【正文】 DEFG的形狀，并說(shuō)明理由.（2）若點(diǎn)C在第二象限運(yùn)動(dòng)，且四邊形DEFG為菱形時(shí)，求點(diǎn)四邊形OABC對(duì)角線OB長(zhǎng)度的取值范圍.（3）若在點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，四邊形DEFG始終為正方形，當(dāng)點(diǎn)C從X軸負(fù)半軸經(jīng)過(guò)Y軸正半軸，運(yùn)動(dòng)至X軸正半軸時(shí)，直接寫出點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng).【答案】（1）正方形（2）（3）2π【解析】分析:（1）連接OB，AC，說(shuō)明OB⊥AC，OB=AC，可得四邊形DEFG是正方形.（2）由四邊形DEFG是菱形，可得OB=AC，當(dāng)點(diǎn)C在y軸上時(shí)，AC=，當(dāng)點(diǎn)C在x軸上時(shí)，AC=6, 故可得結(jié)論；（3）根據(jù)題意計(jì)算弧長(zhǎng)即可.詳解：（1）正方形，如圖1，證明連接OB，AC，說(shuō)明OB⊥AC，OB=AC，可得四邊形DEFG是正方形.（2）如圖2，由四邊形DEFG是菱形，可得OB=AC，當(dāng)點(diǎn)C在y軸上時(shí)，AC=，當(dāng)點(diǎn)C在x軸上時(shí)，AC=6, ∴ ；（3）2π.如圖3，當(dāng)四邊形DEFG是正方形時(shí)，OB⊥AC，且OB=AC，構(gòu)造△OBE≌△ACO，可得B點(diǎn)在以E（0，4）為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng).所以當(dāng)C點(diǎn)從x軸負(fù)半軸到正半軸運(yùn)動(dòng)時(shí)，B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑為2 .圖1 圖2 圖3點(diǎn)睛：本題主要考查了正方形的判定，.14．如圖，現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為4的正方形紙片ABCD，點(diǎn)P為正方形AD邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合），將正方形紙片折疊，使點(diǎn)B落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP、BH．（1）求證：∠APB=∠BPH；（2）當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上移動(dòng)時(shí)，求證：△PDH的周長(zhǎng)是定值；（3）當(dāng)BE+CF的長(zhǎng)取最小值時(shí)，求AP的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析．（2）證明見(jiàn)解析．（3）2．【解析】試題分析：（1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出∠PBC=∠BPH，進(jìn)而利用平行線的性質(zhì)得出∠APB=∠PBC即可得出答案；（2）首先證明△ABP≌△QBP，進(jìn)而得出△BCH≌△BQH，即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；（3）過(guò)F作FM⊥AB，垂足為M，則FM=BC=AB，證明△EFM≌△BPA，設(shè)AP=x，利用折疊的性質(zhì)和勾股定理的知識(shí)用x表示出BE和CF，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值．試題解析：（1）解：如圖1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．又∵∠EPH=∠EBC=90176。，∴∠EPH∠EPB=∠EBC∠EBP．即∠PBC=∠BPH．又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC．∴∠APB=∠BPH．（2）證明：如圖2，過(guò)B作BQ⊥PH，垂足為Q．由（1）知∠APB=∠BPH，又∵∠A=∠BQP=90176。，BP=BP，在△ABP和△QBP中，∴△ABP≌△QBP（AAS），∴AP=QP，AB=BQ，又∵AB=BC，∴BC=BQ．又∠C=∠BQH=90176。，BH=BH，在△BCH和△BQH中，∴△BCH≌△BQH（SAS），∴CH=QH．∴△PHD的周長(zhǎng)為：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8．∴△PDH的周長(zhǎng)是定值．（3）解：如圖3，過(guò)F作FM⊥AB，垂足為M，則FM=BC=AB．又∵EF為折痕，∴EF⊥BP．∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90176。，∴∠EFM=∠ABP．又∵∠A=∠EMF=90176。，在△EFM和△BPA中，∴△EFM≌△BPA（AAS）． ∴EM=AP．設(shè)AP=x在Rt△APE中，（4BE）2+x2=BE2．解得BE=2+，∴CF=BEEM=2+x，∴BE+CF=x+4=（x2）2+3．當(dāng)x=2時(shí)，BE+CF取最小值，∴AP=2．考點(diǎn)：幾何變換綜合題．15．（本題14分）小明在學(xué)習(xí)平行線相關(guān)知識(shí)時(shí)總結(jié)了如下結(jié)論：端點(diǎn)分別在兩條平行線上的所有線段中，垂直于平行線的線段最短．小明應(yīng)用這個(gè)結(jié)論進(jìn)行了下列探索活動(dòng)和問(wèn)題解決．問(wèn)題1：如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90176。，AC=4，BC=3，P為AC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，以PB，PA為邊構(gòu)造□APBQ，求對(duì)角線PQ的最小值及PQ最小時(shí)的值．（1）在解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)，小明構(gòu)造出了如圖2的輔助線，則PQ的最小值為 ，當(dāng)PQ最小時(shí)= _____ __；（2）小明對(duì)問(wèn)題1做了簡(jiǎn)單的變式思考．如圖3，P為AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)PA到點(diǎn)E，使AE=nPA（n為大于0的常數(shù)）．以PE，PC為邊作□PCQE，試求對(duì)角線PQ長(zhǎng)的最小值，并求PQ最小時(shí)的值；問(wèn)題2：在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3．（1）如圖4，若為上任意一點(diǎn)，以，為邊作□．試求對(duì)角線長(zhǎng)的最小值和PQ最小時(shí)的值．（2）若為上任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)到，使，再以，為邊作□．請(qǐng)直接寫出對(duì)角線長(zhǎng)的最小值和PQ最小時(shí)的值．【答案】問(wèn)題1：（1）3，；（2）PQ=，=．問(wèn)題2：（1）=4，．（2）PQ的最小值為．．【解析】試題分析：?jiǎn)栴}1：（1）首先根據(jù)條件可證四邊形PCBQ是矩形，然后根據(jù)條件“四邊形APBQ是平行四邊形可得AP=QB=PC，從而可求的值．（2）由題可知：當(dāng)QP⊥AC時(shí)，PQ最?。^(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D．此時(shí)四邊形CDPQ為矩形，PQ=CD，在Rt△ABC中，∠C=90176。，AC=4，BC=3，利用面積可求出CD=,然后可求出AD=， 由AE=nPA可得PE=，而PE=CQ=PD=ADAP=，所以AP=．所以=．問(wèn)題2：（1）設(shè)對(duì)角線與相交于點(diǎn)．Rt≌Rt．所以AD=HC，QH=AP．由題可知：當(dāng)QP⊥AB時(shí)，PQ最小，此時(shí)=CH=4，根據(jù)條件可證四邊形BPQH為矩形，從而QH=BP=AP．所以．（2）根據(jù)題意畫出圖形，當(dāng) AB時(shí)，的長(zhǎng)最小，PQ的最小值為．．試題解析：?jiǎn)栴}1：（1）3，；（2）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D．由題意可知當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，PQ最短．所以此時(shí)四邊形CDPQ為矩形．PQ=CD，DP=CQ=PE．因?yàn)椤螧CA=90176。，AC=4，BC=3，所以AB=5．所以CD=．所以PQ=．在Rt△ACD中AC=4，CD=，所以AD=．因?yàn)锳E=nPA，所以PE==CQ=PD=ADAP=．所以AP=．所以=．問(wèn)題2：（1）如圖2，設(shè)對(duì)角線與相交于點(diǎn)．所以G是DC的中點(diǎn)，作QHBC，交BC的延長(zhǎng)線于H，因?yàn)锳D//BC，所以．所以．又，所以Rt≌Rt．所以AD=HC，QH=AP．由圖知，當(dāng) AB時(shí)，的長(zhǎng)最小，即=CH=4．易得四邊形BPQH為矩形，所以QH=BP=AP．所以．（若學(xué)生有能力從梯形中位線角度考慮，若正確即可評(píng)分．但講評(píng)時(shí)不作要求）（2）PQ的最小值為．．考點(diǎn)：1．直角三角形的性質(zhì)；2．全等三角形的判定與性質(zhì)；3．平行四邊形的性質(zhì)；4矩形的判定與性質(zhì)．