【正文】 )∠BMD＝∠D﹣∠B；證明見(jiàn)解析；(推廣應(yīng)用)（1）∠N＝48176。；（2）∠M＝50176。；（3）∠M＝39176。，【解析】【分析】(問(wèn)題原型)：過(guò)點(diǎn)M作MN∥AB，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)即可得答案；(問(wèn)題遷移)過(guò)點(diǎn)M作MN∥AB，由平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠1＝∠B，∠NMD＝∠D，利用角的和差即可得答案；(推廣應(yīng)用)：（1）利用圖②結(jié)論，結(jié)合角平分線(xiàn)的性質(zhì)即可得答案；（2）利用圖③的結(jié)論，結(jié)合角平分線(xiàn)的性質(zhì)即可得出答案；（3）如圖⑥，過(guò)G，F(xiàn)，E分別作GN∥AB，F(xiàn)H∥AB，EP∥AB，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)，結(jié)合角平分線(xiàn)的性質(zhì)利用圖②的結(jié)論即可得出答案.【詳解】(問(wèn)題原型)：如圖②，過(guò)點(diǎn)M作MN∥AB，則∠B＝∠BMN（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵AB∥CD，（已知）∴MN∥AB（輔助線(xiàn)的做法）∴MN∥CD（平行于同一條直線(xiàn)的兩直線(xiàn)平行）∴∠NMD＝∠D（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∴∠B+∠D＝∠BMD，故答案為∠BMN，兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，平行于同一條直線(xiàn)的兩直線(xiàn)平行，∠NMD，兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，（問(wèn)題遷移）：如圖③，過(guò)點(diǎn)M作MN∥AB，∴∠1＝∠B，∵AB∥CD，∴MN∥AB，∴∠NMD＝∠D，∵∠NMD＝∠1+∠BMD，∴∠BMD＝∠D﹣∠B；（推廣應(yīng)用）：（1）如圖④，由如圖②的結(jié)論可得，∠ABM+∠CDM＝∠M＝96176。，∠N＝∠ABN+∠CDN，∵BN，DN分別平分∠ABM，∠CDM，∴∠ABN+∠CDN＝＝（∠ABM+∠CDM）＝48176。，∴∠N＝48176。；（2）如圖⑤，由如圖③的結(jié)論可得，∠M＝∠CDM﹣∠ABM，∵BN，DN分別平分∠ABM，∠CDM，∴∠CDN﹣∠ABN＝∠CDM﹣∠ABM＝（∠CDM﹣∠ABM）＝∠M＝∠N＝25176。，∴∠M＝50176。；（3）如圖⑥，過(guò)G，F(xiàn)，E分別作GN∥AB，F(xiàn)H∥AB，EP∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥GN∥FH∥EP∥CD，∴∠2＝∠GFH，∠3＝∠EFH，∴∠2+∠3＝∠GFE＝64176。，∴∠1+∠4＝∠BGF+∠DEF﹣∠GFE＝78176。，∵AB∥GN，EP∥CD，∴∠ABG＝∠1，∠CDE＝∠4，∴∠ABG+∠CDE＝78176。，∵BM，DM分別平分∠ABG，∠CDE，∴∠ABM＝∠ABG，∠CDM＝∠CDE，由如圖②中的結(jié)論可得∠M＝∠ABM+∠CDM＝（∠ABG+∠CDE）＝78176。＝39176。，故答案為48，50，39．【點(diǎn)睛】本題考查平行線(xiàn)的性質(zhì)及角平分線(xiàn)的性質(zhì)，兩直線(xiàn)平行，同位角相等；兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)；熟練掌握平行線(xiàn)的性質(zhì)并正確作出輔助線(xiàn)是解題關(guān)鍵.（1)如圖示，AB∥CD，且點(diǎn)E在射線(xiàn)AB與CD之間，請(qǐng)說(shuō)明∠AEC=∠A+∠C的理由．(2)現(xiàn)在如圖b示，仍有AB∥CD，但點(diǎn)E在AB與CD的上方，①請(qǐng)嘗試探索∠1,∠2,∠E三者的數(shù)量關(guān)系. ②請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）∠1+∠2∠E=180176?！窘馕觥吭囶}分析：（1）過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，由兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，得到∠A=∠1．由平行的傳遞性得到EF // CD，再由平行線(xiàn)的性質(zhì)得到∠2=∠C，由角的和差即可得到結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，類(lèi)似可得到結(jié)論．試題解析：解：（1）過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，∴∠A=∠1（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．∵AB // CD（已知），∴EF // CD（平行的傳遞性），∴∠2=∠C（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．∵∠AEC=∠1+∠2（圖上可知），∴∠AEC=∠A+∠C（等量代換） ；（2）∠1+∠2∠E=180176。．理由如下：過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，∴∠4+∠1=180176。（兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)）．∵AB // CD（已知），∴EF // CD（平行的傳遞性），∴∠FEC=∠2（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），即∠3+∠4=∠2，∴∠4=∠2∠3（等式性質(zhì)），∴∠2∠3+∠1=180176。（等量代換），即∠1+∠2∠AEC=180176。．點(diǎn)睛：本題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)，作輔助線(xiàn)并熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．如圖，AE、BF、DC是直線(xiàn)，B在直線(xiàn)AC上，E在直線(xiàn)DF上，∠1=∠2，∠A=∠F.求證：∠C=∠D．證明：因?yàn)椤?=∠2（已知），∠1=∠3（ ）得∠2=∠3（ ）所以AE//_______( ) 得∠4=∠F（ ）因?yàn)開(kāi)_________(已知) 得∠4=∠A所以______//_______( )所以∠C=∠D( )【答案】答案見(jiàn)解析【解析】試題分析：由平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)證明即可．試題解析：解：∵∠1=∠2（已知），∠1=∠3（ 對(duì)頂角相等 ） ，∴∠2=∠3（ 等量代換 ）∴AE//BF （同位角相等，兩直線(xiàn)平行）∴∠4=∠F（兩直線(xiàn)平行，同位角相等 ）∵∠A=∠F （已知） ∴∠4=∠A∴DF//AC （內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行）∴∠C=∠D （兩直線(xiàn)平行 ，內(nèi)錯(cuò)角相等）已知AB∥CD，點(diǎn)E在AB、CD之間，點(diǎn)P、Q分別在直線(xiàn)AB、CD上,連接PE、EQ.(1)如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EH∥AB，試探究∠PEQ與∠APE+∠CQE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)如圖2，若點(diǎn)E在CD的下方，PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，QH的反向延長(zhǎng)線(xiàn)交PF于點(diǎn)F，當(dāng)∠PEQ=72176。時(shí)，請(qǐng)求出∠PFQ的度數(shù).【答案】（1）∠PEQ=∠APE+∠CQE，理由詳見(jiàn)解析；（2）144176。.【解析】【分析】（1）∠PEQ=∠APE+∠CQE，過(guò)點(diǎn)E作EH∥AB，即可得EH∥AB∥CD，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠APE=∠PEH，∠EQC=∠HEQ,由∠PEQ=∠PEH+∠HEQ即可證得結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)E作EM∥CD，設(shè)∠QEM＝α，由平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠DQE＝180176。－α，再由角平分線(xiàn)的定義可得∠DQH＝90176。－α；由EM∥CD，AB∥CD，可得AB∥EM，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠BPE＝108176。－α，由PF平分∠BPE可得∠BPF＝∠BPE＝54176。－α；作NF∥AB，類(lèi)比（1）的方法可得∠PFQ＝∠BPF＋∠DQF＝54176。－α+90176。＋α=144176。.【詳解】(1) ∠PEQ=∠APE+∠CQE，理由如下：如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EH∥AB，∵AB∥CD，∴EH∥AB∥CD，∴∠APE=∠PEH，∠EQC=∠HEQ,而∠PEQ=∠PEH+∠HEQ.∴∠PEQ=∠APE+∠CQE；（2）過(guò)點(diǎn)E作EM∥CD，如圖，設(shè)∠QEM＝α，∴∠DQE＝180176。－α，∵QH平分∠DQE，∴∠DQH＝∠DQE＝90176。－α，∴∠FQD＝180176。－∠DQH＝90176。＋α， ∵EM∥CD，AB∥CD，∴AB∥EM，∴∠BPE＝180176。－∠PEM＝180176。－（72176。＋α）＝108176。－α，∵PF平分∠BPE ∴∠BPF＝∠BPE＝54176。－α，作NF∥AB，由（1）的方法可得，∠PFQ＝∠BPF＋∠DQF＝54176。－α+90176。＋α=144176。.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)性質(zhì)的應(yīng)用，正確作輔助線(xiàn)，熟練運(yùn)用平行線(xiàn)的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．