20xx屆高考全國(guó)卷地區(qū)3月聯(lián)考乙卷數(shù)學(xué)(文)試題(含解析)-資料下載頁(yè)
2025-04-03 02:33本頁(yè)面
【正文】 .令（），則.令，則.∵，∴，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴.∵，∴，∴，∴.【點(diǎn)睛】（1）在判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)時(shí)，要對(duì)進(jìn)行討論，分拆為，兩個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)判斷.（2）將，通過(guò)，代換為，減少變量個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)來(lái)求解是這個(gè)題目的關(guān)鍵所在.21．已知拋物線（）的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是拋物線內(nèi)一點(diǎn)，若該拋物線上存在點(diǎn)，使得有最小值3.（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）設(shè)直線，點(diǎn)是與軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作與平行的真線，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，直線，分別交直線于點(diǎn)，證明：.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析.【分析】（Ⅰ）利用拋物線定義得，其中點(diǎn)為點(diǎn)在準(zhǔn)線上的射影，再根據(jù)拋物線定義得出的最小值的表達(dá)式，從而求出的值，即可求解；（Ⅱ）由已知條件可求出直線的方程，再設(shè)出直線的方程并代入拋物線中化簡(jiǎn)求出，兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而設(shè)出直線，并與直線聯(lián)立求出，同理可得，從而可得的表達(dá)式，化簡(jiǎn)可得，即可得證.【詳解】（Ⅰ）如圖，過(guò)點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為點(diǎn).根據(jù)拋物線定義得，于是，顯然當(dāng)，三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，所以，解得，所以拋物線的方程為.（Ⅱ）證明：直線，令，得，所以點(diǎn).因?yàn)橹本€平行于直線，且過(guò)點(diǎn)，所以直線.設(shè)直線并代入拋物線的方程消去得，.設(shè)點(diǎn)，由韋達(dá)定理得，易得直線，直線.聯(lián)立解得，同理可得，所以.因?yàn)?，所以，即是的中點(diǎn)，所以.【點(diǎn)睛】(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意直線是否過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，若過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過(guò)焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式．22．在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（Ⅰ）曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）已知點(diǎn)，若和的交點(diǎn)為，求.【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）利用消參法將曲線的參數(shù)方程消去參數(shù)即可求出曲線的普通方程，再利用極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化公式即可求解直線的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）先將直線的普通方程化為參數(shù)方程，再利用參數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】解：（Ⅰ）由已知得曲線：（為參數(shù)），平方后相加得.又，所以曲線的普通方程為（）.因?yàn)?，?將，代入即可得到直線.（Ⅱ）顯然點(diǎn)在直線上，直線的斜率為，所以傾斜角為，所以直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入橢圓得.設(shè)，對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，由韋達(dá)定理得，所以.23．已知函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）把的值代入，再去絕對(duì)值利用零點(diǎn)分段法即可求解；（Ⅱ）先去絕對(duì)值，將不等式轉(zhuǎn)化為與的關(guān)系式，再根據(jù)的取值范圍即可求解.【詳解】解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，∴，∴.（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，.由得，即.∵，∴，∴，即.又∵，∴，即，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.
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