【導讀】第1頁。JohnnyLam. 1.INTRODUCTION. 第2頁。2.MODELLING

　　

【正文】 它的不穩(wěn)定的平衡位置（直立擺），并保持這種狀態(tài)。 2 建模 倒立擺的原理圖如圖 1所示。 圖 1 倒立擺的設置 第 13 頁 配 備有發(fā)動機 的 一輛車提供水平的運動，而車的位置， p， 擺桿 角度，θ等測量數(shù)據(jù)是通過一個正交編碼器采取。 通過應用倒立擺系統(tǒng)的動力學規(guī)律，運動方程是 其中 mc是車的質量， m p是擺的質量， I是轉動慣量， L為半擺的長度， R為電機電樞電阻，R為半徑小齒輪電機，力矩電機公里是常數(shù)，與 KG是變速箱的比例。此外，為簡單起見， 并且注意對于電機來說力 F和電壓 V的關系為： 定義狀態(tài)向量為： 最后，我們線性化系統(tǒng)的不穩(wěn)定平衡 (0 0 0 0)T. 注意θ =0 對應的鐘擺正處于直立位置。在周圍的垂直位置車擺系統(tǒng)線性 化： 其中 第 14 頁 最后，通過替換參數(shù)值 所 對應的實驗設置 為 ： 3 穩(wěn)定控制器的設計 該項目的控制器設計方法是分為兩個部分。第一部分涉及到最佳狀態(tài)的線性模型， 即 穩(wěn)定在正常位置 時 擺的反饋控制器設計。第二部分包括一個控制器設計，使擺動的 擺桿 到 達 不穩(wěn)定的平衡 點 。當擺接近線性點 時 ，控制將切換到穩(wěn)定控制器，它將平衡各 位置 的直立擺。 狀態(tài)反饋控制器負責平衡鐘擺在直立位置，是基于一個線性二次型調節(jié)器（ LQR），使用線性 第 15 頁 化系統(tǒng)的設計。在 LQR 設計中，增益矩陣 K 對于一個線性狀態(tài)反饋控制律252。 = KX 是一個發(fā)現(xiàn)的最小化 二次型成本函數(shù) 其中 Q和 R的加權參數(shù)用來改變狀態(tài)或控制輸入。 該比重在最優(yōu)狀態(tài)反饋控制器的設計選擇的參數(shù)是： 基于此設計的基礎上，控制器增益的線性系統(tǒng)矩陣為： 通過使用這個 K 和控制律252。 = Kx， 使 該系統(tǒng)是穩(wěn)定在線性點左右（擺直立）。由于此控制法建立在線性化系統(tǒng)的基礎上，狀態(tài)反饋最優(yōu)控制器是唯一有效當擺在直立位置附近。 4 狀態(tài)估計 對于倒立擺實驗裝置，不是所有的狀態(tài)變量都可測量。事實上，只有車的位置， P 和擺角，θ能直接測量。這意味著車的速度和角速度不會立即在任何控制計劃中使用如果超過了剛 好穩(wěn)定的臨界。因此，一個觀察員是根據(jù)所有車擺位置提供準確的估計。 在更早線實現(xiàn)的性化系統(tǒng)的基礎上，線性全狀態(tài)觀測器可以實現(xiàn)。這種觀測器設計簡單，并 提供所有線性點周圍狀態(tài)的準確估計。 . 基于此設計的基礎上，觀測器增益矩陣為： 第 16 頁 由于線性全狀態(tài)觀測器是以線性系統(tǒng)為基礎，它在估計狀態(tài)變量時，只有 當 車擺系統(tǒng)在垂直位置附近是有效的。因此，當系統(tǒng)并不接近不穩(wěn)定的平衡點時， 只有 通過低通濾波器來估 計兩個不可測狀態(tài) 。 該方法通過使用近似的有限差分 來估計推車速度和角速度 ，然后傳遞給它 的 一個低通濾波器。 下面的過濾器選擇了 這個估計的方法： 用這種方法的問題是，它引入了一些延遲，具有增益略小于 1。狀態(tài)估計從濾波器 中 獲得，但是，本文準確合理的運行了擺起控制器。 5 擺起控制器設計 兩種不同的控制方案進行實施，從向下擺動的位置擺調整到正常位置。第一個是啟發(fā)式控制器，提供了一個方向正確的不斷電壓，因此，驅動車沿著軌道多次來回的運動。它會重復這個動作直到擺 桿 足夠接近到正常位置，這樣 ， 穩(wěn)定控制器可觸發(fā)保持這種平衡的狀態(tài)。第二種方案是通過 一個能源控制器 來 調節(jié)擺的能量。該控制器將能量輸入車擺系統(tǒng)，直到它達到對應于垂直位置擺能量狀態(tài)。類似啟發(fā)式控制方法， 當擺接近正常位置 時， 能量控制方法也能切換到穩(wěn)定控制器時。擺在 5176。的垂直位置和角速度比每秒 弧度慢時。開關觸發(fā)穩(wěn)定控制器在上述兩種情況下被激活。 啟發(fā)式控制器 啟發(fā)式控制器是一個基于邏輯的控制設計， 取決于 當時 車 進入系統(tǒng) 時的 不同方向和時刻。根據(jù)反復試驗結果將一個特定的電壓增益應用于電機車。該控制器驅動車向前或向后運動使直到鐘擺穿過向下的位置。并且當它到達向下的位置決定鐘擺擺動的方向。 以邏輯為基礎的控制設計 是完全依賴于擺角，現(xiàn)有的測量狀態(tài)變量之一。只要當擺角穿過向下的位置時，控制計劃將改變運動的車的方向。由于這種控制的設計是純粹的基于擺角，通過移動朝著正確的方向的車，在向下位置是及時添加能量的最優(yōu)時刻。車的移動方向是擺角穿過向下位置后立即相反的標志。當車運動的方向是確定時，恒定的電壓增益 會 在同一個方向施加于電機直至鐘擺回到向下的位置。該控制方案能有效地沿著軌道車來回的擺動鐘擺，直至足夠接近正常位置。 要著重注意的是，該控制方案的 特點 是相同車 的 移動應用，無論擺高于或低于水平軸（自擺 第 17 頁 角的跡象仍是相同）。然而車擺系 統(tǒng)的 特點 ，就是同一車運動，一旦擺低于現(xiàn)在的水平軸，就給其補充能量，而實際上它會消耗擺的能量。最后，鐘擺將達到一個 情形 ， 即 沒有更多的能量可以添加 到 擺系統(tǒng)，但它尚未建立足夠的能量 以回 到正常位置。為了避免這一 情形 ， 我們 設立了一個開關，當擺在向下位置 135176。時就將輸入到車機的電壓改變?yōu)?0。因此，當擺比 135 176。高時，車 輛移動 時 不會從擺系統(tǒng)中獲能源。這將允許擺 有足夠的能量回到豎直 位置。 該方案 是 通過 電壓增益反復試驗 來 完成的。 擺動垂直位置所花費的時間 和 電壓增益的大小 有直接關系 。如果電壓增益 太高，可能會使鐘擺 接近豎直位置 的時候速度 很快 ，因此穩(wěn)定控制器將無法平衡擺 。 另一方面，電壓增益太低可能無法提供足夠的能量使鐘擺達到豎直位置。 另外，執(zhí)行任務控制器的可靠性取決于所選擇的 電壓 增益。因此，需要 通過 反復試驗微調增益的方法 來 提高實驗的成功率 ，使擺 在接近平衡位置的時候有 適量的速度 和合理的 時間 。 能量控制 擺 從向下的位置擺 動 還可以通過 使用 控制系統(tǒng)中能量。通過反饋控制 的運用 可以 使 擺系統(tǒng)中的能量 達 到所需的值 。 隨著 能量 的不斷 增加，使得其 能量 和所在豎直 位置 相一致 ，擺動的 擺桿 可以 擺至其不穩(wěn)定的平衡。當擺接近垂直位置 時 ，早期的穩(wěn)定控制器設計可以 觸發(fā)捕捉擺 裝置，在各不穩(wěn)定 位置使其回到 平衡。 該系統(tǒng)的定義 在豎直位置時 能量 E是為零。 鐘擺的能量可以寫成 當 mp 是鐘擺的質量， l 是半擺長， g 為重力加速度，而 I 是轉動慣量 。 因此，擺 的 能源是擺角和擺角速度 之間 的 函數(shù)。 還要注意，對應于向下的位置擺的能量為 2mpgl。 該控制方案的目標是加入系統(tǒng)的能量，直到 其 值對應于 擺的 垂直位置。 控制 方案 達到預期的能量 時 其中 k是一個設計參數(shù)和 E0是所需的能量水平?？刂戚敵觯?a是電機轉軸的加 速度， 可以 通過電壓輸入來解釋， 使用公式（ 4） 得出的結論是 第 18 頁 在該系統(tǒng)的控制方 案中， satV函數(shù)被定義為價值，并提供給小推車飽和電壓。 該控制器基本上采用擺角和擺角速度來確定在任何時間移動一點 小推車的移動方向 。 根據(jù) 能源量規(guī)模 而確定的 比例控制器仍然需要 實現(xiàn) 決定電壓量應用到車電機預期的能量狀態(tài)。該參數(shù) V在 satV的 價值決定了可用的最大數(shù)量的控制信號，從而增加最大的能源量擺 系統(tǒng) 。 K 值決定了有利于最大限度地控制投入使用 以 達到預期的能量狀態(tài)。這種控制 有效地 增加的鐘擺能量 到預期值 。當作為擺起控制的方法，所需的值 與 在其 豎 直位置擺的能量 相對應 。這將觸發(fā) 開關， 使穩(wěn)定控制器可用于 捕捉擺，讓其在 各的不穩(wěn)定 地 點趨于 平衡點。 6 實驗結果 最后 收集了兩個擺起控制方法 的數(shù)據(jù) ， 這些 數(shù)據(jù) 是在 實驗開始 后 ， 當 擺從最初 位置向下 到 豎直 的平衡 位置 然后在 不穩(wěn)定平衡 位置附近 擺 動 的 過程中收集 。 當 電壓增益為 ， 啟發(fā)式控制器 能夠更好讓擺擺動起來。 經(jīng)過 多次 調整 電壓增益 ， 最終 實驗表明，該控制器 能夠成功地使 在擺動的鐘擺到 豎直位置， 保持約 75％的時間在平衡狀態(tài)直立 。 一個控制器的輸出過程中的啟發(fā)式控制 器 實驗運行圖見圖 2 圖 2 控制輸出啟發(fā)式控制器圖 需要注意的是 ，擺起控制器大約需要 秒，才能 達到正常位置。被穩(wěn) 定控制器捕捉到的擺在直立位置上的點清晰地顯示在波形圖中。此外，通過擺角，控制器輸出到電機車的電壓在 V和 V之間交替。 從 7秒 開始 ， 在 下面位置 的 擺角超過 135176。時，控制輸出也開始在短短的一段 連續(xù)的 時間內輸出 0 V。因此，鐘擺需要另外 達到從下面超過 135176。的位置到 第 19 頁 5176。范圍內的垂直位置。 這個擺角相應的 情形 如圖 3所示。每次擺動擺角略有增加，直至擺接近不穩(wěn)定的平衡。該控制器采用的 13個前擺是來足夠接近該穩(wěn)定控制器的垂直位置來抓住它。被穩(wěn)定控制器激活的點清晰地顯示在圖上。此外，一旦它 被激活，在平衡位置周圍的擺角仍相當穩(wěn)定。 圖 3 啟發(fā)式控制器的擺角圖 能量控制器應用的設計參數(shù) k=。同時 ,由于鐘擺系統(tǒng)的摩擦力和近似方程 (18),所需的能量抵消了某個略大于 0的值。通過實驗可確定適當?shù)牧?。在這些實驗中 ,抵消值可升到 E0 = 。通過對能量控制器的重復實驗 ,該控制器至少 90%的時間是可靠 。 一次應用能量控制器的實驗的控制輸出結果如圖 4所示。 圖 4 能源控制器的控制輸出圖 重要的是要注意到，能源控制需要大約 經(jīng)過 10秒達到 達豎直 位置。 自從利用極大的控制產(chǎn)量來盡快增加 系統(tǒng)的能量之后，控制的產(chǎn)量首先在 （在這個案例中，飽和度 第 20 頁 被定義為在 ）。 當擺接近 豎 直位置 時 ，控制輸出 系統(tǒng)就 開始 大 幅度 下降，因為 控制輸出 是以系統(tǒng)所需的能量 與 價值的差為基礎 的 。作為啟發(fā)式控制器，該控制器被激活的穩(wěn)定點 在圖上是可以清楚地識別 的 。 該控制器 的 能源擺角的對應圖如圖 5所示。 需要注 意 的是 每個擺 桿 擺角略有增加。 在鐘擺工作之前控制器需要 12擺 圖 5 能源控制器 擺交圖 靠近豎直位置。 人們很容易地看到， 當能量 控制 器 成功地 使擺擺動 到 豎直位置時， 穩(wěn)定控制器能夠趕上擺 ，并使其平衡 。 7. 結論 當 擺為了平衡 在豎直 位置 的時候， 兩個擺控制計劃 就 已經(jīng) 開始 實施， 將其 切換到一個穩(wěn)定的控制器 。 這兩種控制器 能夠 成功地 將 擺動鐘 的 擺從一開始向下的位置調整到 直立 位置，并圍繞這個平衡點擺 動 。 比起啟發(fā)式控制系統(tǒng)， 能源控制 系統(tǒng)更健全，能 更 成功 更可靠地使 擺動的鐘擺 到正常位置 。有數(shù)據(jù)表明 ，能源控制器還 比 啟發(fā)式 控制器 實施 的 更快。能源控制器的另一個優(yōu)點是，它 最終還 是能夠達到 豎直 位置，即使它 超出 軌道的長度并開始撞到 軌道盡頭的 墻上。啟發(fā)式控制器 只是在理論 上 能 實現(xiàn) 。 另一方面， 當 車撞擊軌道的盡頭 時立即宣告失敗了 。 兩種 擺起方法仍 然需要多個波動 才能 達到 豎直 位置， 同樣 也需要一個穩(wěn)定 的 控制器捕捉到 擺的豎直 位置。 總而言之 ，能源控制器比啟發(fā)式控制器 更容易達到 不穩(wěn)定 的 平衡。 已經(jīng) 證明，這兩個控制器 使 擺動的鐘擺從垂直位置 擺向 向下位置 是 一樣 有效 的 。 Astrom, . and K. 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