【導(dǎo)讀】在通信、電氣控制、生物醫(yī)學(xué)、遙測(cè)遙感、地質(zhì)勘探、航空航天、自動(dòng)化儀表等領(lǐng)域，門課程的知識(shí)是對(duì)學(xué)生的基本要求。的編程，最后，對(duì)數(shù)字信號(hào)處理實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的各個(gè)實(shí)驗(yàn)界面進(jìn)行測(cè)試與優(yōu)化。實(shí)驗(yàn)平臺(tái)將數(shù)字信號(hào)處理課程中的重點(diǎn)、難點(diǎn)用交互式、實(shí)時(shí)、可視化界面進(jìn)行展示，有利于教師的教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)，具有一定的應(yīng)用價(jià)值。研究目的及意義·············································································&#183

　　

【正文】 2 5 3 1 2 5 3 1 2 5……]為例進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)試時(shí)，其 DFS 信號(hào)圖如圖 (b)所示。通過(guò)測(cè)試可以清晰的觀察到離散周期序列傅里葉變換的原圖、幅頻圖、相頻圖，在測(cè)試界面中，我們可以發(fā)現(xiàn)，周期序列 )(~nx 的 DFS 信號(hào)圖也是周期離散的，滿足 DFS 性質(zhì)。因此，此實(shí)驗(yàn)平臺(tái)滿足預(yù)先要求。 22 （ a）序列 )(~1nx 的 DFS 實(shí)驗(yàn)測(cè)試 (b) 序列 )(~2nx 的 DFS 實(shí)驗(yàn)測(cè)試 圖 周期序列離散傅里葉級(jí)數(shù)實(shí)驗(yàn)測(cè)試 離散信號(hào)傅里葉變換（ DFT） 1）基本原理 設(shè) )(nx 是一個(gè)有限長(zhǎng)度序列，定義其 N 點(diǎn)傅里葉變換為： 1,2,1,0,)()]([)( 10 ???? ??? NkWnxnXD F TkX knNNn ?? （ ） )(kX 就被稱為 )(nx 的離散傅里葉變換（ DFT），其中 NjN eW /2??? 。 2）測(cè)試結(jié)果及分析 (a) 余弦序列的 DFT (b) 斜升序列的 DFT 圖 離散傅里葉變換實(shí)驗(yàn)測(cè)試 在這里，以余弦序列 ) os ()( nnx ?? ? 與斜升信號(hào) nny ?)( 的 DFT 為例進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)試，余弦信號(hào)的 8 點(diǎn)與 16 點(diǎn) DFT 如圖 (a)所示，斜升信號(hào)的 8 點(diǎn)與 16 點(diǎn) DFT 如圖 23 (b)所示。通過(guò)信號(hào)圖我們可以觀察到 DFT 是對(duì) DTFT 在頻域連續(xù)譜上的采樣，此時(shí)的采樣頻率等于序列延拓后的周期 N，即主值序列個(gè)數(shù)。 快速傅里葉變換 在進(jìn)行 DFT 運(yùn)算時(shí)，當(dāng) N 值很大時(shí)，進(jìn)行一次 DFT 需要完成 N^2 次復(fù)數(shù)乘法和 N（ N1）次復(fù)數(shù)加法，計(jì)算量巨大。 1965 年 和 巧妙地利用 NW 因子的周期性與對(duì)稱性，構(gòu)造了一個(gè) DFT 快速算法，即是快速傅里葉變換（ FFT）。 基二快速傅里葉變換原理 設(shè)序列 )(nx 的長(zhǎng)度為 N，且滿足： MN 2? ， M 是正整數(shù)。按照 n 的奇偶把 )(nx 分解為兩個(gè)子序 列，如下： )2()(1 rxrx ? ， r=0,1,2……N/2 1； （ ） )12()(2 ?? rxrx ， r=0,1,2……N/2 1； （ ） 則 )(nx 的 DFT 為： )12(12/0r212/0r )12()2()()()(??????? ???? ?????rkNNkrNNnknNnknN WrxWrxWnxWnxkX奇數(shù)偶數(shù) krNNkNkrNN WrxWWrx 212/0r 2212/0r 1 )()( ?????? ?? （ ） 由于 krNNkrjNkrjkrN WeeW 2/2//2/222 ??? ???? ?? （ ） 所以 )()()()()( 2122/12/ 0r 222/12/ 0r 1 kXWkXWrxWWrxkX kNkrNNkNkrNN ???? ?? ???? （ ） 其中， )(),( 21 kXkX 分別是 )(1rx 、 )(2rx 的 N/2 點(diǎn) DFT,即： )]([)()( 112/ 0 2/11 rxD F TWrxkX N r krN ?? ? ?? （ ） 24 )]([)()( 212/ 0 2/22 rxD F TWrxkX N r krN ?? ? ?? （ ） 由于 )(),( 21 kXkX 均是以 N/2 為周期的，且 kNNkN WW ??? 2/ ，所以 )(kX 又可以表示為： )()()( 21 kXWkXkX kN?? 12/2,1,0 ?? Nk ?? （ ） )()()2/( 21 kXWkXNkX kN??? 12/2,1,0 ??k ?? （ ） 這樣，就可以將 N 點(diǎn)的 DFT 分解為兩個(gè) N/2 的 DFT 運(yùn)算。 在 MATLAB 中，為了計(jì)算數(shù)據(jù)的快速傅里葉變換，系統(tǒng)提供了一系列豐富的函數(shù)，主要有 fft， ifft， fft ifft2 等。 fft 與 ifft 主要用于一維快速傅里葉變換； fft2 與 fft2 主要用于二維快速傅里葉變換。在一維快速傅里葉變換中， fft 函數(shù)用于快速傅里葉變換， ifft則用于離散傅里葉逆變換。其中，離散序列的快速傅里葉的調(diào)用方式為： Y=fft（ X， N），N 是進(jìn)行離散序列傅里葉變換的 X 的長(zhǎng)度，當(dāng)所給的數(shù)據(jù)不滿足 N 時(shí)，可以通過(guò)補(bǔ)零或者截取來(lái)實(shí)現(xiàn)相關(guān)數(shù)列的快速傅里葉變換。 離散序列的快速傅里葉變換實(shí)驗(yàn)測(cè)試 圖 離散序列 FFT 實(shí)驗(yàn)測(cè)試 本界面設(shè)計(jì)的是 8 點(diǎn)離散序列的快速傅里葉變換。通過(guò)輸入的 8 點(diǎn)序列值，調(diào)用 fft函數(shù)，便可以得到 8 點(diǎn)離散傅里葉變換的相關(guān)特性信號(hào) 圖。當(dāng)輸入的序列為 x(n)=[8 2 3 5 4 1 2 5]時(shí)，其快速傅里葉變換相關(guān)圖形如圖 所示，可以直觀 地 分析其 FFT 的幅頻特性、相頻特性，達(dá)到了實(shí)驗(yàn)預(yù)先要求。 25 IIR 濾波器設(shè)計(jì) 在 IIR 濾波器的設(shè)計(jì)中，主要是根據(jù)濾波器參數(shù)的要求（通帶衰減、阻帶衰減、通帶截止頻率、阻帶截止頻率等），設(shè)計(jì)出相應(yīng)類型的濾波器。通過(guò)濾波器的頻譜特性曲線、群延遲來(lái)分析所設(shè)計(jì)的濾波器的特性 [11]~[15]。 常見的模擬低通濾波器設(shè)計(jì) 在 IIR 濾波器設(shè)計(jì)之中， IIR 低通模擬濾波器的設(shè)計(jì)是其他濾波器設(shè)計(jì) 的基礎(chǔ)，通過(guò)頻帶的轉(zhuǎn)換，可以實(shí)現(xiàn)模擬低通濾波器到高通、帶通、帶阻濾波器的轉(zhuǎn)換。同樣，通過(guò)模擬 /數(shù)字濾波器轉(zhuǎn)換（脈沖響應(yīng)不變法、雙線性變換法）可以將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。 在實(shí)際中有四種被廣泛應(yīng)用的模擬濾波器原型，即巴特沃斯低通、切比雪夫 1 型低通、切比雪夫 2 型低通、橢圓低通濾波器。這些典型的濾波器各有特點(diǎn)，巴特沃斯濾波器有單調(diào)下降的幅頻特性：切比雪夫 1 型濾波器在幅頻特性中，在通帶是等波紋的，在阻帶內(nèi)是單調(diào)的；切比雪夫 2 型濾波器與前者相反，其幅頻特性在通帶是單調(diào)的，在阻帶是等波紋的；橢圓濾波器的選擇性相對(duì) 前三種濾波器是最好的。 在這里以巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)為例。 1） 基本原理 巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù) 2)( ?jHa 用式（ ）表示： ??2)(jHaNc2)(11??? （ ） 式中， N 為濾波器的階數(shù)。當(dāng) ? =0 時(shí)， )( ?jHa =1； ? = c? 時(shí)， )( ?jHa = 2/1 ， c? 是3dB 截止頻率。當(dāng) ? c? 時(shí)，隨 ? 加大，幅度迅速下降。下降的速度與階數(shù) N 有關(guān)， N愈大，幅度下降的速度愈快，過(guò)渡帶愈窄。將幅度平方函數(shù) 2)( ?jHa 寫成 s 的函數(shù)： ?? )()( sHsH aaNcjs 2)(1 1?? （ ） 此式表明幅度平方函數(shù)有 2N 個(gè)極點(diǎn)，極點(diǎn) ks 用下式表示： ks = )()1( 21 cN j?? = c? )2 1221( Nkje ??? （ ） 26 式中， k=0， 1， … ， (2N1)， 2N， 2N 個(gè)極點(diǎn)等間隔分布在半徑為 c? 的圓上（該圓稱為巴特沃斯），間隔是 N/? rad。為形成穩(wěn)定的濾波器， 2N 個(gè)極點(diǎn)中只取 s 平面左半平面的N 個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成 )(sHa ，而右半平面的 N 個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成 )( sHa ? 。 )(sHa 的表示式如下： )(sHa =??? ??10)(Nk kNcss （ ） 由于各濾波器的幅頻特性不同，為使設(shè)計(jì)統(tǒng)一，將所有的頻率歸一化。這里采用對(duì)3dB 截止頻率 c? 歸一化，歸一化后的 )(sHa 表示為： )(sHa =??? ???10 )(1Nk ckcss （ ） 式中 cc js ???? 。 令 c???? ， ? 稱為歸一化頻率；令 ?jp? ， p 稱為歸一化復(fù)變量，這樣歸一化巴特沃斯的傳輸函數(shù)為： ??? ?? 10 )(1)(Nk ka pppH （ ） 式中， kp 為歸一化極點(diǎn)，用下式表示： kp = )2 1221( Nkje ??? ， k=0,1,…,N 1 （ ） 這樣，只要根據(jù)技術(shù)指標(biāo)求出階數(shù) N，按照（ ）求出 N 個(gè)極點(diǎn)，再按照 式 （ ）得到歸 一化的傳輸函數(shù) )(pHa ，如果確定 c? ，再去歸一化，即將 csjp ??? ? ，代入 )(pHa中，便得到實(shí)際的傳輸函數(shù) )(sHa 。 將極點(diǎn)表示式（ ）代入（ ）式，得到的 )(pHa 的分母是 p 的 N 階多項(xiàng)式，用下式表示： )(pHa = NNN Ppbpbpbb ????? ?? 1122101? （ ） 歸一化的傳輸函數(shù) )(pHa 的系數(shù) 1,1,0, ?? Nkbk ? ，以及極點(diǎn)，可以由表查到，另外表中 27 還給出了 )(pHa 的因式分解形式中的各系數(shù)，這樣只要去求出階數(shù) N，查表可得到 )(pHa 及各極點(diǎn)，省去了我們?cè)S多運(yùn)算工作。下面我們介紹階數(shù) N 的確定方法。 階數(shù) N 的大小 主要影響幅度特性下降速度，它應(yīng)該由技術(shù)指標(biāo) p? 、 p? 、 s? 和 s? 確定。將 ?? p? 代入幅度平方函數(shù)（ ）式中，再將幅度平方函數(shù) 2)(pa jH ?代入式子p? =10 2)(lg pa jH ? 中，得到： 1+ Ncp 2)(?? = 10/10p? （ ） 將 ?? s? 代入幅度平方函數(shù)（ ）式中，再將幅度平方函數(shù) 2)( sa jH ? 代入式子s? =10 2)(lg sa jH ? 中，得到： 1+ Ncs 2)(?? = 10/10s? （ ） 由（ ）和（ ）式得到： 110 110)( 10/10/????? SPNsp ?? （ ） 令 pssp ???? ， ?spk 110 11010/10/ ??SP?? ，則 N 由下式表示： spspkN ?lglg?? （ ） 用上式求出 N 可能有小數(shù)部分，應(yīng)取大于等于 N 的最小整數(shù)。關(guān)于 3dB 截止頻率 c? ，如果技術(shù)指標(biāo)中沒(méi)有給出，可以按照（ ）式或（ ）式求出，由（ ）式得到： c? = Np p 2 )110( ??? ? （ ） 由（ ）式得到： c? = Ns s )110( ??? ? （ ） 這里，如果采用（ ）式確定 c? ，則阻帶指標(biāo)有富裕量；如果采用（ ）式確定 c? ，則通帶指標(biāo)有富裕量。 28 總結(jié)以上，低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)步驟如下： （ 1）根據(jù) 技術(shù)指標(biāo) p? 、 p? 、 s? 和 s? ，用（ ）式求出濾波器的階數(shù) N。 （ 2）按照（ ）式 ,求出歸一化極點(diǎn) kp ，將 kp 代入（ ）式，得到歸一化傳輸函數(shù) )(pHa 。也可以根據(jù)階數(shù) N，直接查表得到極點(diǎn) kp 和歸一化傳輸函數(shù) )(pHa 。 （ 3）將 )(pHa 去歸一化。將 csp ?? 代入 )(pHa ，得到實(shí)際的濾波器傳輸函數(shù) )(sHa 。這里 3dB 截止頻率 c? ，如果技術(shù)指標(biāo)沒(méi)有給出，可以按照（ ）式或（ ）式求出。 在 MATLAB 中設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器時(shí)，其數(shù)據(jù)庫(kù)中 提供了一個(gè)叫 buttap（ Butterworth Analog Prototype）的函數(shù)用來(lái)設(shè)計(jì)巴特沃斯模擬原型濾波器，其調(diào)用格式為 [z， p， k]=buttap（ N）。當(dāng)濾波器的階數(shù) N 已知時(shí)，可以運(yùn)用 buttap 函數(shù)直接設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器；當(dāng)濾波器的階數(shù)未知時(shí)，可以通過(guò)已知的技術(shù)指標(biāo)利用 buttord 函數(shù)求得， 巴特沃斯函數(shù)的 調(diào)用格式為： [N, c? ]=buttord( p? , s? , p? , s? ,39。s39。)。通過(guò)調(diào)用巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)函數(shù) buttord可求出濾波器階數(shù) N 與下降沿 3dB 截止頻率 c? 。 2） 測(cè)試結(jié)果及分析 在本設(shè)計(jì)中，模擬低通濾波器模塊構(gòu)建的是常見的四種模擬低通濾波器，即巴特沃斯低通、切比雪夫 1型低通、切比雪夫 2型低通、橢圓低通濾波器。 根據(jù)技術(shù)指標(biāo) p? 、 p? 、s? 和 s? 的編輯設(shè)計(jì)不同需求的濾波器。 (a) 巴特沃斯模擬低通濾波器 (b) 切比雪夫 1型 模擬低通濾波器 圖 模擬低通濾波器實(shí)驗(yàn)測(cè)試 在這里，我們以巴特沃斯模擬低通濾波器 與切比雪夫 1型模擬低通濾波器 的設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)為測(cè)試對(duì)象，通過(guò)改變其技術(shù)指標(biāo)，我們可以得到不同的模擬低通濾波器波形。 當(dāng)輸入 29 的技術(shù)指標(biāo) 為：通帶最大衰減為 1?p? 、通帶截止頻率為 HZp 500?? 、阻帶最小衰減為60?s? 和阻帶衰減頻率 HZs 750?? 。巴特沃斯模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果如圖 (a)所示， 切比雪夫 1型模擬低通濾波器 的設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果如圖 (b)所示 ，測(cè)試結(jié)果中 明確的表示出了 模擬 低通濾波器的幅頻、相頻特性曲線以及群延遲 。 通過(guò)觀察 巴特沃斯低通濾波器的幅頻圖， 可以發(fā)現(xiàn)其通帶和阻帶都有平坦的幅度響應(yīng)，符合巴特沃斯濾波器的特征，達(dá)到了實(shí)驗(yàn)的預(yù)先要求。 模擬濾波器的頻帶變換 1）基本原理 模擬濾波器的頻帶變換是基于模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)為前提，根據(jù)已經(jīng)設(shè)計(jì)出來(lái)的低通濾波器，進(jìn)行頻率的變換而實(shí)現(xiàn)模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設(shè)計(jì)。其設(shè)計(jì)步驟如下： （ 1）確定所需類型濾波器的技術(shù)指標(biāo)。 （ 2）將所需類型濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成所需類型模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)，轉(zhuǎn)換公式為： )2/tan(/2 wT?? 。 （ 3）將所需模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)。 （ 4）通過(guò)模擬低通濾波器頻率變換，轉(zhuǎn)換成所需類型的模擬濾波器。 （ 5）采用雙線性變換法，可以將所需類型的模擬濾 波器轉(zhuǎn)換成所需類型的數(shù)字濾波器。 在這里 ， 以模擬巴特沃斯低通濾波器轉(zhuǎn)換成帶通濾波器為例，根據(jù)濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)p? 、 p? 、 s? 和 s? ，具體轉(zhuǎn)換如下： （ 1）通過(guò)已知可以得到模擬帶通濾波器指標(biāo)為 p? 、1p?、2p?、 s? 和 1s? 、 2s? （ 2）先將帶通濾波器指標(biāo)轉(zhuǎn)換成低通濾波器指標(biāo)，確定濾波器中心頻率210 pp ???? ，確定帶寬 12 ppB ???? ，將以上頻率指標(biāo)對(duì)帶寬 B 歸一化，得到歸一化低通濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo) 1p? ， 2p? ， 1s? ， 2s? ，通過(guò)運(yùn)算 便 可以得到歸一化中心頻率 210 pp??? ? 。 （ 3）將所需模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)，具體如下： 歸一化最帶截止頻率為： 30 22022 /)( sss ???? ?? （ ） 歸一化通帶截止頻率為 1?p? 。 s? 與 p? 不變。 通過(guò) 章節(jié)的 運(yùn)算，可以得到模擬低通濾波器的傳輸函數(shù) )(pG 。 （ 4）通過(guò)頻率變換， 便 可以得到歸一化帶通濾波器的傳輸函數(shù) )(sH ： )()( pGsH ? ,其中 )(12202ppssp ??? ??? 。 （ ） （ 5）通過(guò)雙線性變換法可以將 )(sH 轉(zhuǎn)換成數(shù)字帶通濾波器 )(zH 。 )()( sHzH ? ，其中 )1/()1(2 11 ?? ??? zzs （ ） 在 MATLAB 中，通過(guò) lp2lp 函數(shù)、 lp2hp 函數(shù)、 lp2bp 函數(shù)、 lp2bs 函數(shù)的調(diào)用可以分別實(shí)現(xiàn)低通濾波器向低通，高通，帶通，帶阻濾波器的頻帶轉(zhuǎn)換。調(diào)用方式如下： （ 1） [num1,dent]=lp2lp(num,den,wo):將用傳遞函數(shù)表示的、截止頻率為 1rad/s 的模擬低通濾波器變換為截止頻率為 wo 的模擬低通濾波器； （ 2） [num1,dent]=lp2hp(num,den,wo):將用傳遞函數(shù)表示的、截止頻率為 1rad/s 的模擬低通濾波器變換為截止頻率為 wo 的模擬高通濾波器； （ 3） [num1,dent]=lp2bp(num,den,wo， bw):將用傳遞函數(shù)表示的、截止頻率為 1rad/s的模擬低通濾波器變換為中心頻率為 wo，帶寬為 bw 的模擬帶通濾波器； （ 4） [num1,dent]=lp2bs(num,den,wo， bw):將用傳遞函數(shù)表示的、截止頻率為 1rad/s的模擬低通濾波器變換為中心頻率為 wo，帶寬為 bw 的模擬帶阻濾波器； 2）測(cè)試結(jié)果及分析 在這里，以 章節(jié)的模 擬巴特沃斯低通濾波器為模擬濾波器原型，通過(guò)濾波器的頻帶轉(zhuǎn)換，根據(jù)設(shè)計(jì)指標(biāo)的編輯可以設(shè)計(jì)出高通濾波器，帶通濾波器，帶阻濾波器。 在這里，的實(shí)驗(yàn)測(cè)試 以 章節(jié)中的低通濾波器為基準(zhǔn)，然后分別設(shè)計(jì)一個(gè)高通濾波器，帶通濾波器和帶阻濾波器，高通濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)為：截止頻率為： HZws 500