20xx屆河南省新鄉(xiāng)市高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)(理)試題(含解析)-(1)-資料下載頁
2025-04-03 00:33本頁面
【正文】 因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，此時(shí)由可解得，此時(shí)也滿足所以綜上可得：面積的最大值為1【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：涉及橢圓的弦長、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問題時(shí)，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體帶入”等解法.21．已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性.（2）當(dāng)時(shí)，證明：.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）求出定義域，求出導(dǎo)函數(shù)，由確定增區(qū)間，確定減區(qū)間．（2）先證明，然后令，求出求函數(shù)，對設(shè)，求導(dǎo)得，確定單調(diào)性，確定有唯一零點(diǎn)，得的最大值為，由，結(jié)合零點(diǎn)存在定理得在上有一個(gè)零點(diǎn)，在上有一個(gè)零點(diǎn)，縮小范圍這，這樣是的極大值點(diǎn)，利用不等式的性質(zhì)證明即可得．【詳解】（1）定義域是，由題意，當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，時(shí)，時(shí)，在上遞減，在上遞增．（2）令，則，時(shí)，時(shí)，即時(shí)，遞減，時(shí)，遞增，所以，所以，（時(shí)，等號成立），所以， 時(shí)，不等式為，即，令，則，令，則設(shè)，則．所以在上是減函數(shù)，，所以在，即在上存在唯一零點(diǎn)，時(shí)，時(shí)，所以即在上遞增，在上遞減．，由，得，易知，所以在上一個(gè)零點(diǎn)，在上有一個(gè)零點(diǎn)，且，或時(shí)，在和上遞減，時(shí)，在上遞增，顯然當(dāng)時(shí)，因此時(shí)，在上，是的最大值．，又，因?yàn)?，則，所以，綜上，時(shí)，成立．所以成立．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，證明不等式成立，證明不等式時(shí)引入新函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)求出新函數(shù)的最大值及對應(yīng)，然后再證明，為此用到不等式的性質(zhì)，基本的函數(shù)不等式變換，從而得到它小于0．22．在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線的參數(shù)議程為(為參數(shù))，直線與的交點(diǎn)為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求點(diǎn)的軌跡的普通方程；（2）若曲線與曲線相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）將、的參數(shù)方程化為普通方程，然后聯(lián)立可得的普通方程；（2）將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，然后與的方程聯(lián)立消元，求出點(diǎn)，的坐標(biāo)，然后可算出答案.【詳解】（1）由消去可得由消去可得由可得，即因?yàn)?，所以所以的普通方程為?）由可得，即聯(lián)立可得從而可得或所以23．已知函數(shù).（1）求不等式的解集.（2）若函數(shù)的最大值為，設(shè)，且，證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析；【分析】（1）將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，再利用分類討論法求出不等式的解集；（2）由（1）可知，再利用柯西不等式即可證明；【詳解】解：（1）因?yàn)?，函?shù)圖象如下所示因?yàn)椋曰蚧蚪獾没蚧?，所以原不等式的解集為?）由（1）可知的最大值為，即，所以，又，所以所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號所以23
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