20xx屆江蘇省蘇州市相城區(qū)高三上學(xué)期12月階段性診斷測試數(shù)學(xué)試題(解析版)-資料下載頁
2025-04-03 01:25本頁面
【正文】 率視為概率，現(xiàn)從該地區(qū)大量學(xué)生中，隨機(jī)抽取名學(xué)生，每次抽取名，已知每個人是否被抽到互不影響，記被抽取的“讀書之星”人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和期望 附：，其中.【答案】（1）,n=100,（2）表見解析，沒有以上的把握認(rèn)為“讀書之星”與性別有關(guān)（3）分布列見解析，【分析】（1）首先根據(jù)頻率和為1求，再根據(jù)頻率，頻數(shù)和樣本容量的關(guān)系求；（2）首先計算“讀書之星”的人數(shù)，然后再依次填寫列聯(lián)表；并根據(jù)公式計算和比較大小，做出判斷；（3）從該地區(qū)學(xué)生中抽取一名學(xué)生是“讀書之星”的概率為，由題意可知并求分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）解得：，所以.(2)因?yàn)?，所以“讀書之星”有從而列聯(lián)表如下圖所示:非讀書之星讀書之星總計男女總計將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算得因?yàn)?，所以沒有以上的把握認(rèn)為“讀書之星”與性別有關(guān)(3)將頻率視為概率，即從該地區(qū)學(xué)生中抽取一名學(xué)生是“讀書之星”的概率為.由題意可知所以，所以的分布列為故.【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，獨(dú)立性檢驗(yàn)，二項(xiàng)分布，意在考查利用所給數(shù)據(jù)，分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題型.21．已知橢圓的離心率為，且點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)M，N是橢圓上異于A，B的不同兩點(diǎn)，直線的斜率為，直線的斜率為，求證：直線過定點(diǎn)．【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）由，得到，再由點(diǎn)在該橢圓上，求得的值，即可求得橢圓的方程；（2）設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組求得，再由的的方程，聯(lián)立方程組，求得，結(jié)合斜率公式，進(jìn)而得到直線過定點(diǎn).【詳解】（1）由橢圓的離心率為，且點(diǎn)在橢圓上，可得，所以，又點(diǎn)在該橢圓上，所以，所以， 所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）由于的斜率為，設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，所以，所以，從而，即，同理可得：由于的斜率為，則，聯(lián)立方程組，可得，即，所以，所以，從而，即，當(dāng)時即；時，過點(diǎn)，當(dāng)時，，即，所以直線過點(diǎn)，綜上可得，直線過點(diǎn).【點(diǎn)睛】解答圓錐曲線的定點(diǎn)、定值問題的策略：參數(shù)法：參數(shù)解決定點(diǎn)問題的思路：①引進(jìn)動點(diǎn)的坐標(biāo)或動直線中的參數(shù)表示變化量，即確定題目中核心變量（通常為變量）；②利用條件找到過定點(diǎn)的曲線之間的關(guān)系，得到關(guān)于與的等式，再研究變化量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，得出定點(diǎn)的坐標(biāo)；由特殊到一般發(fā)：由特殊到一般法求解定點(diǎn)問題時，常根據(jù)動點(diǎn)或動直線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān).22．已知函數(shù)，函數(shù)（）.（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時，.（3）證明：當(dāng)時，.【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）證明見解析（3）證明見解析【分析】（1）求出的定義域，導(dǎo)函數(shù)，對參數(shù)、分類討論得到答案.（2）設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)說明函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，即可得證.（3）由（1）可知，可得，即又即可得證.【詳解】（1）解：的定義域?yàn)?，?dāng)，時，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)，時，令，得，令，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)，時，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)，時，令，得，令，得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）證明：設(shè)函數(shù)，則.因?yàn)?，所以，則，從而在上單調(diào)遞減，所以，即.（3）證明：當(dāng)時，.由（1）知，所以，即.當(dāng)時，，則，即，又，所以，即.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，屬于難題.第 25 頁 共 25
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