20xx高考數(shù)學(xué)文人教a版一輪復(fù)習(xí)學(xué)案：82-空間幾何體的表面積與體積-【含解析】-資料下載頁(yè)
2025-04-03 00:57本頁(yè)面
【正文】 解如圖所示,設(shè)點(diǎn)O是內(nèi)切球的球心,外接球半徑為R.正四面體的表面積S表=434a2=3a2,正四面體的體積VABCD=1334a2AE=312a2AB2BE2=312a2a2(33a)2=212a3.∵13S表r=VABCD,∴r=3VABCDS表=612a.在Rt△BEO中,BO2=BE2+EO2,即R2=(33a)2+r2,得R=64a.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5C 不妨設(shè)S△PBC=12,S△PAC=16,S△PAB=20,設(shè)P在底面ABC的投影為H,分別作HD⊥BC于點(diǎn)D,HE⊥AB于點(diǎn)E,HF⊥AC于點(diǎn)F,則PD⊥BC,PE⊥AB,PF⊥,H為△ABC的內(nèi)心,則Rt△PDH≌Rt△PFH≌Rt△PEH,故PD=PF=PE,所以S△PBC∶S△PAC∶S△PAB=BC∶AC∶AB=12∶16∶20=3∶4∶5,所以∠ACB=90176。.令BC=3x,AC=4x,AB=△ABC=12BCAC=123x4x=24,解得x=2,所以BC=6,AC=8,AB=10.設(shè)△ABC內(nèi)切圓半徑為r,則12(BC+AC+AB)r=S△ABC,解得r=2,故HD=△PBC=12BCPD=12,BC=6,得PD=4,所以PH=PD2HD2=23,所以VPABC=13S△ABCPH=132423=163,設(shè)三棱錐PABC的內(nèi)切球的半徑為R,則VPABC=13(S△PBC+S△PAC+S△PAB+S△ABC)R,即163=13(12+16+20+24)R,解得R=233,則所求內(nèi)切球的表面積為4πR2=16π3,故選C.例6(1)8π (2)1015π (1)因?yàn)椤螾AB=∠PAD=60176。,AB=AP=2,ABCD為正方形,所以△PAB,△PAD為全等的等邊三角形,且邊長(zhǎng)為2,過(guò)點(diǎn)P作PT垂直于底面ABCD于點(diǎn)T,連接TD,TA,TB,如圖,易知TD=TA=TB,所以T為△ABD的外心,又ABCD為正方形,即T為正方形ABCD的中心,設(shè)四棱錐的外接球的球心為O,半徑為R,連接OA,由已知,BD=22,PT=PA2AT2=22(2)2=2,所以O(shè)T2+TA2=R2=(PTOT)2,即OT2+2=(2OT)2,解得OT=0,即球心與T重合,所以外接球半徑R=2,其表面積為4πR2=8π.(2)由該四棱錐的三視圖知,該四棱錐直觀圖如圖,由△SAB是一個(gè)銳角三角形,可知其外接圓的圓心在三角形內(nèi),設(shè)為O1,長(zhǎng)方形ABCD的外接圓的圓心為其對(duì)角線的中點(diǎn)O2,設(shè)四棱錐外接球的球心為O,則OO1⊥平面SAB,OO2⊥平面ABCD,△SAB外接圓半徑,r2為矩形ABCD外接圓半徑,L=AB,則r1=O1B,r2=O2B,由平面SAB⊥平面ABCD,可得O1E2=r12L24,又因?yàn)镺1E=OO2,且R2=OO22+O2B2,所以R2=r12+r22L24,SE=94=5,由相交弦定理得易求△SAB外接圓的半徑,即SE(2r1SE)=BE2,所以r1=925,2r2=42+22==81204+5=10120,所以S=4πR2=1015π.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6(1)2π (2)5π (1)如圖所示,由AB=BC=1,AC=2,得AB⊥BC,所以△,B,C的距離相等且為AC長(zhǎng)的一半,又AD⊥CD,△DAC也是直角三角形,AC的中點(diǎn)到點(diǎn)D的距離也是AC長(zhǎng)的一半,所以AC的中點(diǎn)到四面體各頂點(diǎn)的距離都相等,所以其外接球的球心即為AC的中點(diǎn).所以外接球半徑R=12AC=22,所以S球=4πR2=2π.(2)因?yàn)榈酌鍭BCD是等腰梯形,AB∥CD且滿足AB=2AD=2DC=2,所以cos∠BCD+cos∠BAD=0=CB2+CD2BD22CBCD+AB2+AD2BD22ABAD=2BD22+5BD24,解得BD=3,故AB2=AD2+BD2,即∠BDA=π2,又因?yàn)榈酌鍭BCD是等腰梯形,故四邊形ABCD的外接圓直徑為AB,設(shè)AB的中點(diǎn)為O1,球的半徑為R,在Rt△SCD中,因SC=2,CD=1,所以SD=1,因?yàn)镾D⊥平面ABCD,所以面SCD⊥面ABCD,過(guò)四邊形ABCD外接圓的圓心O1作圓面的垂線,過(guò)Rt△SCD斜邊的中點(diǎn)E作△SCD所在平面的垂線,兩條垂線的交點(diǎn)即為球心O,連接OA,且OO1=EF=12SD,所以R2=12+SD22=54,因此球O的表面積是S=4πR2=5π.16
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