5 的證明 . 教學(xué)難點(diǎn)：定理 4 的應(yīng)用 . 教學(xué)方法：引導(dǎo)式 數(shù)學(xué)驛站 教學(xué)過(guò)程： 一、復(fù)習(xí)回顧 上一節(jié)課，我們一起學(xué)習(xí)了不等式的三個(gè)性質(zhì)，即定理 1， 2， 3， 并初步認(rèn)識(shí)了證明不等式的邏輯推理方法，首先，讓我們來(lái)回顧一下三個(gè)定理的基本內(nèi)容 . （學(xué)生回答） 好，我們這一節(jié)課將繼續(xù)推論定理 5 及其推論，并進(jìn)一步熟悉不等式性質(zhì)的應(yīng)用 . 二、講授新課 定理 4：若 若 證明： 根據(jù)同號(hào)相乘得正，異號(hào)相乘得負(fù)，得 當(dāng) 說(shuō)明：（ 1）證明過(guò)程中的關(guān)鍵步驟是根據(jù)“同號(hào)相乘得正，異號(hào)相乘得負(fù)”來(lái)完成的； （ 2）定理 4 證明在一個(gè)不等式兩端乘以同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變；乘以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變 . 推論 1：若 證明： ① 又 數(shù)學(xué)驛站 ∴ ② 由①、②可得 . 說(shuō)明：（ 1）上述證明是 兩次運(yùn)用定理 4，再用定理 2 證出的； （ 2）所有的字母都表示正數(shù)，如果僅有 ，就推不出 的結(jié)論 . （ 3）這一推論可以推廣到任意有限個(gè)兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘 .這就是說(shuō)，兩個(gè)或者更多個(gè)兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘，所得不等式與原不等式同向 . 推論 2：若 說(shuō)明：（ 1）推論 2 是推論 1 的特殊情形； （ 2）應(yīng)強(qiáng)調(diào)學(xué)生注意 n∈ N 的條件 . 定理 5：若 我們用反證法來(lái)證明定理 5，因?yàn)榉疵嬗袃煞N情形，即 ，所以不能僅僅否定了 ，就“歸謬”了事，而必須進(jìn)行“窮舉” . 說(shuō)明：假定 不大于 ，這有兩種情況：或者 ，或者 . 由推論 2 和定理 1，當(dāng) 時(shí)，有 ； 當(dāng) 時(shí)，顯然有 這些都同已知條件 矛盾 所以 . 接下來(lái)，我們通過(guò)具體的例題來(lái)熟悉不等式性質(zhì)的應(yīng)用 . 例 2 已知 證明：由 數(shù)學(xué)驛站 例 3 已知 證明：∵ 兩邊同乘以正數(shù) 說(shuō)明：通過(guò)例 3，例 4 的學(xué)習(xí)，使學(xué)生初步接觸不等式的證明，為以后學(xué)習(xí)不等式的證明打下基礎(chǔ) .在應(yīng)用定理 4 時(shí)，應(yīng)注意題目條件，即在一個(gè)等式兩端乘以同一個(gè)數(shù)時(shí)，其正負(fù)將影響結(jié)論 .接下來(lái)，我們通過(guò)練習(xí)來(lái)進(jìn)一步熟悉不等式性質(zhì)的應(yīng)用 . 三、課堂練習(xí) 課本 P7練習(xí) 1， 2， 3. 課堂小結(jié) 通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，大家要掌握不等式性質(zhì)的應(yīng)用及反證法證明思路，為以后不等式的證明打下一定的基礎(chǔ) . 課后作業(yè) 課本習(xí)題 4， 5. 板書(shū)設(shè)計(jì) 167。 本節(jié)的重點(diǎn)是比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，不等式的五個(gè)定理和三個(gè)推論；難點(diǎn)是不等式的性質(zhì)成立的條件及其它的應(yīng)用。數(shù)學(xué)驛站 教學(xué)目標(biāo) 1．理解不等式的性質(zhì)，掌握不等式各個(gè)性質(zhì)的條件和結(jié)論之間的邏輯關(guān)系，并掌握它們的證明方法以及功能、運(yùn)用； 2．掌握兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的一般方法； 3．通過(guò)不等式性質(zhì)證明的學(xué)習(xí)，提高學(xué)生邏輯推論的能力； 4．提高本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，；培養(yǎng)學(xué)生條理思維的習(xí)慣和認(rèn)真嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度； 教學(xué)建議 1．教材分析 （ 1）知識(shí)結(jié)構(gòu) 本節(jié)首先通過(guò)數(shù)形結(jié)合，給出了比較實(shí)數(shù)大小的方法，在這個(gè)基礎(chǔ)上，給出了不等式的性質(zhì)，一共講了五個(gè)定理和三個(gè)推論，并給出了嚴(yán)格的證明。 ①比較實(shí)數(shù)的大小 教材運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的觀點(diǎn)，從實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)出發(fā)， 與初中學(xué)過(guò)的知識(shí)“在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大”利用數(shù)軸可以比較數(shù)的大小。 不等式的性質(zhì) 定理 4 推論 1 定理 5 例 3 學(xué)生 數(shù)學(xué)驛站 內(nèi)容 內(nèi)容 證明 推論 2 證明 例 4 練習(xí) 不等式的幾個(gè)性質(zhì) 不等式的性質(zhì)是后繼學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，熟練掌握并能靈活運(yùn)用不等式的性質(zhì)，是提高解題準(zhǔn)確性和快捷性的關(guān)鍵。 3）若 ，則 或 。 2）若 ，且 ，①當(dāng) 時(shí) ，有 ； 3）當(dāng) 時(shí) ，有 。 2）是假分?jǐn)?shù)的性質(zhì)，可簡(jiǎn)述為：假分?jǐn)?shù)越加越小，越減越大。如果一類(lèi)問(wèn)題，涉及到兩個(gè)變量和為定值，求相應(yīng)量極值問(wèn)題，即定和求積覓極值。 中學(xué)數(shù)學(xué)授課的九種開(kāi)頭方式 常方平 教學(xué)方法 俗話說(shuō)： “ 萬(wàn)事開(kāi)頭難 ” 。如，學(xué)習(xí) “ 空間兩個(gè)平面的位置關(guān)系 ” 時(shí)，可先讓學(xué)生認(rèn)真觀察教室的墻壁、天花板、桌面、地面等之間的關(guān)系，積極發(fā)現(xiàn)了空間兩個(gè)平面的兩種位置關(guān)系。 3．反饋法 它是根據(jù)信息論的反饋原理，一上課就給學(xué)生提出一些問(wèn)題，根據(jù)學(xué)生的反饋效果，給予肯定或糾正后引入新課的一種方法。孫悟空、沙僧看著豬八戒頭上的西瓜，笑著說(shuō)： “ 好一個(gè)球帽子 “ 。如，學(xué)習(xí) “ 孤度制 ” 時(shí)，先讓學(xué)生回憶角度制中角的化分單位的方法，再引入孤度制，學(xué)生十分容易理解。如，學(xué)習(xí) “ 復(fù)數(shù) ” 時(shí)，先強(qiáng)調(diào)：有一種新數(shù)，十八世紀(jì)以后，它就在數(shù)學(xué)、力學(xué)和電學(xué)中得到了應(yīng)用，現(xiàn)在已成為科學(xué)技術(shù)中普遍使用的一種工具。如，學(xué)習(xí) “ 球的體積 ” 時(shí)，先給學(xué)生提出：我們能不能利用前面柱、錐體的體積公式推出球的體積公式呢？將一 個(gè)底面半徑和高都等于球半徑的圓柱，挖去一個(gè)以圓柱的上底面為底面、下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐，剩余的體積與半球的體積會(huì)相等嗎？學(xué)生帶著這樣的疑問(wèn)，使球的體積公式的推導(dǎo)十分順利。 但根據(jù)學(xué)生的臨課情況，可靈活變更授課的開(kāi)頭方法，象習(xí)題課及復(fù)習(xí)課有時(shí)也可用發(fā)現(xiàn)法、研究法、趣引法等。學(xué)生在適當(dāng)?shù)氖谡n開(kāi)頭作用下，學(xué)習(xí)積極性高，精神飽滿(mǎn)，活動(dòng)踴躍，聽(tīng)練主動(dòng)。 說(shuō)明 從已知信息能夠推出什么結(jié)論？這是我們經(jīng)常需要思考的問(wèn)題，這里給出的都是必要非充分條件，讀者可以考慮是否能夠?qū)懗龀湟獥l件；另外，運(yùn)用推出關(guān)系的傳遞性，在推出結(jié)論的基礎(chǔ)上進(jìn)一步進(jìn)行推理，還可得出很多結(jié)果，請(qǐng)讀者考慮． 數(shù)學(xué)驛站 探究關(guān)系式是否成立的問(wèn)題 題目 當(dāng) 成立時(shí)，關(guān)系式 是否成立？若成立，加以證明；若不成立 ，說(shuō)明理由。 解：（ 1） （ 2） 。 2．判斷命題真假的題目 例 1 判斷下列命題是否正確，并說(shuō)明理由。當(dāng) 時(shí)，有 （ 4）命題成立。 （ 7）命題成立。） （ 2）如果 ，那么下列不等式① ；② ；③ ；④ 其中恒成立的是（ ） A．①② B．①③ C．①④ D．②③ 數(shù)學(xué)驛站 （ 3）若 、 是任意實(shí)數(shù)，且 ，則（ ） A． B． C． D． （ 4）若 且 ，則下面的不等式中正確的是（ ） A． B． C． D． （ 5）若 和 是實(shí) 數(shù)， 是有理數(shù)，滿(mǎn)足下面哪個(gè)條件必有 （ ） A． B． C． D． 5．應(yīng)用不等式的性質(zhì)解題的綜合題目 題目 設(shè) 且 ，比較 與 的大小。 （ 2）重點(diǎn)、難點(diǎn)分析 本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容是掌握“兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)”；掌握兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)積有最大值，積為定值時(shí)和有最小值的結(jié)論，教學(xué)難點(diǎn)是正確 理解和使用平均值定理求某些函數(shù)的最值．為突破重難點(diǎn)，教師單方面強(qiáng)調(diào)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，只有讓學(xué)生通過(guò)自己的思考、嘗試，注意到平均值定理中等號(hào)成立的條件，發(fā)現(xiàn)使用定理求最值的三個(gè)條件“一正，二定，三相等”缺一不可，才能大大加深學(xué)生對(duì)正確使用定理的理解，教學(xué)中要注意培養(yǎng)學(xué)生分析歸納問(wèn)題的能力，幫助學(xué)生形成知識(shí)體系，全面深刻地掌握平均值定理求最值和解決實(shí)際問(wèn)題的方法． ㈠定理教學(xué)的注意事項(xiàng) 在公式 以及算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理的教學(xué)中，要讓學(xué)生注意以下兩點(diǎn)： （ 1） 和 成立的條件是不同的：前者只要求 都是實(shí)數(shù)，而后者要求 都是正數(shù)。 （二）關(guān)于用定理證明不等式 數(shù)學(xué)驛站 當(dāng)用公式 ， 證明不等式時(shí)，應(yīng)該使學(xué)生認(rèn) 識(shí)到： 它們本身也是根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)或用比較法（將在下一小節(jié)學(xué)習(xí)）證出的。 （ 2）函數(shù)式中含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須是常數(shù)； （ 3）等號(hào)成立條件必須存在 . 接下來(lái)，我們通過(guò)練習(xí)來(lái)進(jìn)一步熟悉均值定理的應(yīng)用 . 三、課堂練習(xí) 課本 P11練習(xí) 2， 3 要求：學(xué)生板演，老師講評(píng) . 課堂小結(jié)： 數(shù)學(xué)驛站 通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家掌握兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會(huì)應(yīng)用它證明一些不等式，但是在應(yīng)用時(shí)，應(yīng)注意定理的適用條件 . 課后作業(yè)：習(xí)題 1， 2， 3， 4 板書(shū)設(shè)計(jì)： 167。 數(shù)學(xué)驛站 [字幕 ]定理 如果 a， b 是正數(shù)，那么 （當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取“ =”號(hào)）． 證明：學(xué)生運(yùn)用“ ”自己證明． ［點(diǎn)評(píng)］ ①?gòu)?qiáng)調(diào)； ②解釋“算術(shù)平均數(shù)”和“幾何平均數(shù)”的概念，并敘述它們之間的關(guān)系； ②比較上述兩個(gè)不等式的特征（強(qiáng)調(diào)它們的限制條件）； ④幾何解釋?zhuān)ㄒ?jiàn)課本）； ＠指出定理可推廣為“ n 個(gè)（ ）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小干它們的幾何平均數(shù)”． 設(shè)計(jì)意圖：加深對(duì)重要不等式的認(rèn)識(shí)和理解；培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想方法和對(duì)比的數(shù)學(xué)思想，多方面思考問(wèn)題的能力． 【例題示范，學(xué)會(huì)應(yīng)用】 （教師活動(dòng)）教師打出字幕（例題），引導(dǎo)學(xué)生分析，研究問(wèn)題，點(diǎn)撥正確運(yùn)用定理，構(gòu)建證題思路． （學(xué)生活動(dòng)）與教師一道完成問(wèn)題的論證． ［字幕］例題已知 a， b， c， d 都是正數(shù)，求證： ［分析］ ①應(yīng)用定理證明； ②研究問(wèn)題與定理之間的聯(lián)系； ③注意應(yīng)用定理的條件和應(yīng)用不等式的性質(zhì)． 證明：見(jiàn)課本． 設(shè)計(jì)意圖：鞏固對(duì)定理的理解，學(xué)會(huì)應(yīng)用定理解決某些數(shù)學(xué)問(wèn)題． 【課堂練習(xí)】 數(shù)學(xué)驛站 （教師活動(dòng)）打出字幕（練習(xí)），要求學(xué)生獨(dú)立思考，完成練習(xí)；巡視學(xué)生解題情況，對(duì)正確的解法給予肯定和鼓勵(lì)，對(duì)偏差給予糾正；請(qǐng) 甲、乙兩學(xué)生板演；點(diǎn)評(píng)練習(xí)解法． （學(xué)生活動(dòng)）在筆記本上完成練習(xí)，甲、動(dòng)兩位同學(xué)板演． ［字幕］練習(xí)：已知 都是正數(shù)，求證： （ 1） ； （ 2） 設(shè)計(jì)意圖：掌握定理及應(yīng)用，反饋課堂教學(xué)效果，調(diào)節(jié)課堂教學(xué)． 【分析歸納、小結(jié)解法】 （教師活動(dòng)）分析 歸納例題和練習(xí)的解題過(guò)程，小結(jié)應(yīng)用定理解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解題方法． （學(xué)生活動(dòng)）與教師一道分析歸納，小結(jié)解題方法，并記錄在筆記本上． 1．重要不等式可以用來(lái)證明某些不等式． 2．應(yīng)用重要不等式證明不等式時(shí)要注意不等式的結(jié)構(gòu)特征：①滿(mǎn)足定理的條件；②不等式一邊為和的形式，另一邊為積或常數(shù)的形式． 3．用重要不等式證明有關(guān)不等式時(shí)注意與不等式性質(zhì)結(jié)合． 設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生分析歸納問(wèn)題的能力，掌握應(yīng)用重要不等式解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題的方 法． （三）小結(jié) （教師活動(dòng)）教師小結(jié)本節(jié)課所學(xué)的知 識(shí)要點(diǎn)． （學(xué)生活動(dòng)）與教師一道小結(jié)，并記錄在筆記本上． 1．本節(jié)課學(xué)習(xí)了兩個(gè)重要不等式及它們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用． 2．注意：①兩個(gè)重要不等式使用的條件；②不等式中“ =”號(hào)成立的條件． 設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行概括歸納的能力，鞏固所學(xué)知識(shí)． （四）布置作業(yè) 數(shù)學(xué)驛站 1．課本作業(yè)；習(xí)題 ． 1， 3 2．思考題：已