【導讀】在通信、電氣控制、生物醫(yī)學、遙測遙感、地質勘探、航空航天、自動化儀表等領域，門課程的知識是對學生的基本要求。的編程，最后，對數(shù)字信號處理實驗平臺的各個實驗界面進行測試與優(yōu)化。實驗平臺將數(shù)字信號處理課程中的重點、難點用交互式、實時、可視化界面進行展示，有利于教師的教學和學生的學習，具有一定的應用價值。研究目的及意義·············································································&#183

　　

【正文】 2 5 3 1 2 5 3 1 2 5……]為例進行實驗測試時，其 DFS 信號圖如圖 (b)所示。通過測試可以清晰的觀察到離散周期序列傅里葉變換的原圖、幅頻圖、相頻圖，在測試界面中，我們可以發(fā)現(xiàn)，周期序列 )(~nx 的 DFS 信號圖也是周期離散的，滿足 DFS 性質。因此，此實驗平臺滿足預先要求。 22 （ a）序列 )(~1nx 的 DFS 實驗測試 (b) 序列 )(~2nx 的 DFS 實驗測試 圖 周期序列離散傅里葉級數(shù)實驗測試 離散信號傅里葉變換（ DFT） 1）基本原理 設 )(nx 是一個有限長度序列，定義其 N 點傅里葉變換為： 1,2,1,0,)()]([)( 10 ???? ??? NkWnxnXD F TkX knNNn ?? （ ） )(kX 就被稱為 )(nx 的離散傅里葉變換（ DFT），其中 NjN eW /2??? 。 2）測試結果及分析 (a) 余弦序列的 DFT (b) 斜升序列的 DFT 圖 離散傅里葉變換實驗測試 在這里，以余弦序列 ) os ()( nnx ?? ? 與斜升信號 nny ?)( 的 DFT 為例進行實驗測試，余弦信號的 8 點與 16 點 DFT 如圖 (a)所示，斜升信號的 8 點與 16 點 DFT 如圖 23 (b)所示。通過信號圖我們可以觀察到 DFT 是對 DTFT 在頻域連續(xù)譜上的采樣，此時的采樣頻率等于序列延拓后的周期 N，即主值序列個數(shù)。 快速傅里葉變換 在進行 DFT 運算時，當 N 值很大時，進行一次 DFT 需要完成 N^2 次復數(shù)乘法和 N（ N1）次復數(shù)加法，計算量巨大。 1965 年 和 巧妙地利用 NW 因子的周期性與對稱性，構造了一個 DFT 快速算法，即是快速傅里葉變換（ FFT）。 基二快速傅里葉變換原理 設序列 )(nx 的長度為 N，且滿足： MN 2? ， M 是正整數(shù)。按照 n 的奇偶把 )(nx 分解為兩個子序 列，如下： )2()(1 rxrx ? ， r=0,1,2……N/2 1； （ ） )12()(2 ?? rxrx ， r=0,1,2……N/2 1； （ ） 則 )(nx 的 DFT 為： )12(12/0r212/0r )12()2()()()(??????? ???? ?????rkNNkrNNnknNnknN WrxWrxWnxWnxkX奇數(shù)偶數(shù) krNNkNkrNN WrxWWrx 212/0r 2212/0r 1 )()( ?????? ?? （ ） 由于 krNNkrjNkrjkrN WeeW 2/2//2/222 ??? ???? ?? （ ） 所以 )()()()()( 2122/12/ 0r 222/12/ 0r 1 kXWkXWrxWWrxkX kNkrNNkNkrNN ???? ?? ???? （ ） 其中， )(),( 21 kXkX 分別是 )(1rx 、 )(2rx 的 N/2 點 DFT,即： )]([)()( 112/ 0 2/11 rxD F TWrxkX N r krN ?? ? ?? （ ） 24 )]([)()( 212/ 0 2/22 rxD F TWrxkX N r krN ?? ? ?? （ ） 由于 )(),( 21 kXkX 均是以 N/2 為周期的，且 kNNkN WW ??? 2/ ，所以 )(kX 又可以表示為： )()()( 21 kXWkXkX kN?? 12/2,1,0 ?? Nk ?? （ ） )()()2/( 21 kXWkXNkX kN??? 12/2,1,0 ??k ?? （ ） 這樣，就可以將 N 點的 DFT 分解為兩個 N/2 的 DFT 運算。 在 MATLAB 中，為了計算數(shù)據(jù)的快速傅里葉變換，系統(tǒng)提供了一系列豐富的函數(shù)，主要有 fft， ifft， fft ifft2 等。 fft 與 ifft 主要用于一維快速傅里葉變換； fft2 與 fft2 主要用于二維快速傅里葉變換。在一維快速傅里葉變換中， fft 函數(shù)用于快速傅里葉變換， ifft則用于離散傅里葉逆變換。其中，離散序列的快速傅里葉的調用方式為： Y=fft（ X， N），N 是進行離散序列傅里葉變換的 X 的長度，當所給的數(shù)據(jù)不滿足 N 時，可以通過補零或者截取來實現(xiàn)相關數(shù)列的快速傅里葉變換。 離散序列的快速傅里葉變換實驗測試 圖 離散序列 FFT 實驗測試 本界面設計的是 8 點離散序列的快速傅里葉變換。通過輸入的 8 點序列值，調用 fft函數(shù)，便可以得到 8 點離散傅里葉變換的相關特性信號 圖。當輸入的序列為 x(n)=[8 2 3 5 4 1 2 5]時，其快速傅里葉變換相關圖形如圖 所示，可以直觀 地 分析其 FFT 的幅頻特性、相頻特性，達到了實驗預先要求。 25 IIR 濾波器設計 在 IIR 濾波器的設計中，主要是根據(jù)濾波器參數(shù)的要求（通帶衰減、阻帶衰減、通帶截止頻率、阻帶截止頻率等），設計出相應類型的濾波器。通過濾波器的頻譜特性曲線、群延遲來分析所設計的濾波器的特性 [11]~[15]。 常見的模擬低通濾波器設計 在 IIR 濾波器設計之中， IIR 低通模擬濾波器的設計是其他濾波器設計 的基礎，通過頻帶的轉換，可以實現(xiàn)模擬低通濾波器到高通、帶通、帶阻濾波器的轉換。同樣，通過模擬 /數(shù)字濾波器轉換（脈沖響應不變法、雙線性變換法）可以將模擬濾波器轉換為數(shù)字濾波器。 在實際中有四種被廣泛應用的模擬濾波器原型，即巴特沃斯低通、切比雪夫 1 型低通、切比雪夫 2 型低通、橢圓低通濾波器。這些典型的濾波器各有特點，巴特沃斯濾波器有單調下降的幅頻特性：切比雪夫 1 型濾波器在幅頻特性中，在通帶是等波紋的，在阻帶內是單調的；切比雪夫 2 型濾波器與前者相反，其幅頻特性在通帶是單調的，在阻帶是等波紋的；橢圓濾波器的選擇性相對 前三種濾波器是最好的。 在這里以巴特沃斯低通濾波器的設計為例。 1） 基本原理 巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù) 2)( ?jHa 用式（ ）表示： ??2)(jHaNc2)(11??? （ ） 式中， N 為濾波器的階數(shù)。當 ? =0 時， )( ?jHa =1； ? = c? 時， )( ?jHa = 2/1 ， c? 是3dB 截止頻率。當 ? c? 時，隨 ? 加大，幅度迅速下降。下降的速度與階數(shù) N 有關， N愈大，幅度下降的速度愈快，過渡帶愈窄。將幅度平方函數(shù) 2)( ?jHa 寫成 s 的函數(shù)： ?? )()( sHsH aaNcjs 2)(1 1?? （ ） 此式表明幅度平方函數(shù)有 2N 個極點，極點 ks 用下式表示： ks = )()1( 21 cN j?? = c? )2 1221( Nkje ??? （ ） 26 式中， k=0， 1， … ， (2N1)， 2N， 2N 個極點等間隔分布在半徑為 c? 的圓上（該圓稱為巴特沃斯），間隔是 N/? rad。為形成穩(wěn)定的濾波器， 2N 個極點中只取 s 平面左半平面的N 個極點構成 )(sHa ，而右半平面的 N 個極點構成 )( sHa ? 。 )(sHa 的表示式如下： )(sHa =??? ??10)(Nk kNcss （ ） 由于各濾波器的幅頻特性不同，為使設計統(tǒng)一，將所有的頻率歸一化。這里采用對3dB 截止頻率 c? 歸一化，歸一化后的 )(sHa 表示為： )(sHa =??? ???10 )(1Nk ckcss （ ） 式中 cc js ???? 。 令 c???? ， ? 稱為歸一化頻率；令 ?jp? ， p 稱為歸一化復變量，這樣歸一化巴特沃斯的傳輸函數(shù)為： ??? ?? 10 )(1)(Nk ka pppH （ ） 式中， kp 為歸一化極點，用下式表示： kp = )2 1221( Nkje ??? ， k=0,1,…,N 1 （ ） 這樣，只要根據(jù)技術指標求出階數(shù) N，按照（ ）求出 N 個極點，再按照 式 （ ）得到歸 一化的傳輸函數(shù) )(pHa ，如果確定 c? ，再去歸一化，即將 csjp ??? ? ，代入 )(pHa中，便得到實際的傳輸函數(shù) )(sHa 。 將極點表示式（ ）代入（ ）式，得到的 )(pHa 的分母是 p 的 N 階多項式，用下式表示： )(pHa = NNN Ppbpbpbb ????? ?? 1122101? （ ） 歸一化的傳輸函數(shù) )(pHa 的系數(shù) 1,1,0, ?? Nkbk ? ，以及極點，可以由表查到，另外表中 27 還給出了 )(pHa 的因式分解形式中的各系數(shù)，這樣只要去求出階數(shù) N，查表可得到 )(pHa 及各極點，省去了我們許多運算工作。下面我們介紹階數(shù) N 的確定方法。 階數(shù) N 的大小 主要影響幅度特性下降速度，它應該由技術指標 p? 、 p? 、 s? 和 s? 確定。將 ?? p? 代入幅度平方函數(shù)（ ）式中，再將幅度平方函數(shù) 2)(pa jH ?代入式子p? =10 2)(lg pa jH ? 中，得到： 1+ Ncp 2)(?? = 10/10p? （ ） 將 ?? s? 代入幅度平方函數(shù)（ ）式中，再將幅度平方函數(shù) 2)( sa jH ? 代入式子s? =10 2)(lg sa jH ? 中，得到： 1+ Ncs 2)(?? = 10/10s? （ ） 由（ ）和（ ）式得到： 110 110)( 10/10/????? SPNsp ?? （ ） 令 pssp ???? ， ?spk 110 11010/10/ ??SP?? ，則 N 由下式表示： spspkN ?lglg?? （ ） 用上式求出 N 可能有小數(shù)部分，應取大于等于 N 的最小整數(shù)。關于 3dB 截止頻率 c? ，如果技術指標中沒有給出，可以按照（ ）式或（ ）式求出，由（ ）式得到： c? = Np p 2 )110( ??? ? （ ） 由（ ）式得到： c? = Ns s )110( ??? ? （ ） 這里，如果采用（ ）式確定 c? ，則阻帶指標有富裕量；如果采用（ ）式確定 c? ，則通帶指標有富裕量。 28 總結以上，低通巴特沃斯濾波器的設計步驟如下： （ 1）根據(jù) 技術指標 p? 、 p? 、 s? 和 s? ，用（ ）式求出濾波器的階數(shù) N。 （ 2）按照（ ）式 ,求出歸一化極點 kp ，將 kp 代入（ ）式，得到歸一化傳輸函數(shù) )(pHa 。也可以根據(jù)階數(shù) N，直接查表得到極點 kp 和歸一化傳輸函數(shù) )(pHa 。 （ 3）將 )(pHa 去歸一化。將 csp ?? 代入 )(pHa ，得到實際的濾波器傳輸函數(shù) )(sHa 。這里 3dB 截止頻率 c? ，如果技術指標沒有給出，可以按照（ ）式或（ ）式求出。 在 MATLAB 中設計巴特沃斯濾波器時，其數(shù)據(jù)庫中 提供了一個叫 buttap（ Butterworth Analog Prototype）的函數(shù)用來設計巴特沃斯模擬原型濾波器，其調用格式為 [z， p， k]=buttap（ N）。當濾波器的階數(shù) N 已知時，可以運用 buttap 函數(shù)直接設計巴特沃斯濾波器；當濾波器的階數(shù)未知時，可以通過已知的技術指標利用 buttord 函數(shù)求得， 巴特沃斯函數(shù)的 調用格式為： [N, c? ]=buttord( p? , s? , p? , s? ,39。s39。)。通過調用巴特沃斯濾波器設計函數(shù) buttord可求出濾波器階數(shù) N 與下降沿 3dB 截止頻率 c? 。 2） 測試結果及分析 在本設計中，模擬低通濾波器模塊構建的是常見的四種模擬低通濾波器，即巴特沃斯低通、切比雪夫 1型低通、切比雪夫 2型低通、橢圓低通濾波器。 根據(jù)技術指標 p? 、 p? 、s? 和 s? 的編輯設計不同需求的濾波器。 (a) 巴特沃斯模擬低通濾波器 (b) 切比雪夫 1型 模擬低通濾波器 圖 模擬低通濾波器實驗測試 在這里，我們以巴特沃斯模擬低通濾波器 與切比雪夫 1型模擬低通濾波器 的設計實驗為測試對象，通過改變其技術指標，我們可以得到不同的模擬低通濾波器波形。 當輸入 29 的技術指標 為：通帶最大衰減為 1?p? 、通帶截止頻率為 HZp 500?? 、阻帶最小衰減為60?s? 和阻帶衰減頻率 HZs 750?? 。巴特沃斯模擬低通濾波器的設計實驗測試結果如圖 (a)所示， 切比雪夫 1型模擬低通濾波器 的設計實驗測試結果如圖 (b)所示 ，測試結果中 明確的表示出了 模擬 低通濾波器的幅頻、相頻特性曲線以及群延遲 。 通過觀察 巴特沃斯低通濾波器的幅頻圖， 可以發(fā)現(xiàn)其通帶和阻帶都有平坦的幅度響應，符合巴特沃斯濾波器的特征，達到了實驗的預先要求。 模擬濾波器的頻帶變換 1）基本原理 模擬濾波器的頻帶變換是基于模擬低通濾波器的設計為前提，根據(jù)已經(jīng)設計出來的低通濾波器，進行頻率的變換而實現(xiàn)模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設計。其設計步驟如下： （ 1）確定所需類型濾波器的技術指標。 （ 2）將所需類型濾波器的技術指標轉換成所需類型模擬濾波器的技術指標，轉換公式為： )2/tan(/2 wT?? 。 （ 3）將所需模擬濾波器技術指標轉換成模擬低通濾波器的技術指標。 （ 4）通過模擬低通濾波器頻率變換，轉換成所需類型的模擬濾波器。 （ 5）采用雙線性變換法，可以將所需類型的模擬濾 波器轉換成所需類型的數(shù)字濾波器。 在這里 ， 以模擬巴特沃斯低通濾波器轉換成帶通濾波器為例，根據(jù)濾波器設計指標p? 、 p? 、 s? 和 s? ，具體轉換如下： （ 1）通過已知可以得到模擬帶通濾波器指標為 p? 、1p?、2p?、 s? 和 1s? 、 2s? （ 2）先將帶通濾波器指標轉換成低通濾波器指標，確定濾波器中心頻率210 pp ???? ，確定帶寬 12 ppB ???? ，將以上頻率指標對帶寬 B 歸一化，得到歸一化低通濾波器設計指標 1p? ， 2p? ， 1s? ， 2s? ，通過運算 便 可以得到歸一化中心頻率 210 pp??? ? 。 （ 3）將所需模擬濾波器技術指標轉換成模擬低通濾波器的技術指標，具體如下： 歸一化最帶截止頻率為： 30 22022 /)( sss ???? ?? （ ） 歸一化通帶截止頻率為 1?p? 。 s? 與 p? 不變。 通過 章節(jié)的 運算，可以得到模擬低通濾波器的傳輸函數(shù) )(pG 。 （ 4）通過頻率變換， 便 可以得到歸一化帶通濾波器的傳輸函數(shù) )(sH ： )()( pGsH ? ,其中 )(12202ppssp ??? ??? 。 （ ） （ 5）通過雙線性變換法可以將 )(sH 轉換成數(shù)字帶通濾波器 )(zH 。 )()( sHzH ? ，其中 )1/()1(2 11 ?? ??? zzs （ ） 在 MATLAB 中，通過 lp2lp 函數(shù)、 lp2hp 函數(shù)、 lp2bp 函數(shù)、 lp2bs 函數(shù)的調用可以分別實現(xiàn)低通濾波器向低通，高通，帶通，帶阻濾波器的頻帶轉換。調用方式如下： （ 1） [num1,dent]=lp2lp(num,den,wo):將用傳遞函數(shù)表示的、截止頻率為 1rad/s 的模擬低通濾波器變換為截止頻率為 wo 的模擬低通濾波器； （ 2） [num1,dent]=lp2hp(num,den,wo):將用傳遞函數(shù)表示的、截止頻率為 1rad/s 的模擬低通濾波器變換為截止頻率為 wo 的模擬高通濾波器； （ 3） [num1,dent]=lp2bp(num,den,wo， bw):將用傳遞函數(shù)表示的、截止頻率為 1rad/s的模擬低通濾波器變換為中心頻率為 wo，帶寬為 bw 的模擬帶通濾波器； （ 4） [num1,dent]=lp2bs(num,den,wo， bw):將用傳遞函數(shù)表示的、截止頻率為 1rad/s的模擬低通濾波器變換為中心頻率為 wo，帶寬為 bw 的模擬帶阻濾波器； 2）測試結果及分析 在這里，以 章節(jié)的模 擬巴特沃斯低通濾波器為模擬濾波器原型，通過濾波器的頻帶轉換，根據(jù)設計指標的編輯可以設計出高通濾波器，帶通濾波器，帶阻濾波器。 在這里，的實驗測試 以 章節(jié)中的低通濾波器為基準，然后分別設計一個高通濾波器，帶通濾波器和帶阻濾波器，高通濾波器設計指標為：截止頻率為： HZws 500