20xx屆江西省八所重點中學(xué)高三4月聯(lián)考數(shù)學(xué)(文)試題(含解析)-資料下載頁
2025-04-05 06:01本頁面
【正文】 右焦點的直線(的斜率存在)交橢圓于兩點，弦的垂直平分線交軸于點，問：是否是定值？若是，求出定值：若不是，說明理由.【答案】（1）；（2）是定值，定值為4．【分析】（1）根據(jù)正三角形性質(zhì)與面積可求得即可求得方程；（2）當(dāng)直線斜率不為0時，設(shè)其方程代入橢圓方程利用韋達定理求得兩根關(guān)系式，進而求得的表達式，最后求比值即可；當(dāng)直線斜率為0時直接求解即可．【詳解】（1）為正三角形，可得，且，∴橢圓的方程為.（2）分以下兩種情況討論：①當(dāng)直線斜率不為0時，設(shè)其方程為，且，聯(lián)立，消去得，則，且，∴弦的中點的坐標(biāo)為，則弦的垂直平分線為，令，得，又，；②當(dāng)直線斜率為0時，則，則.綜合①②得是定值且為4．【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)．（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．22．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，且），以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）寫出曲線和直線的直角坐標(biāo)方程；（2）若極坐標(biāo)方程為的直線與曲線交于異于原點的點，與直線交于點，且直線交軸于點，求的面積.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）利用平方關(guān)系化簡得出曲線的直角坐標(biāo)方程，利用極坐標(biāo)與普通方程之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可得出直線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點、的極坐標(biāo)分別為、求出、再由三角形的面積公式求出和的面積，相加即可得出的面積.【詳解】（1）曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，且），由，可得，，故曲線直角坐標(biāo)方程為.直線的極坐標(biāo)方程為，即，即，故直線的直角坐標(biāo)方程為；（2）曲線的極坐標(biāo)方程為，即，所以，即，解得，即.將點的極坐標(biāo)代入直線的極坐標(biāo)方程得，可得，即，直線與軸的交點為，，故.【點睛】方法點睛：在已知極坐標(biāo)方程求曲線交點、距離、線段長等幾何問題時，如果不能直接用極坐標(biāo)解決，或用極坐標(biāo)解決較麻煩，可將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程解決．23．已知函數(shù)（1）解不等式；（2）若為正實數(shù)，函數(shù)的最小值為，已知，求的最小值．【答案】（1）；（2）最小值為3.【分析】（1）根據(jù)零點分段法討論進行求解，然后取并集即可；（2）根據(jù)（1）中的條件，可得的值，然后利用基本不等式求解即可．【詳解】（1）的解集為；（2）由（1）可知的最小值為，則，又，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，所以最小值為3．【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方．22
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