數(shù)字信號(hào)外文翻譯--基于fpga的cordic算法綜述-資料下載頁(yè)
2025-05-12 01:48本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】'cossinyyx??'cos[tan]yyx??
【正文】 cos sinx x y???? 39。 co s siny y x?? 旋轉(zhuǎn)向量在直角坐標(biāo)系中為角度 φ 重新排列為： 39。 c o s [ ta n ]x x y??? ? ? 39。 s [ ta n ]y y x? ? 到目前為止，還沒(méi)有得到簡(jiǎn)化。但是，如果旋轉(zhuǎn)角度受到限制，那么 tan 2 i? ???由正切函數(shù)的乘法簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)單移位操作。通過(guò)一系列連續(xù)的小角度旋轉(zhuǎn)便可得到任意角度的旋轉(zhuǎn)。如果在每次迭代 后取值， i 是決定旋轉(zhuǎn)的方向，而不是是否旋轉(zhuǎn)，這時(shí) cos( )i?變成連續(xù)的了?，F(xiàn)在 迭代旋轉(zhuǎn)可以表述為： 1 [ 2 ]ii i i i ix k x y d ?? ? ? ? ? 1 ii i i i iy y x ?? ? ? ? 其中： 21/ 1 2 iik ??? 1id?? 去掉從迭代方程不斷產(chǎn)生的一個(gè)移位加法算就得到旋轉(zhuǎn)向量。 Ki的結(jié)果可以用到系統(tǒng)中的任何地方或作為系統(tǒng)處理增益的一部分。隨著無(wú)限次迭代之后這個(gè)結(jié)果約為。因此，旋轉(zhuǎn)算法的增益 An 約為 。增益的精度取決于迭代的次數(shù)，以及下面的關(guān)系。 212innA ??? ? 復(fù)合旋轉(zhuǎn)的角度是被基本旋轉(zhuǎn)方向序列唯一定義的。該序列被向量所代表。所有可能的向量是一個(gè)基于二進(jìn)制反正切的角測(cè)量系統(tǒng)。這個(gè)角度系統(tǒng)和任何其它系統(tǒng)之間轉(zhuǎn)換都可以通過(guò)查找來(lái)完成。一個(gè)更好的轉(zhuǎn)換方法是用一個(gè)額外的加法器和減法器，它們?cè)诿看蔚蟹e累了基本旋轉(zhuǎn)角度?；窘嵌瓤梢杂媒嵌葐卧奖愕谋硎境鰜?lái)。這些角的值是通過(guò)查表或者硬件來(lái)實(shí)現(xiàn)的。角度累加器加上三分之一差分方程得到 CORDIC算法： 11 ta n ( 2 )ii i iz z d ??? ? ? ? 顯然，在這種情況下，角度對(duì)反正切是有用的，這里不需要額外的元素。 CORDIC 算法通常用到兩種操作模式之中的一種。第一種模式，稱為旋轉(zhuǎn)模式，通過(guò)一個(gè)特殊角度（作為參數(shù)提供）旋轉(zhuǎn)輸入的向量。第二種模式，稱為矢量模式，旋轉(zhuǎn)輸入向量到 x 軸，同時(shí)記錄下作出的旋轉(zhuǎn)角度。 在旋轉(zhuǎn)模 式下，角度累加器被初始化為所需要的旋轉(zhuǎn)角度。角度是由每次迭代決定的，用這種方法來(lái)減少角度累加器中對(duì)冗余角度的放大。它是由每次迭代所決定的，因此是基于冗余角的每一階段。當(dāng)然，如果輸入角度已經(jīng)表示為二進(jìn)制的反正切值，角度累加器就可以被去掉了。對(duì)于旋轉(zhuǎn)模式， CORDIC 算法的方程為： 1 2 ii i i ix x y d ?? ? ? ? ? 1 2 ii i i iy y x d ?? ? ? ? 11 ta n ( 2 )ii i iz z d ??? ? ? ? 其中 如果 zi0， di=1 否則 di=+1 于是得到如下結(jié)果： 0 0 0 0[ c o s s in ]nnx A x z y z?? 0 0 0 0[ c o s s in ]nny A y z x z?? 0nz? 212innA ??? ? 在矢量模式下， CORDIC 算法旋轉(zhuǎn)輸入向量通過(guò)的任何角度都需要使輸出向量和 x軸對(duì)齊。該向量運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)旋轉(zhuǎn)角度和初始向量的放大。向 量運(yùn)算是通過(guò)找到在每次旋轉(zhuǎn)后 y 分量的冗余向量的最小值來(lái)運(yùn)算的。冗余的 Y 分量是用來(lái)確定下次向哪個(gè)方向旋轉(zhuǎn)的。如果角度累加器被初始化為零，它在迭代完后包含中間角。在矢量模式下，CORDIC 算法的方程是： 1 2 ii i i ix x y d ?? ? ? ? ? 1 2 ii i i iy y x d ?? ? ? ? 11 ta n ( 2 )ii i iz z d ??? ? ? ? 其中 如果 yi0， di=+1 否則 di=1 于是： 2200nnx A x y?? 0ny? 10 0 0ta n ( / )nz z y x??? 212innA ??? ? CORDIC 旋轉(zhuǎn)和矢量算法都被限制在旋轉(zhuǎn)角度為 π/ 2到 π/ 2之間。這個(gè)限制是由于在第一次迭代時(shí)用了 20的正切值 。對(duì)于大于 π/ 2復(fù)合旋轉(zhuǎn)角度，就需要附加一個(gè)旋轉(zhuǎn)角度。 Volder\[4]描述了一種初始旋轉(zhuǎn)角度為 177。π/ 2的情況。這樣就給出了正確的迭代方程： 39。x d y?? ? 39。y d x?? 39。 / 2z z d ?? ? ? 其中 如果 yi0， di=+1 否則 di=1 這里沒(méi)初始旋轉(zhuǎn)值的增加。另外， π或 0 的初始旋轉(zhuǎn)值都是可以的，這樣避免把 x和 y 分量調(diào)換為旋轉(zhuǎn)因子。接著，這里沒(méi)有增長(zhǎng)是由于初始旋轉(zhuǎn)： 39。x d x?? 39。y d x?? 如果 d=1,z39。=z 或者如果 d=1,z39。=zπ 如果 x0, d=1 否則 d=+1 這兩種縮減形式都可以仿真一個(gè) 2π的輸入角度。第一種更蒹容旋轉(zhuǎn)角的連續(xù)性，而第二種是當(dāng)接線受到限制時(shí)更為方便，它往往用于 FPGA 中。 CORDIC 算法適用于直接計(jì)算很多三角函數(shù) 和間接計(jì)算其他函數(shù)。恰當(dāng)?shù)倪x擇初始值和模式可以直接計(jì)算正弦，余弦，反正切，矢量幅度以及極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換。 的實(shí)現(xiàn) 現(xiàn)在有許多方法都可以實(shí)現(xiàn) CORDIC 算法。理想的結(jié)構(gòu)通過(guò)速度與在預(yù)定的應(yīng)用領(lǐng)域之間的權(quán)衡。首先，我們測(cè)試一種迭代結(jié)構(gòu)，它直接通過(guò) CORDIC 算法方程得到的。然后，我們用最簡(jiǎn)單和最復(fù)雜的硬件來(lái)實(shí)現(xiàn)要求。 本文提出的 CORDIC 算法現(xiàn)在已經(jīng)被廣泛的用于研究和無(wú)限循環(huán)計(jì)算中。然而，現(xiàn)在絕大多數(shù)的硬件 DSP 設(shè)計(jì)很少被工程師用到或者被沒(méi)有學(xué)過(guò)硬件的工程師有效地實(shí)現(xiàn) DSP 算法。新的 DSP 設(shè)計(jì)者必須熟悉在 FPGA 上實(shí)現(xiàn)他們的這些算法和技術(shù)以便保持競(jìng)爭(zhēng)力。 CORDIC 算法是在 DSP 家族中的強(qiáng)大工具。本文說(shuō)明了這個(gè)工具在基于計(jì)算機(jī)的 FPGA 上是可以實(shí)現(xiàn)的，它很可能是下一代 DSP 系統(tǒng)的前身。
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