專題415-一次函數(shù)全章復習與鞏固(知識講解)八年級數(shù)學下冊基礎知識專項講練(湘教版)-資料下載頁
2025-04-03 03:32本頁面
【正文】 18浙江溫州市八年級期末）如圖，在直角坐標系中，過點分別向x軸，y軸作垂線，垂足分別為點B，C，取AC的中點P，連結OP，作點C關于直線OP的對稱點D，直線PD與AB交于點Q，則線段PQ的長為______，直線PQ的函數(shù)表達式為______．【答案】5 【分析】連接OQ，根據(jù)已知條件得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，設，根據(jù)勾股定理列方程得到，求得，設直線PQ的函數(shù)表達式為，解方程組即可得到結論．解：連接OQ，點，軸，軸，點P是AC的中點，點C關于直線OP的對稱點D，，在與中，≌，設，，，，，設直線PQ的函數(shù)表達式為，把，代入得，解得：，直線PQ的函數(shù)表達式為，故答案為：5，．【點撥】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵．舉一反三：【變式1】（2019江蘇泰州市九年級月考）如圖，已知 A、B 兩點的坐標分別為（﹣2，0）、（0，1），⊙C 的圓心坐標為（0，﹣1），半徑為 1，E 是⊙C 上的一動點，則△ABE 面積的最大值為（ ）A． B．3+ C．3+ D．4+【答案】A【分析】過點C作CD⊥AB，延長DC交⊙C于E，此時△ABE面積的最大值，點E在過點C垂直于AB的直線和圓C在點C下方的交點，然后求出直線AB解析式，進而得出CD解析式，即可得出點D坐標，再求出CD，進而得出DE，再用三角形的面積公式即可得出結論．解：如圖，過點C作CD⊥AB，延長DC交⊙C于E，此時△ABE面積的最大值（AB是定值，只要圓上一點E到直線AB的距離最大即可），設直線AB的解析式為y＝kx+b（k≠0），∵A（﹣2，0），B（0，1），∴，解得，∴直線AB的解析式為 y＝x+1 ①，∵CD⊥AB，C（0，﹣1），∴直線CD的解析式為y＝﹣2x﹣1 ②，聯(lián)立①②得，D（﹣，），∴CD＝＝，∵⊙C的半徑為1，∴DE＝CD+CE＝+1，∵A（﹣2，0），B（0，1），∴AB＝，∴S△ABE的最大值＝AB?DE＝（+1）＝2+.故選 A.【點撥】此題是圓的綜合題，主要考查了圓的性質(zhì)，待定系數(shù)法，求兩條直線的交點的方法，三角形的面積公式，解本題的關鍵是判斷出點E的位置，是一道中等難度的試題．【變式2】（2020泰安市山東東平東原實驗學校九年級月考）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過點A（﹣2，6），且與x軸相交于點B，與正比例函數(shù)y＝3x的圖象相交于點C，點C的橫坐標為1．（1）求k、b的值；（2）請直接寫出不等式kx+b﹣3x＞0的解集．（3）若點D在y軸上，且滿足S△BCD＝2S△BOC，求點D的坐標．【答案】（1）k=1，b=4；（2）x＜1；（3）點D的坐標為D（0，﹣4）或D（0，12）．【分析】（1）用待定系數(shù)法求解；（2）kx+b＞3x，結合圖象求解；（3）先求點B的坐標為（4，0）．設點D的坐標為（0，m），直線DB：y＝，過點C作CE∥y軸，交BD于點E，則E（1，），可得CE，S△BCD＝S△CED+S△CEB＝＝ |3﹣ |4＝2|3﹣，由S△BCD＝2S△BOC可求解. 解：（1）當x＝1時，y＝3x＝3，∴點C的坐標為（1，3）．將A（﹣2，6）、C（1，3）代入y＝kx+b，得：解得：；（2）由kx+b﹣3x＞0，得kx+b＞3x，∵點C的橫坐標為1，∴x＜1；（3）由（1）直線AB：y＝﹣x+4當y＝0時，有﹣x+4＝0，解得：x＝4，∴點B的坐標為（4，0）．設點D的坐標為（0，m），∴直線DB：y＝，過點C作CE∥y軸，交BD于點E，則E（1，），∴CE＝|3﹣ |∴S△BCD＝S△CED+S△CEB＝＝ |3﹣ |4＝2|3﹣ |．∵S△BCD＝2S△BOC，即2|3﹣ |＝432，解得：m＝﹣4或12，∴點D的坐標為D（0，﹣4）或D（0，12）．【點撥】考核知識點：.
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