福建省20xx屆高中畢業(yè)班數(shù)學(xué)學(xué)科二輪備考關(guān)鍵問題指導(dǎo)系列五(解析幾何存在問題及應(yīng)對策略)-資料下載頁
2025-04-03 03:34本頁面
【正文】 ，橢圓的離心率以及直線的斜率范圍；策略突破——(1)由橢圓知識(shí)先求出的關(guān)系，設(shè)直線的方程為，求出圓心到直線的距離，由勾股定理可求斜率的值；(2)由(1)設(shè)橢圓方程為，直線與橢圓方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由可求出，從而可求橢圓方程；(3)設(shè)出直線：，與橢圓方程聯(lián)立，求得，求出的范圍，即可求直線的斜率的取值范圍．解答：(1)由已知有，又由，可得，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，由已知有，解得．(2)由(1)得橢圓方程為，直線的方程為，兩個(gè)方程聯(lián)立，消去，整理得，解得或，因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，可得的坐標(biāo)為，由，解得，所以橢圓方程為．(3)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的斜率為，得，即，與橢圓方程聯(lián)立消去，整理得，又由已知，得，解得或，設(shè)直線的斜率為，得，即，與橢圓方程聯(lián)立，整理可得．①當(dāng)時(shí)，有，因此，于是，得；②當(dāng)時(shí)，有，因此，于是，得綜上所述，直線的斜率的取值范圍是．【例16】（2015四川理20）如圖所示，橢圓：的離心率是，過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)直線平行于軸時(shí)，直線被橢圓截得的線段長為．（1）求橢圓的方程；（2）在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在與點(diǎn)不同的定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．分析：問題歸結(jié)——通過幾何圖形，求直線的斜率，橢圓的離心率以及直線的斜率范圍；策略突破——（1）根據(jù)橢圓的對稱性，當(dāng)直線與軸平行時(shí)，，將這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程，得．再根據(jù)離心率得，又，三者聯(lián)立，解方程組即可得，進(jìn)而得橢圓的方程為；（2）先特殊化直線（平行和垂直），求出特殊況下的點(diǎn)坐標(biāo)為．接下來聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系證明：對任意的直線，均有．設(shè)，由圖可看出，為了證明，只需證明，為此作點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)，這樣將問題轉(zhuǎn)化為證三點(diǎn)共線．解答：（1）由已知點(diǎn)在橢圓上．所以，解得，．所以橢圓方程為．（2）當(dāng)直線與軸平行時(shí)，設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)．如果存在定點(diǎn)滿足條件，則，即．所以點(diǎn)在軸上，可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為．當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)．則，由，有，解得或．所以，若存在不同于點(diǎn)的定點(diǎn)滿足條件，則點(diǎn)的坐標(biāo)只可能為．下面證明：對任意的直線，均有．當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由上可知，結(jié)論成立．當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線的方程為，的坐標(biāo)分別為，．聯(lián)立，得．所以， ，．因此．易知，點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為．又，所以，即三點(diǎn)共線．所以．故存在與點(diǎn)不同的定點(diǎn)，使得恒成立．歸納：1．求軌跡方程要注意利用圓錐曲線的定義解題．涉及多個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí)，可用動(dòng)點(diǎn)代入法或參數(shù)法求解，分清主動(dòng)點(diǎn)和從動(dòng)點(diǎn)．與圓錐曲線有關(guān)的軌跡求解，也要注意取值范圍和“雜點(diǎn)”的去除．2．對于最值、定值問題的處理，常采用①幾何法：利用圖形性質(zhì)來解決；②代數(shù)法：建立目標(biāo)函數(shù)，再求函數(shù)的最值，確定某幾何量的值域或取值范圍，一般需要建立起方程或不等式，或利用圓錐曲線的有界性來求解．（六）素養(yǎng)導(dǎo)向，強(qiáng)化思維，通性通法為本1．試題的主要類型如下表考什么必備知識(shí)、關(guān)鍵能力、核心素養(yǎng)、教育價(jià)值怎么考基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性考多難題型與難度、直線與直線的位置關(guān)系考查直線方程、方程中系數(shù)幾何意義等問題題型：跨分支交匯，多題型呈現(xiàn)難度：隨主考內(nèi)容而變2．圓與圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)考查圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)問題題型：選擇題或填空題難度：基礎(chǔ)題3．直線與(圓)圓錐曲線的位置關(guān)系主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題題型：解答題難度：中檔題或難題4．與(圓)圓錐曲線有關(guān)的范圍與最值主要考查與圓錐曲線有關(guān)的范圍與最值問題，常與函數(shù)、不等式交匯命題題型：解答題難度：中檔題或難題5．定點(diǎn)、定值的探究與證明①考查以直線、圓、圓錐曲線為載體，探究直線或曲線過定點(diǎn)問題；②考查與圓錐曲線有關(guān)的定值問題．題型：解答題難度：中檔題或難題6．(圓)圓錐曲線中的點(diǎn)、線、參數(shù)等存在性問題①考查以圓錐曲線為載體，探究平分面積的線、平分線段的點(diǎn)等問題；②考查某解析式成立的參數(shù)是否存在問題．題型：解答題難度：中檔題或難題歸避模式，雙曲線也可以考大題，如八省聯(lián)考．2．做法建議建議對以上幾類問題進(jìn)行整理，每類問題的教學(xué)都要注意講關(guān)鍵、 講重點(diǎn)、講難點(diǎn)、講思想、講規(guī)律、講方法，講存在的主要問題和相應(yīng)的解決問題的方法與策略：如在基本量計(jì)算的示范中，要落實(shí)好弦長，中點(diǎn)弦問題，梳理定點(diǎn)、定值、最值與范圍問題的基本思路以及有關(guān)面積的處理思路，是否存在型問題常以直線與圓錐曲線為背景，判斷是否存在定直線滿足題意、判斷四邊形能否為平行四邊形、判斷是否存在常數(shù)滿足條件等；在圓錐曲線問題的計(jì)算中，要耐心演算，分析算法、算理、算式的分析，致力提高運(yùn)算的準(zhǔn)確性；例題教學(xué)，要注重讀題、審題示范與指導(dǎo)，提高數(shù)學(xué)閱讀理解能力，要基于教師數(shù)學(xué)表達(dá)、數(shù)學(xué)運(yùn)算的示范，強(qiáng)化學(xué)生的規(guī)范訓(xùn)練．綜上，解析幾何試題往往具有一定的綜合性，需要學(xué)生在綜合的情境中多角度觀察、思考、發(fā)現(xiàn)其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)關(guān)系，能夠綜合運(yùn)用學(xué)科中不同知識(shí)、數(shù)學(xué)思維進(jìn)行分析、探索解決問題的思路．其解決解析幾何問題的基本步驟：（1）要能夠根據(jù)問題的條件，讀出幾何對象的幾何特征從兩個(gè)方面去分析：對于單個(gè)的幾何對象，要研究它的幾何性質(zhì)；對于不同的幾何對象，要關(guān)注它們之間的位置關(guān)系．再此基礎(chǔ)上做出圖形，直觀地表達(dá)出所分析出來的幾何對象的幾何特征研究（2）在明確了幾何對象的幾何特征的基礎(chǔ)上，要進(jìn)行有效的合理的代數(shù)化．包括幾何元素的代數(shù)化、位置關(guān)系的代數(shù)化、所要研究題的目標(biāo)進(jìn)行代數(shù)化等（3）進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算．包括解所聯(lián)立的方程組、消去所引進(jìn)的參數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的研究方法解決有關(guān)的最值問題等．（4）根據(jù)經(jīng)過代數(shù)運(yùn)算得到的代數(shù)結(jié)果，分析得幾何的結(jié)論．
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