20xx屆高考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練試題8-資料下載頁
2025-08-10 22:48本頁面
【導(dǎo)讀】解析：命題甲：2＝2－x·2x2，命題乙：2lg(x＋1)＝lgx＋lg(x＋3)，即(x＋1)2＝x(x＋3)，得：x＝1.解析：設(shè)a1＝x，且x≠0，則S3＝x＋1＋1x，由函數(shù)y＝x＋1x的圖象知：x＋1x≥2或x＋1x≤－2，所以{f}是以52為首項，32為公差的等差數(shù)列，2d，∴Sn＝d2n2＋n，又a1＞0，公。他們研究過圖1中的1,3,6,10，?，由于這些數(shù)能夠表示成三角。形，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖2中的1,4,9,16，?8．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a4－a2＝8，a3＋a5＝26，記Tn＝Snn2，如果存在正整數(shù)M，使得對一切正整數(shù)n，Tn≤M都成立，要使M≥Tn恒成立，只需M≥2，∴M的最小值是2.∴a1＝S1＝t－15，＝4tt－1＝5，∴t＝5.10．已知數(shù)列{an}的首項a1＝1，且點An(an，證明：∵an＝1n，an＋1＝1n＋1，an＋2＝1n＋2，求數(shù)列{an}的通項an；，記Sn是數(shù)列{bn}的前n項和，∴a10＝28.∴28＝1＋×d.∴Sn＝b1＋b2＋?∵Sn＋1－Sn＝n＋13n＋4－n3n＋1＝1?
【正文】 所以 2n2－ nn＋ p ＝ an＋ b，于是 2n2－ n＝ an2＋ (ap＋ b)n＋ bp， 所以????? a＝ 2，ap＋ b＝－ 1，bp＝ 0.因為 p≠ 0，所以 b＝ 0， p＝－ 12. (3)＝ 2?4n－ 3??4n＋ 1?＝ 12( 14n－ 3－ 14n＋ 1)， 所以 Tn＝ c1＋ c2＋ ? ＋ ＝ 12(1－ 15＋ 15－ 19＋ ? ＋ 14n－ 3－ 14n＋ 1) ＝ 12(1－ 14n＋ 1)． 由 Tnm20，得 m10(1－ 14n＋ 1)．因為 1－ 14n＋ 11， 所以 m≥ 10. 所以，所求的最小正整數(shù) m 的值為 10. 5．設(shè)數(shù)列 {an}的各項均為正數(shù)，前 n 項和為 Sn，已知 4Sn＝ a2n＋2an＋ 1(n∈ N*)． (1)證明 {an}是等差數(shù)列，并求 an； (2)設(shè) m、 k、 p∈ N*， m＋ p＝ 2k，求證： 1Sm＋ 1Sp≥ 2Sk. 解： (1)∵ 4Sn＝ a2n＋ 2an＋ 1， ∴ 4Sn－ 1＝ a2n－ 1＋ 2an－ 1＋ 1(n≥ 2)． 兩式相減得 4an＝ a2n－ a2n－ 1＋ 2an－ 2an－ 1. 整理得 (an＋ an－ 1)(an－ an－ 1－ 2)＝ 0. ∵ an＋ an－ 1≠ 0， ∴ an－ an－ 1＝ 2(常數(shù) )， ∴ {an}是以 2 為公差的等差數(shù)列． 又 4S1＝ a21＋ 2a1＋ 1，即 a21－ 2a1＋ 1＝ 0，解得 a1＝ 1， ∴ an＝ 1＋ (n－ 1) 2＝ 2n－ 1. (2)證明：由 (1)知 Sn＝ n?1＋ 2n－ 1?2 ＝ n2， ∴ Sm＝ m2， Sp＝ p2， Sk＝ k2. 由 1Sm＋ 1Sp－ 2Sk＝ 1m2＋ 1p2－ 2k2＝ k2?m2＋ p2?－ 2m2p2m2p2k2 ≥?m＋ p2 ?22 mp－ 2m2p2m2p2k2 ≥2mpmp－ 2m2p2m2p2k2 ＝ 0， 即 1Sm＋ 1Sp≥ 2Sk. 6．這是發(fā)生在德國的一個真實故事，一個 9 歲的孤兒德比為了尋找母親，表達他對母親的愛，他每幫 助一個人，就請這位被幫助者再去幫助另外 10 個人，假設(shè)每個人都以這種方式將愛心傳遞下去，且被幫助的人不重復(fù)．總有一天自己的母親也會成為被幫助的對象．如果德比每天幫助一個人，被幫助的人第二天去幫助另外 10 個人 (假設(shè)被幫助的人第三天及以后不再幫助其他人 )．而德國有 8 220萬人． (1)設(shè) n 天后，被幫助的總?cè)藬?shù)為 Sn，試求出 Sn； (2)最多第幾天，德比的母親成為被幫助的對象？ 解： (1)根據(jù)條件，可知 Sn＝ Sn－ 1＋ 1＋ 10＋ 102＋ ? ＋ 10n－ 1(n≥ 2且 n∈ N*)， ∴ Sn＝ Sn－ 1＋ 10n－ 19 ， ∴ Sn＝ Sn－ 2＋ 10n－ 1－ 19 ＋10n－ 19 ＝ ?? ＝ S1＋ 102－ 19 ＋103－ 19 ＋ ? ＋10n－ 19 ＝ 19(10＋ 102＋ 103＋ ? ＋ 10n－ n) ＝ 19 (10n＋ 1－ 109 － n)． 經(jīng)驗證，當 n＝ 1 時， Sn也滿足此通項． 故 Sn＝ 19(10n＋ 1－ 109 － n)． (2)由 Sn＝ 19(10n＋ 1－ 109 － n)≤ 8 220 104＝ 107. 估計判斷：考慮 n＝ 8 時， S8＝ 12 345 6788 220 104， n＝ 9 時， S9＝ 123 456 7898 220 104. 所以，最多第 9 天，德比可以實現(xiàn)自己的愿望．
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