【正文】 ?！窘馕觥俊痉治觥肯雀鶕?jù)兩直線平行，同位角相等，∠CBE=∠C，∠DBE=∠A再根據(jù)∠CBD=∠CBE+∠DBE即可得出結(jié)論．根據(jù)角平分線及外角定理可得∠5=（∠A+2∠1）再化簡即可得∠F＝∠A.【詳解】解：問題發(fā)現(xiàn):∵BE∥AC，∴∠CBE=∠C，∠DBE=∠A．∴∠CBD=∠CBE+∠DBE=∠A+∠C．問題解決:如圖：延長CB至G，∵∠CBF=∠DBF，∠CBA=∠DBG∠5=∠GBF∵CF為∠ACB的內(nèi)角平分線，∴∠1=∠2，∵∠GBA=∠ACB+∠A∴∠5=（∠A+2∠1），∵∠3=∠4，∠A=180176?！?∠3∴∠F=180176?！?∠5=180176?！?（∠A+2∠1）＝180176?！?∠1∠A即∠F=∠A∠A＝∠A．所以，∠A與∠F的數(shù)量關(guān)系是∠F＝∠A．【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，用到的知識點為：兩直線平行，內(nèi)錯角相等，同位角相等．另考查了三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系，角平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．感知：如圖①，若AB∥CD，點P在AB、CD內(nèi)部，則∠P、∠A、∠C滿足的數(shù)量關(guān)系是　 ?。骄浚喝鐖D②，若AB∥CD，點P在AB、CD外部，則∠APC、∠A、∠C滿足的數(shù)量關(guān)系是　 　．請補全以下證明過程：證明：如圖③，過點P作PQ∥AB∴∠A＝　 　∵AB∥CD，PQ∥AB∴　 　∥CD∴∠C＝∠　 　∵∠APC＝∠　 　﹣∠　 　∴∠APC＝　 　應(yīng)用：（1）如圖④，為北斗七星的位置圖，如圖⑤，將北斗七星分別標(biāo)為A、B、C、D、E、F、G，其中B、C、D三點在一條直線上，AB∥EF，則∠B、∠D、∠E滿足的數(shù)量關(guān)系是　 　．（2）如圖⑥，在（1）問的條件下，延長AB到點M，延長FE到點N，過點B和點E分別作射線BP和EP，交于點P，使得BD平分∠MBP，EN平分∠DEP，若∠MBD＝25176。，則∠D﹣∠P＝　 　176。．【答案】（1）∠P＝∠A+∠C；∠APC＝∠A﹣∠C，∠APQ，PQ，∠CPQ，∠APQ，∠CPQ，∠A﹣∠C；∠D+∠B﹣∠E＝180176。（2）75【解析】【分析】作平行線利用平行線的性質(zhì)與角平分線的性質(zhì)通過角等量關(guān)系轉(zhuǎn)化解題即可．【詳解】解：感知：如圖①，過點P作PQ∥AB∴∠A＝∠APQ，∵AB∥CD，PQ∥AB∴PQ∥CD，∴∠C＝∠QPC，∴∠APQ+∠QPC＝∠A+∠C，∠APC＝∠A+∠C．故答案為∠P＝∠A+∠C；探究：證明：如圖③，過點P作PQ∥AB∴∠A＝∠APQ∵AB∥CD，PQ∥AB∴PQ∥CD∴∠C＝∠CPQ∵∠APC＝∠APQ﹣∠CPQ∴∠APC＝∠A﹣∠C．故答案為：∠APC＝∠A﹣∠C，∠APQ，PQ，∠CPQ，∠APQ，∠CPQ，∠A﹣∠C．應(yīng)用：（1）如圖⑤，過點D作DH∥EF，∴∠HDE＝∠E，∵AB∥EF，DH∥EF∴AB∥DH，∴∠B+∠BDH＝180176。，即∠BDH＝180176。﹣∠B，∴∠HDE+∠BDH＝∠E+180176。﹣∠B，即∠BDE+∠B﹣∠E＝180176。，故答案為∠D+∠B﹣∠E＝180176。，（2）如圖⑥，過點P作PH∥EF，∴∠EPH＝∠NEP，∵AB∥EF，PH∥EF，∴AB∥PH，∴∠MBP+∠BPH＝180176。，∵BD平分∠MBP，∠MBD＝25176。，∠MBP＝2∠MBD＝225176。＝50176。，∠BPH＝180176。﹣50176。＝130176。，∵EN平分∠DEP，∴∠NEP＝∠DEN∴∠BPE＝∠BPH﹣∠EPH＝∠BPH﹣∠NEP＝∠BPH﹣∠DEN＝130176。﹣（180176。﹣∠DEF）＝∠DEF﹣50176。由①∠D+∠ABD﹣∠DEF＝180176。，∵∠MBD＝25176。，∴∠ABD＝155176。，∴∠D+∠155176。﹣∠DEF＝180176。，∴∠DEF＝∠D﹣25176?！唷螧PE＝∠DEF﹣50176。＝∠D﹣25176。﹣50176。＝∠D﹣75176?！螪﹣∠BPE＝75176。即∠D﹣∠P＝75176。，故答案75．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)與平行線的性質(zhì)，正確運用角平分線與平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．如圖，已知點E、F在直線AB上，點G在線段CD上，ED與FG相交于點H，∠C＝∠EFG，∠BFG＝∠AEM，求證：AB∥CD．（完成下列填空）證明：∵∠BFG＝∠AEM（已知）且∠AEM＝∠BEC（　 ?。唷螧EC＝∠BFG（等量代換）∴MC∥　 　（　 ?。唷螩＝∠FGD（　 　）∵∠C＝∠EFG（已知）∴∠　 ?。健螮FG，（等量代換）∴AB∥CD（　 ?。敬鸢浮繉斀窍嗟龋籊F；同位角相等，兩直線平行；FGD；內(nèi)錯角相等，兩直線平行【解析】【分析】根據(jù)同位角相等兩直線平行，可證MC∥GF，進(jìn)而利用平行線的性質(zhì)和判定證明．【詳解】證明：∵∠BFG＝∠AEM（已知）且∠AEM＝∠BEC（對頂角相等）∴∠BEC＝∠BFG（等量代換）∴MC∥GF（同位角相等，兩直線平行）∴∠C＝∠FGD（ 兩直線平行，同位角相等）∵∠C＝∠EFG（已知）∴∠FGD＝∠EFG，（等量代換）∴AB∥CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．故答案是：對頂角相等；GF；同位角相等，兩直線平行；FGD；內(nèi)錯角相等，兩直線平行．【點睛】考查了平行線的判定與性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是注意平行線的性質(zhì)和判定定理的綜合運用．將下列方格紙中的向右平移8格，再向上平移2格，得到. (1)畫出平移后的三角形。 (2)若，則= 。 (3)連接，則線段與的關(guān)系是 .【答案】(1)見解析；(2) AC=A1C1。 (3) AA1∥BB1且AA1=BB1【解析】【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點A、B、C平移后的對應(yīng)點ABC1的位置，然后順次連接即可；（2）根據(jù)平移的性質(zhì)可得AC=A1C1；（3）根據(jù)對應(yīng)點的連線平行且相等解答．【詳解】解：（1）△A1B1C1如圖所示；（2）A1C1=AC=4；（3）AA1∥BB1且AA1=BB1．【點睛】本題考查了利用平移變換作圖，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)確找出對應(yīng)點的位置是解題的關(guān)鍵．如圖①，已知AB∥CD，點E、F分別是AB、CD上的點，點P是兩平行線之間的一點，設(shè)∠AEP=α，∠PFC=β，在圖①中，過點E作射線EH交CD于點N，作射線FI，延長PF到G，使得PE、FG分別平分∠AEH、∠DFI，得到圖②．（1）在圖①中，當(dāng)α=20176。，β=50176。時，求∠EPF的度數(shù)；（2）在（1）的條件下，求圖②中∠END與∠CFI的度數(shù)；（3）在圖②中，當(dāng)FI∥EH時，請求出α與β的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）70176。；（2）40176。，80176。；（3）α+β=90176。.【解析】【分析】(1)由PM∥AB根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠EPM=∠AEP=20176。，根據(jù)平行公理的推論可得PM∥CD，繼而可得∠MPF=∠CFP=50176。，從而即可求得∠EPF；(2)由角平分線的定義可得∠AEH=2α=40176。，再根據(jù)AD∥BC，由兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠END=∠AEH=40176。，由對頂角相等以及角平分線定義可得∠IFG=∠DFG=β=50176。，再根據(jù)平角定義即可求得∠CFI的度數(shù)；(3)由(2)可得，∠CFI=180176。2β，由AB∥CD，可得∠END=2α，當(dāng)FI∥EH時，∠END=∠CFI，據(jù)此即可得α+β=90176。．【詳解】(1)∵PM∥AB，α=20176。，∴∠EPM=∠AEP=20176。，∵AB∥CD，PM∥AB，∴PM∥CD，∴∠MPF=∠CFP=50176。，∴∠EPF=20176。+50176。=70176。；(2)∵PE平分∠AEH，∴∠AEH=2α=40176。，∵AD∥BC，∴∠END=∠AEH=40176。，又∵FG平分∠DFI，∴∠IFG=∠DFG=β=50176。，∴∠CFI=180176。2β=80176。；(3)由(2)可得，∠CFI=180176。2β，∵AB∥CD，∴∠END=∠AEN=2α，∴當(dāng)FI∥EH時，∠END=∠CFI，即2α=180176。2β，∴α+β=90176。．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.