20xx屆山東省百所名校高三下學(xué)期4月份聯(lián)考數(shù)學(xué)試題(含解析)-資料下載頁(yè)
2025-04-05 05:56本頁(yè)面
【正文】 獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)率均為，每次中獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金都為元，求參與此次知識(shí)問答活動(dòng)的某員工所獲獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望．【答案】（1），；（2）數(shù)學(xué)期望為元．【分析】（1）根據(jù)每一組中的中點(diǎn)乘以頻率之和等于平均數(shù)可得，再由頻率之和等于可得，兩式聯(lián)立即可求解.（2）首先求出評(píng)定等級(jí)為優(yōu)秀、良好、合格、不合格時(shí)所得獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望，再利用期望的計(jì)算公式即可求解.【詳解】解：（1）因?yàn)闃颖镜钠骄鶖?shù)是，所以即，①又，②由①②解得，．（2）當(dāng)該員工的評(píng)定等級(jí)為優(yōu)秀時(shí)，獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望為，當(dāng)該員工的評(píng)定等級(jí)為良好時(shí)，獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望為當(dāng)該員工的評(píng)定等級(jí)為合格時(shí)，獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望為，當(dāng)該員工的評(píng)定等級(jí)為不合格時(shí)，獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望為，故參與此次知識(shí)問答活動(dòng)的某員工所獲獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望為元．20．如圖，正三角形的邊長(zhǎng)為4，，分別在邊，和上，且為的中點(diǎn)．（1）若，求；（2）若，，四點(diǎn)共圓，求四邊形的面積．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由已知先求出，再運(yùn)用余弦定理即可；（2）先計(jì)算出，然后再用.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，．因?yàn)椋詾榈冗吶切?，則，利用余弦定理可知，即．（2）因?yàn)椋?，四點(diǎn)共圓，所以．設(shè)，在中，由正弦定理得，則．在中，由正弦定理得，則，所以．又四邊形的面積為，所以四邊形的面積為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：兩邊夾角求對(duì)邊，運(yùn)用余弦定理，在求面積直接方法不好使作時(shí)，就運(yùn)用間接的方法.21．已知橢圓的焦距為，且點(diǎn)在上.（1）求的方程；（2）若直線與相交于，兩點(diǎn)，且線段被直線平分，求(為坐標(biāo)原點(diǎn))面積的最大值.【答案】（1）；（2）最大值為.【分析】（1）由題得，求出即可得出方程；（2）利用點(diǎn)差法可得，設(shè)出直線方程，與橢圓聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線距離公式即可表示出三角形面積，根據(jù)m的取值范圍可求最值.【詳解】解：（1）依題意可知，解得，故的方程為.（2）易得直線的方程為，設(shè)，為的中點(diǎn)，其中，因?yàn)椋跈E圓上，所以，兩式相減可得.可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，整理得，則，解得，則，則，原點(diǎn)到直線的距離，則的面積.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，的面積有最大值，且最大值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決直線與圓錐曲線相交問題的常用步驟：（1）得出直線方程，設(shè)交點(diǎn)為，；（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程；（3）寫出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.22．已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)．（1）求的取值范圍；（2）求極小值的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）求出，若要函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)不等正根，根據(jù)二次函數(shù)根的分布可得答案；（2）設(shè)的兩個(gè)正根分別為，且，求出，再設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)得即在上單調(diào)遞增，可得答案．【詳解】（1），則，若要函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，只要方程有兩個(gè)不等正根，則，解得，即的取值范圍為．（2）設(shè)的兩個(gè)正根分別為，且，可知當(dāng)時(shí)有極小值，因?yàn)閳D象的對(duì)稱軸為直線，所以，且，得，令，則，記，有對(duì)恒成立，又，故對(duì)，恒有，即，所以對(duì)于恒成立，即在上單調(diào)遞增，則，又，所以極小值的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)極值點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍的問題，關(guān)鍵點(diǎn)是構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)性和極值，考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力及轉(zhuǎn)化能力.23
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