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正文內(nèi)容

20xx屆江西省八所重點(diǎn)中學(xué)高三4月聯(lián)考數(shù)學(xué)(文)試題(含解析)(更新版)

  

【正文】 線(的斜率存在)交橢圓于兩點(diǎn),弦的垂直平分線交軸于點(diǎn),問(wèn):是否是定值?若是,求出定值:若不是,說(shuō)明理由.【答案】(1);(2)是定值,定值為4.【分析】(1)根據(jù)正三角形性質(zhì)與面積可求得即可求得方程;(2)當(dāng)直線斜率不為0時(shí),設(shè)其方程代入橢圓方程利用韋達(dá)定理求得兩根關(guān)系式,進(jìn)而求得的表達(dá)式,最后求比值即可;當(dāng)直線斜率為0時(shí)直接求解即可.【詳解】(1)為正三角形,可得,且,∴橢圓的方程為.(2)分以下兩種情況討論:①當(dāng)直線斜率不為0時(shí),設(shè)其方程為,且,聯(lián)立,消去得,則,且,∴弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)為,則弦的垂直平分線為,令,得,又,;②當(dāng)直線斜率為0時(shí),則,則.綜合①②得是定值且為4.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種:(1)從特殊入手,求出定值,再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān).(2)直接推理、計(jì)算,并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量,從而得到定值.22.在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù),且),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.(1)寫出曲線和直線的直角坐標(biāo)方程;(2)若極坐標(biāo)方程為的直線與曲線交于異于原點(diǎn)的點(diǎn),與直線交于點(diǎn),且直線交軸于點(diǎn),求的面積.【答案】(1),;(2).【分析】(1)利用平方關(guān)系化簡(jiǎn)得出曲線的直角坐標(biāo)方程,利用極坐標(biāo)與普通方程之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可得出直線的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點(diǎn)、的極坐標(biāo)分別為、求出、再由三角形的面積公式求出和的面積,相加即可得出的面積.【詳解】(1)曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù),且),由,可得,故曲線直角坐標(biāo)方程為.直線的極坐標(biāo)方程為,即,即,故直線的直角坐標(biāo)方程為;(2)曲線的極坐標(biāo)方程為,即,所以,即,解得,即.將點(diǎn)的極坐標(biāo)代入直線的極坐標(biāo)方程得,可得,即,直線與軸的交點(diǎn)為,,故.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:在已知極坐標(biāo)方程求曲線交點(diǎn)、距離、線段長(zhǎng)等幾何問(wèn)題時(shí),如果不能直接用極坐標(biāo)解決,或用極坐標(biāo)解決較麻煩,可將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程解決.23.已知函數(shù)(1)解不等式;(2)若為正實(shí)數(shù),函數(shù)的最小值為,已知,求的最小值.【答案】(1);(2)最小值為3.【分析】(1)根據(jù)零點(diǎn)分段法討論進(jìn)行求解,然后取并集即可;(2)根據(jù)(1)中的條件,可得的值,然后利用基本不等式求解即可.【詳解】(1)的解集為;(2)由(1)可知的最小值為,則,又,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等,所以最小值為3.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛:利用基本不等式求最值時(shí),要注意其必須滿足的三個(gè)條件:(1)“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù);(2)“二定”就是要求和的最小值,必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值;要求積的最大值,則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí),必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件,若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值,這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.22
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