專題01-計(jì)數(shù)原理(知識(shí)梳理)(人教a版選修2-3)(解析版)-資料下載頁
2025-04-03 01:36本頁面
【正文】 為；(2)各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)，即與的指數(shù)的和為；(3)字母按降冪排列，從第一項(xiàng)開始，次數(shù)由逐項(xiàng)減直到零；字母按升冪排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增直到；(4)二項(xiàng)式的系數(shù)從、…一直到、。二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(1)對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即；(2)增減性與最大值：二項(xiàng)式系數(shù)：①當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是遞增的，當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是遞減的；②當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)取得最大值，當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)和相等，且同時(shí)取得最大值。(3)各二項(xiàng)式系數(shù)的和：①的展開式的各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和等于，即。②二項(xiàng)展開式中，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即： 。楊輝三角形：對于是較小的正整數(shù)時(shí)，可以直接寫出各項(xiàng)系數(shù)而不去套用二項(xiàng)式定理，二項(xiàng)式系數(shù)也可以直接用下表計(jì)算： ………………… ……………… …………… ………… ……… …… ……表中有如下規(guī)律：“左、右兩邊斜行各數(shù)都是，其余各數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)字的和。”類似這樣的表，早在我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝年所著出《詳解九章算法》一書里就已出現(xiàn)，如圖叫楊輝三角，由“楊輝三角”可直觀地看出二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)當(dāng)二項(xiàng)式乘方次數(shù)不大時(shí)，可借助于它直接寫出各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)。例41．已知的展開式中的系數(shù)為，則的值為( )。A、或B、或C、D、【答案】A【解析】，由得，∴，故選A。例42．的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為( )。A、B、C、D、【答案】A【解析】的通項(xiàng)公式為，常數(shù)項(xiàng)為或(舍)或，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因此常數(shù)項(xiàng)為，故選A。例43．設(shè)，則( )。A、B、C、D、【答案】A【解析】令，右邊為，左邊把代入，∴，故選A。例43．已知，求：(1)；(2)；(3)；(4)?！窘馕觥苛顒t①；令則②；令則③；(1)②①得：；(2)(②③)得：；(3)(②+③)得：；(4)方法一：∵；方法二：等于展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和，令，則。例44．若的展開式二項(xiàng)式系數(shù)和比的展開式二項(xiàng)式系數(shù)和大。則在的展開式中：(1)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；(2)系數(shù)的絕對值最大的項(xiàng)。【解析】由題意知，即，則。(1)的展開式中第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即，∴二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為；(2)設(shè)第項(xiàng)的系數(shù)的絕對值最大，則，則得即，解得，∵，∴，故系數(shù)的絕對值最大的項(xiàng)是第項(xiàng)。
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