【正文】 °，則在△ADF和△ADE中，AD=AD，∠FAD=∠DAE，AF=AE，∴△ADF≌△ADE，∴DF=DE,∠C=∠ABF=45°，∴∠BDF=90°，∴△BDF是直角三角形,∴BD2+BF2=DF2，∴BD2+CE2=DE2.14．倡導研究性學習方式，著力教材研究，習題研究，是學生跳出題海，提高學習能力和創(chuàng)新能力的有效途徑．下面是一案例，請同學們認真閱讀、研究，完成“類比猜想”的問題．習題 如圖（1），點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45176。，連接EF，則EF=BE+DF，說明理由．解答：∵正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠ADC=∠B=90176。，∴把△ABE繞點A逆時針旋轉90176。至△ADE′，點F、D、E′在一條直線上．∴∠E′AF=90176。45176。=45176。=∠EAF，又∵AE′=AE，AF=AF∴△AE′F≌△AEF（SAS）∴EF=E′F=DE′+DF=BE+DF．類比猜想：（1）請同學們研究：如圖（2），在菱形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，當∠BAD=120176。，∠EAF=60176。時，還有EF=BE+DF嗎？請說明理由．（2）在四邊形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，當AB=AD，∠B+∠D=180176。，∠EAF=∠BAD時，EF=BE+DF嗎？請說明理由．【答案】證明見解析．【解析】試題分析：（1）把△ABE繞點A逆時針旋轉120176。至△ADE′，如圖（2），連結E′F，根據(jù)菱形和旋轉的性質得到AE=AE′，∠EAF=∠E′AF，利用“SAS”證明△AEF≌△AE′F，得到EF=E′F；由于∠ADE′+∠ADC=120176。，則點F、D、E′不共線，所以DE′+DF＞EF，即由BE+DF＞EF；（2）把△ABE繞點A逆時針旋轉∠BAD的度數(shù)至△ADE′，如圖（3），根據(jù)旋轉的性質得到AE′=AE，∠EAF=∠E′AF，然后利用“SAS”證明△AEF≌△AE′F，得到EF=E′F，由于∠ADE′+∠ADC=180176。，知F、D、E′共線，因此有EF=DE′+DF=BE+DF；根據(jù)前面的條件和結論可歸納出結論．試題解析：（1）當∠BAD=120176。，∠EAF=60176。時，EF=BE+DF不成立，EF＜BE+DF．理由如下：∵在菱形ABCD中，∠BAD=120176。，∠EAF=60176。，∴AB=AD，∠1+∠2=60176。，∠B=∠ADC=60176。，∴把△ABE繞點A逆時針旋轉120176。至△ADE′，如圖（2），連結E′F，∴∠EAE′=120176。，∠1=∠3，AE′=AE，DE′=BE，∠ADE′=∠B=60176。，∴∠2+∠3=60176。，∴∠EAF=∠E′AF，在△AEF和△AE′F中，∴△AEF≌△AE′F（SAS），∴EF=E′F，∵∠ADE′+∠ADC=120176。，即點F、D、E′不共線，∴DE′+DF＞EF∴BE+DF＞EF；（2）當AB=AD，∠B+∠D=180176。，∠EAF=∠BAD時，EF=BE+DF成立．理由如下：如圖（3），∵AB=AD，∴把△ABE繞點A逆時針旋轉∠BAD的度數(shù)至△ADE′，如圖（3），∴∠EAE′=∠BAD，∠1=∠3，AE′=AE，DE′=BE，∠ADE′=∠B，∵∠B+∠D=180176。，∴∠ADE′+∠D=180176。，∴點F、D、E′共線，∵∠EAF=∠BAD，∴∠1+∠2=∠BAD，∴∠2+∠3=∠BAD，∴∠EAF=∠E′AF，在△AEF和△AE′F中，∴△AEF≌△AE′F（SAS），∴EF=E′F，∴EF=DE′+DF=BE+DF；歸納：在四邊形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，當AB=AD，∠B+∠D=180176。，∠EAF=∠BAD時，EF=BE+DF．考點：四邊形綜合題．15．（本題14分）小明在學習平行線相關知識時總結了如下結論：端點分別在兩條平行線上的所有線段中，垂直于平行線的線段最短．小明應用這個結論進行了下列探索活動和問題解決．問題1：如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90176。，AC=4，BC=3，P為AC邊上的一動點，以PB，PA為邊構造□APBQ，求對角線PQ的最小值及PQ最小時的值．（1）在解決這個問題時，小明構造出了如圖2的輔助線，則PQ的最小值為 ，當PQ最小時= _____ __；（2）小明對問題1做了簡單的變式思考．如圖3，P為AB邊上的一動點，延長PA到點E，使AE=nPA（n為大于0的常數(shù)）．以PE，PC為邊作□PCQE，試求對角線PQ長的最小值，并求PQ最小時的值；問題2：在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3．（1）如圖4，若為上任意一點，以，為邊作□．試求對角線長的最小值和PQ最小時的值．（2）若為上任意一點，延長到，使，再以，為邊作□．請直接寫出對角線長的最小值和PQ最小時的值．【答案】問題1：（1）3，；（2）PQ=，=．問題2：（1）=4，．（2）PQ的最小值為．．【解析】試題分析：問題1：（1）首先根據(jù)條件可證四邊形PCBQ是矩形，然后根據(jù)條件“四邊形APBQ是平行四邊形可得AP=QB=PC，從而可求的值．（2）由題可知：當QP⊥AC時，PQ最?。^點C作CD⊥AB于點D．此時四邊形CDPQ為矩形，PQ=CD，在Rt△ABC中，∠C=90176。，AC=4，BC=3，利用面積可求出CD=,然后可求出AD=， 由AE=nPA可得PE=，而PE=CQ=PD=ADAP=，所以AP=．所以=．問題2：（1）設對角線與相交于點．Rt≌Rt．所以AD=HC，QH=AP．由題可知：當QP⊥AB時，PQ最小，此時=CH=4，根據(jù)條件可證四邊形BPQH為矩形，從而QH=BP=AP．所以．（2）根據(jù)題意畫出圖形，當 AB時，的長最小，PQ的最小值為．．試題解析：問題1：（1）3，；（2）過點C作CD⊥AB于點D．由題意可知當PQ⊥AB時，PQ最短．所以此時四邊形CDPQ為矩形．PQ=CD，DP=CQ=PE．因為∠BCA=90176。，AC=4，BC=3，所以AB=5．所以CD=．所以PQ=．在Rt△ACD中AC=4，CD=，所以AD=．因為AE=nPA，所以PE==CQ=PD=ADAP=．所以AP=．所以=．問題2：（1）如圖2，設對角線與相交于點．所以G是DC的中點，作QHBC，交BC的延長線于H，因為AD//BC，所以．所以．又，所以Rt≌Rt．所以AD=HC，QH=AP．由圖知，當 AB時，的長最小，即=CH=4．易得四邊形BPQH為矩形，所以QH=BP=AP．所以．（若學生有能力從梯形中位線角度考慮，若正確即可評分．但講評時不作要求）（2）PQ的最小值為．．考點：1．直角三角形的性質；2．全等三角形的判定與性質；3．平行四邊形的性質；4矩形的判定與性質．