【正文】 同向不等式兩邊分別相加，即：兩個或者更多個同向不等式兩邊分別相加，所得不等式與原不等式同向； 數(shù)學驛站 （ 3）兩個同向不等式的兩 邊分別相減時，就不能作出一般的結(jié)論； （ 4）定理 3 的逆命題也成立 .（可讓學生自證） 三、課堂練習 1．證明定理 1 后半部分； 2．證明定理 3 的逆定理 . 說明：本節(jié)主要目的是掌握定理 1， 2， 3 的證明思路與推證過程，練習穿插在定理的證明過程中進行 . 課堂小結(jié) 通過本節(jié)學習，要求大家熟悉定理 1， 2， 3 的證明思路，并掌握其推導過程，初步理解證明不等式的邏輯推理方法 . 課后作業(yè) 1． 求證：若 2． 證明：若 板書設(shè)計 167。 不等式的性質(zhì)是穿越本章內(nèi)容的一條主線，無論是算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理的證明及其應用，不等式的證明和解一些簡單的不等式，無不以不等式的性質(zhì)作為 基礎(chǔ)。 知識結(jié)構(gòu)圖 數(shù)學驛站 （ 2）重點、難點分析 在“不等式的性質(zhì)”一節(jié)中，聯(lián)系了實數(shù)和數(shù)軸的對應關(guān)系、比較實數(shù)大小的方法，復習了初中學過的不等式的基本性質(zhì)。 指出比較兩實數(shù)大小的方法是求差比較法： 比較兩個實數(shù) a 與 b 的大小，歸結(jié)為判斷它們的差 a－ b的符號，而這又必然歸結(jié)到實數(shù)運算的符號法則 . 比較兩個代數(shù)式的大小，實際上是比較它們的值的大小，而這又歸結(jié)為判斷它們的差的 符號 . 數(shù)學驛站 ②理清不等式的幾個性質(zhì)的關(guān)系 教材中的不等式共 5 個定理 3 個推論，是從證明過程安排順序的．從這幾個性質(zhì)的分類來說，可以分為三類： （Ⅰ）不等式的理論性質(zhì)： （對稱性） （傳遞性） （Ⅱ）一個不等式的性質(zhì)： (n∈ N， n＞ 1) (n∈ N， n＞ 1) （Ⅲ）兩個不等式的性質(zhì)： 2．教法建議 本節(jié)課的核心是培養(yǎng)學生的變形技能，訓練學生的推理能力．為今后證明不等式、解不等式的學習奠定技能上和理論上的基礎(chǔ)． 授課方法可以采取講授與問答相結(jié)合的方式．通過問答形式不斷地給學生設(shè)置疑問（即：設(shè)疑）；對教學難點，再由講授形式解決疑問．（即：解疑）．主要思路是：教師設(shè)疑→學生討論→教師啟發(fā)→解疑． 教學過程可分為：發(fā)現(xiàn)定理、定理證明、定理應用，采用由形象思維到抽象思維的過渡，發(fā)現(xiàn)定理、證明定理．采用類比聯(lián)想，變形轉(zhuǎn)化 ，應用定理或應用定理的證明思路；解決一些較簡單的證明題． 第一課時 教學目標 數(shù)學驛站 1． 掌握實數(shù)的運算性質(zhì)與大小順序間關(guān)系； 2． 掌握求差法比較兩實數(shù)或代數(shù)式大?。? 3． 強調(diào)數(shù)形結(jié)合思想 . 教學重點 比較兩實數(shù)大小 教學難點 理解實數(shù)運算的符號法則 教學方法 啟發(fā)式 教學過程 一、復習回顧 我們知道，實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應的，在數(shù)軸上不同的兩點中，右邊的點表示的實數(shù)比左邊的點表示的實數(shù)大 .例如，在右圖中，點 A 表示實數(shù) ，點 B 表示實數(shù) ,點 A 在點 B 右邊，那么 . 我們再看右圖， 表示 減去 所得的差是一個大于 0 的數(shù)即正數(shù) .一般地： 若 ，則 是正數(shù) ；逆命題也正確 . 類似地，若 ，則 是負數(shù)；若 ，則 .它們的逆命題都正確 . 這就是說：（打出幻燈片 1） 由此可見，要比較兩個實數(shù)的大小，只要考察它們的差就可以了，這也是我們這節(jié)課將要學習的主要內(nèi)容 . 二、講授新課 1． 比較兩實數(shù)大小的方法 —— 求差比較法 數(shù)學驛站 比較兩個實數(shù) 與 的大小，歸結(jié)為判斷它們的差 的符號，而這又必然歸結(jié)到實數(shù)運算的符號法則 . 比較兩個代數(shù)式的大小，實際上是比較它們的值的大小，而這又歸結(jié)為判斷它們的差的符號 . 接下來，我們通過具體的例題來熟悉求差比較法 . 2． 例題講解 例 1 比較 與 的大小 . 分析：此題屬于兩代數(shù)式比較大小，實際上是比較它們的值的大小，可以作差，然后展開，合并同類項 之后，判斷差值正負，并根據(jù)實數(shù)運算的符號法則來得出兩個代數(shù)式的大小 . 解： ∴ 例 2 已知 ,比較（ 與 的大小 . 分析：此題與例 1 基本類似，也屬于兩個代數(shù)式比較大小，但是其中的 x 有一定的限制，應該在對差值正負判斷時引起注意，對于限制條件的應用經(jīng)常被學生所忽略 . 由 得 ，從而 請同學們想一想，在例 2 中，如果沒有 這個條件，那么比較的結(jié)果如何？ （學生回答：若沒有 這一條件，則 ，從而 大于或等于 ） 為了使大家進一步掌握求差比較法，我們來進行下面的練習 . 三、課堂練習 數(shù)學驛站 1． 比較 的大小 . 2． 如果 ，比較 的大小 . 3． 已知 ,比較 與 的大小 . 要求：學生板演練習，老師講評，并強調(diào)學生注意加限制條件的題目 . 課堂小結(jié) 通過本節(jié)學習，大家要明確實數(shù)運算的符號法則， 掌握求差比較法來比較兩實數(shù)或代數(shù)式的大小 . 課后作業(yè) 習題 1， 2， 3. 板書設(shè)計 167。這里介紹一些課本中沒有直接列出而在解題中經(jīng)常遇到的性質(zhì)，以供參考。 2．取倒數(shù)性質(zhì) 1）若 或 ，則 。 4．有關(guān)分數(shù)的性質(zhì) 若 ，且 ，則 數(shù)學驛站 1）真分數(shù)的性質(zhì)： ① ； ② 。 以上性質(zhì)都可由基本不等式或絕對值的定義，通過簡單推導而得到， 作為練習，其證明均留給讀者。就可用不等式性質(zhì)求極值，收到事半功倍的效果。想上好一堂數(shù)學課，有一個好的開頭是很關(guān)鍵的。學生心理上有了滿意感，使后面學習有飽滿的精神。如，學習 “ 同 角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應用 ”時，先向?qū)W生提問同角三角函數(shù)的八個基本關(guān)系式以及各個關(guān)系式的變形式，知道學生熟練記憶同角三角函數(shù)的關(guān)系式后，學習它在求值、化簡、三角恒等式證明的應用順其自然。球帽子就是球冠。 6．實例法 它是根據(jù)中學生對周圍事物易作直覺思維的特點，一上課就舉出學生熟知的生活實例的一種方法。它就是復數(shù)。 9．直接法 它是一上課就把要解決的問題提出來的一種方法。新概念學習課有時也可用強調(diào)法、反饋法等。但，這九種方法一定有不足之處，望大家批評指正。 解：因為 ，所以 ，所以 ， 所以 ， 所以 或 所以 或 所以 或 所以 不可能成立。當 時， 當 時， （ 3） （ 4） 引申發(fā)散 對命題（ 3），能否增加條件 ，或 ， ，使其成立？請闡述你的理由。 （ 1） 數(shù)學驛站 （ 2） （ 3） （ 4） （ 5） （ 6） （ 7） （ 8） （ ） 解答：（ 1）命題成立，可由性質(zhì) 直接推出?？捎尚再|(zhì) （ 5）命題不成立。由性質(zhì) ，可直接證得 ；而由性質(zhì) 可以證得 數(shù)學驛站 （ 8）命題成立。 分析：待比較兩式帶有絕對值符號，因此應設(shè)法去掉絕對值，才能便于作差或商的變形。 例如 成立，而 不成立。因此，凡是用它們可以獲證的不等式，一般也可以直接根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)或用比較法證明。 ?? 1．重要不等式 說明?。? ?? 學生 ?? ⅱ） ?? 練習 ⅲ） ?? 2．均值定理 ?? ?? 第二課時 教學目標： 1． 進一步掌握均值不等式定理； 2． 會應用此定理求某些函數(shù)的最值； 3． 能夠解決一些簡單的實際問題 . 教學重點：均值不等式定理的應用 教學難點： 解題中的轉(zhuǎn)化技巧 教學方法：啟發(fā)式 教學過程： 一、復習回顧 上一節(jié)，我們一起學習了兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理，首先我們來回顧 一下定理內(nèi)容及其適用條件 . （學生回答） 數(shù)學驛站 利用這一定理，可以證明一些不等式，也可求解某些函數(shù)的最值，這一節(jié)，我們來繼續(xù)這方面的訓練 . 二、講授新課 例 2 已知 都是正數(shù)，求證： 分析：此題要求學生注意與均值不等式定理的“形”上發(fā)生聯(lián)系，從而正確運用，同時加強對均值不等式定理的條件的認識 . 證明：由 都是正數(shù)，得 即 例 3 某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為 ，深為 3m，如果池底每 的造價為 150 元，池壁每 的造價為 120 元，問怎樣設(shè)計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？ 分析：此題首先需要由實際問題向數(shù)學問題轉(zhuǎn)化，即建 立函數(shù)關(guān)系式，然后求函數(shù)的最值，其中用到了均值不等式定理 . 解：設(shè)水池底面一邊的長度為 xm，水池的總造價為 l 元，根據(jù)題意，得 當 因此，當水池的底面是邊長為 40m 的正方形時，水池的總造價最低，最低總造價是 297600元 . 數(shù)學驛站 評述：此題既是不等式性質(zhì)在實際中的應 用，應注意數(shù)學語言的應用即函數(shù)解析式的建立，又是不等式性質(zhì)在求最值中的應用，應注意不等式性質(zhì)的適用條件 . 為了進一步熟悉均值不等式定理在證明不等式與求函數(shù)最值中的應用，我們來進行課堂練習 . 三、課堂練習 課本 P11練習 1， 4 要 求：學生板演，老師講評 . 課堂小結(jié)： 通過本節(jié)學習，要求大家進一步掌握利用均值不等式定理證明不等式及求函數(shù)的最值，并認識到它在實際問題中的應用 . 課后作業(yè)： 習題 5,6,7 板書設(shè)計： 均值不等式 例 2 167。 [點評 ] 要正確理解 的意義，即方程 要有解，且解在定義域內(nèi)． [字幕 ] 例 2 某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為 4800 ，深為 3 m，如果池底每l 的造價為 150 元，池壁每 1 的造價為 120 元，問怎樣設(shè)計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？ ［分析］ 設(shè)水池底面一邊的長為 m，水池的總造價為 y，建立 y 關(guān)干 的函數(shù)．然后用定理求函數(shù) y 的最小值． 解：設(shè)水池底面一邊的長度為 m，則另一邊的長度為 m，又設(shè)水池總造價為 y 元，根據(jù)題意，得 （ ） 所以 當 ，即 時， y 有最小值 297600．因此，當水池的底面是邊長為 40 m 的正方形時．水池的總造價最低，最低總造價是 297600元． 設(shè)計意圖：加深理解應用平均值定理求最值的方法，學會應用平均值定理解決某些函數(shù)最值問題和實際問題，并掌握分析變量的構(gòu)建思想．培養(yǎng)學生用數(shù)學知識解決實際問題的能力，化歸的數(shù)學思想． 【課堂練習】 （教師活動）打出字幕（練習），要求學生獨立思考，完成練習；請三位同學板演；巡視學生解題情況，對正確的給予肯定，對偏差進行糾正；講評練習． （學生活動）在筆記本且完成練習、板演． 數(shù)學驛站 ［字幕〕練習 A 組 1．求函數(shù) （ ）的最大值． 2 求函數(shù) （ ）的最值． 3．求函數(shù) （ ）的最大值． B 組 1．設(shè) ，且 ，求 的最大值． 2．求函數(shù) 的最值，下面解法是否正確？為什么？ 解： ，因為 ，則 ．所以 [講評 ] A 組 1． ； 2． ； 3． B 組 1． ； 2．不正確 ①當 時， ；②當 時， ，而函數(shù)在整個定義域內(nèi)沒有最值． 設(shè)計意圖； A 組題訓練學生掌握應用平均值定理求最值． B 組題訓練學生掌握平均值定理的綜合應用，并對一些易出現(xiàn)錯誤的地方引起注意．同時反饋課堂教學效果，調(diào)節(jié)課堂教學． 【分析歸納、小結(jié)解法】 （教師活動）分析歸納例題和練習的解題過程，小結(jié)應用平均值定理解決有關(guān)函數(shù)最 值問題和實際問題的解題方法． （學生活動）與教師一道分析歸納，小結(jié)解題方法，并記錄筆記． 1．應用平均值定理可以解決積為定值或和為定值條件下，兩個正變量的和或積的最值問題． 數(shù)學驛站 2．應用定理時注意以下幾個條件：（ⅰ）兩個變量必須是正變量．（ⅱ）當它們的和為定值時，其積取得最大值；當它們的積是定值時，其和取得最小值．（ iii）當且僅當兩個數(shù)相等時