【導讀】Page:7167PP?mammod1??Proof.Let????mrr??,1beareducedsetofresiduesmodulom.Since??1,?ma，wehave. mimari??,11,??for1,,()im??.Consequently,forevery????mi??,1?there. exists??????mi???,1?suchthat. mrariimod??Moreover，??mararjimod?ifandonlyifji?，andso?set????m??,1and????marar??mrrrmmod21?????mrrrmmod21???Dividingby??mrrr??21，weobtain. mammod1??parmod11??Moreover,paapmod?foreveryintegera.1,?pa，??1??pp?，and. paappmod11????paapmod?theorem,????mammod1??madmod1?.Then??md???1.Weshallprovethat. aordmdivides??m?theorderofamodulom,then??maalkmod?ifandonlyif??dlkmod?.Inparticular,manmod1?ifandonlyifddividesn,andsoddivides??m?madmod1?.If??dlkmod?，then. dqlk??，andso. maaaaalqdldqlkmod????Conversely,supposethat??maalkmod?rdqlk???and10???dr.Since??1,?marmod1?Since10???r,andso. dlkmod?If)(mod1maan??，since. )(mod1)(mam??byEuler’stheorem.Forexample;let15?manda=8)15(??)15(mod178?)15(mod771?)15(mod44972??)15(mod132873??)15(mod19174??

　　

【正文】 7,15 ?? am ,由于 8)15( ?? ，我們由歐拉定理知 )15(mod178 ? 而且， 7 關于 15 的階是 8 的一個約數(shù) .我們這樣計算階： )15(mod771 ? )15(m o d4497 2 ?? )15(m o d13287 3 ?? )15(m o d1917 4 ?? 所以 7 的階是 4 . 我們將給出歐拉定理的另一種證明及它的推論 .我們將從關于群的一些簡單觀察開始 .我們把群的階定義為群的基數(shù) 定理 （拉格朗日定理） 假設 G 是一個有限群， H 是 G 的子群，則 H 的階整除 G 的階 證明 ：設 G 是一個群，運算為乘法， X 是 G 的一個非空子集 .對于任意 ?a G,我們定義這個集合： ):{ XxaxaX ?? 由 axxf ?)( 定義的映射 aXXf ?: 是一個雙射，所以對于所有的 ?a G ， aXX ? .假設 H 是 G 的子群，那么 aH 被稱作 H 的一個陪集 .設 aH 和 bH 是子群 H 的陪集 . ???bHaH ，則存在 Hyx ?, ，使得 byax? ，或者，由于 H 是一個子群，azaxyb ?? ?1 ，這里 Hxyz ?? ?1 .對于所有的 Hh? ， ahazhbh ?? ，所以 aHbH? ；同理， aH bH? ,所以 aH bH? 因此子群 H 的陪集不交或相等 .由于 G 的每個元素屬于H 的陪集（例如，對于所有的 aG? 都有 a aH? ），從而可得出 H 劃分 G 的陪集 .我們用GH表示陪集 .假設 G 是一個有限集，則 H ， GH是有限的，及 G H G H? 特別地，我們有 H 整除 G 設 G 是一個群，運算為乘法 .設 aG? ， H =? ?kak : Z? ，則 01 a H G? ? ? .由于對所有的 k ， ?l Z, k l k la a a ?? ，從而可得出 H 是 G 的子群 .這個子群被稱作由 a 生成的循環(huán)子群，記作 a ，循環(huán)子群都是交換的 . 如果存在一個元素 Ga? ，使得 aG? ，則群 G 是循環(huán)群 .此時，元素 a 稱作 G 的生成元 .例如，群 (Z/7Z?) 是由 73? Z 生成的階為 6的循環(huán)群 .同余類 75? Z 是這個群的另一個生成元 .如果對于所有整數(shù) lk? ，都有 lk aa ? ，則由 a 生成的這個循環(huán)群是無限的 .如果存在 k和 l ，使得 kl? ， lk aa ? ，則 1??lka .設 d 是最小的正數(shù)，且使得 1?da ，則這個群的元素 1， a ， 2a ，…， 1?da 是不同的 .設 Zn? ，由除法知，存在整數(shù) q 和 r ，使得 rdqn ?? ，10 ??? dr .由于 ? ? rrqdrdqn aaaaa ??? ? ， 從而有 ?a ? ?nan : Z ? ? ?10: ???? dra r ， 由 a 生成的這個循環(huán)群的階為 d ，而且，當且僅當 )(moddlk ? ，才有 lk aa ? . 設 G 是一個群， Ga? .我們可以將 a 的階定義為由 a 生成的循環(huán)子群的基數(shù) . 定理 設 G 是一有限群， Ga? ，則元素 a 的階整除群 G 的階 . 證明 ：由定理 ，因為 a 的階是由 a 生成的循環(huán)子群的階 . 我們可以應用到一種特殊情形：當 ? ??? mZZG 是模 m 的剩余類環(huán)中的，則 G 是階為 ??m?的有限 群 .設 ? ? 1, ?ma ， d 是 G 中 mza? 的階，則 d 也是由 mza? 生成的循環(huán)子群的階 .根據(jù)定理 ， d 整除 ? ?m? ，及 ma m ?)(? Z ? ma?? Z )()m? ? ?? ma? Z mdmd ??1)) )(? Z 同樣地， ? ? ? ?ma m mod1?? ， 這就是歐拉定理 . 定理 設 G 是階為 m 的一個循環(huán)群， H 是 G 的子群 .如果 a 是 G 的生成元，則存在唯一的 m 的約數(shù) d ，使得 H 是由 da 生成的循環(huán)子群，其中 H 的階為 dm . 證明 ： 設 S 是所有整數(shù) u 的集合，使得 Hau? ，如果 u ， Sv? ，則 ua ， Hav? .由于 H 是一個子群，則 Haaa vuvu ?? ? ， ? ? Haaa vuvu ?? ??1 ，因此， Svu ?? ， S 是Z 的一個子群 .由定理 ，存在唯一的非負整數(shù) d ，使得 dS? Z ，所以 H 是由 da 生成的一個循 環(huán)子群 .由于 Ham ??1 ，我們可得 Sm? ， d 是 m 的正約數(shù)， H 的階為 dm . 定理 設 G 是階為 m 的循環(huán)群， a 是 G 的一個生成元，對于每個整數(shù) k ，由 ka 生成的循環(huán)子群的階為 dm ，則 ? ?kmd ,? ， dk aa ? .特別地， G 恰好有 ??m? 個生成元 . 證明： 由于 ? ?mkd ,? ，則存在整數(shù) x ， y ，使得 mykxd ?? .則 ? ? ? ? ? ?xkymxkmykxd aaaaa ??? ? ， 所以 kd aa ? ， kd aa ? .由于 d 整除 k ，則存在一個整數(shù) z ，使得 dzk? .那么 ? ?zdk aa ? ， 所以， dk aa ? ， dk aa ? .因此， dk aa ? ， ka 的階為 dm .特別地，當且僅當1?d ， ? ? 1, ?km ，所以 G 恰好有 ??m? 個生成元 .證明完畢 . 我們現(xiàn)在可以給出定理 .設 G 是階 m 的循環(huán)群 .對于 m 的每個約數(shù)，群G 有唯一的階為 d 的循環(huán)群，而且這個子群恰好有 )(d? 個生成元 .由于 G 的每個元素都可以生成一個循環(huán)子群，從而有 ? ??? md dm ?