【正文】 BCD．∴AD=BD=AB，∵沿CD折疊A和A′重合，∴AD=A′D=AB=4=2，∵△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的，∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，∴DO=OA′，BO=CO，∴四邊形A′BDC是平行四邊形，∴A′C=BD=2，過C作CQ⊥A′D于Q，∵A′C=2，∠DA′C=∠BAC=30176。，∴CQ=A′C=1，∴S△ABC=2S△ADC=2S△A′DC=2A′DCQ=221=2；即△ABC的面積是2或2．考點：四邊形綜合題．13．點P是矩形ABCD對角線AC所在直線上的一個動點（點P不與點A，C重合），分別過點A，C向直線BP作垂線，垂足分別為點E，F，點O為AC的中點．（1）如圖1，當點P與點O重合時，請你判斷OE與OF的數量關系；（2）當點P運動到如圖2所示位置時，請你在圖2中補全圖形并通過證明判斷（1）中的結論是否仍然成立；（3）若點P在射線OA上運動，恰好使得∠OEF＝30176。時，猜想此時線段CF，AE，OE之間有怎樣的數量關系，直接寫出結論不必證明．【答案】（1）OE＝OF．理由見解析；（2）補全圖形如圖所示見解析，OE＝OF仍然成立；（3）CF＝OE+AE或CF＝OE﹣AE．【解析】【分析】（1）根據矩形的性質以及垂線，即可判定，得出OE=OF；（2）先延長EO交CF于點G，通過判定，得出OG=OE，再根據中，即可得到OE=OF；（3）根據點P在射線OA上運動，需要分兩種情況進行討論：當點P在線段OA上時，當點P在線段OA延長線上時，分別根據全等三角形的性質以及線段的和差關系進行推導計算即可．【詳解】（1）OE=OF．理由如下：如圖1．∵四邊形ABCD是矩形，∴ OA=OC．∵，∴．∵在和中，∴，∴ OE=OF；（2）補全圖形如圖2，OE=OF仍然成立．證明如下：延長EO交CF于點G．∵，∴ AE//CF，∴．又∵點O為AC的中點，∴ AO=CO．在和中，∴，∴ OG=OE，∴中，∴ OE=OF；（3）CF=OE+AE或CF=OEAE．證明如下：①如圖2，當點P在線段OA上時．∵，∴，由（2）可得：OF=OG，∴是等邊三角形，∴ FG=OF=OE，由（2）可得：，∴ CG=AE．又∵ CF=GF+CG，∴ CF=OE+AE；②如圖3，當點P在線段OA延長線上時．∵，∴，同理可得：是等邊三角形，∴ FG=OF=OE，同理可得：，∴ CG=AE．又∵ CF=GFCG，∴ CF=OEAE．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質、全等三角形的性質和判定以及等邊三角形的性質和判定，解決問題的關鍵是構建全等三角形和證明三角形全等，利用矩形的對角線互相平分得全等的邊相等的條件，根據線段的和差關系使問題得以解決．14．如圖1，矩形ABCD中，AB=8，AD=6；點E是對角線BD上一動點，連接CE，作EF⊥CE交AB邊于點F，以CE和EF為鄰邊作矩形CEFG，作其對角線相交于點H．（1）①如圖2，當點F與點B重合時，CE=　　，CG=　??；②如圖3，當點E是BD中點時，CE=　　，CG=　??； （2）在圖1，連接BG，當矩形CEFG隨著點E的運動而變化時，猜想△EBG的形狀？并加以證明； （3）在圖1，的值是否會發(fā)生改變？若不變，求出它的值；若改變，說明理由； （4）在圖1，設DE的長為x，矩形CEFG的面積為S，試求S關于x的函數關系式，并直接寫出x的取值范圍．【答案】（1）， ，5， ；（2）△EBG是直角三角形，理由詳見解析；（3） ；（4）S=x2﹣x+48（0≤x≤）．【解析】【分析】（1）①利用面積法求出CE，再利用勾股定理求出EF即可；②利用直角三角形斜邊中線定理求出CE，再利用相似三角形的性質求出EF即可；（2）根據直角三角形的判定方法：如果一個三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，則這個三角形是直角三角形即可判斷；（3）只要證明△DCE∽△BCG，即可解決問題；（4）利用相似多邊形的性質構建函數關系式即可；【詳解】（1）①如圖2中，在Rt△BAD中，BD==10，∵S△BCD=?CD?BC=?BD?CE，∴CE=．CG=BE=．②如圖3中，過點E作MN⊥AM交AB于N，交CD于M．∵DE=BE，∴CE=BD=5，∵△CME∽△ENF，∴，∴CG=EF=，（2）結論：△EBG是直角三角形．理由：如圖1中，連接BH．在Rt△BCF中，∵FH=CH，∴BH=FH=CH，∵四邊形EFGC是矩形，∴EH=HG=HF=HC，∴BH=EH=HG，∴△EBG是直角三角形．（3）F如圖1中，∵HE=HC=HG=HB=HF，∴C、E、F、B、G五點共圓，∵EF=CG，∴∠CBG=∠EBF，∵CD∥AB，∴∠EBF=∠CDE，∴∠CBG=∠CDE，∵∠DCB=∠ECG=90176。，∴∠DCE=∠BCG，∴△DCE∽△BCG，∴．（4）由（3）可知：，∴矩形CEFG∽矩形ABCD，∴，∵CE2=（x）2+）2，S矩形ABCD=48，∴S矩形CEFG= [（x）2+（）2].∴矩形CEFG的面積S=x2x+48（0≤x≤）．【點睛】本題考查相似三角形綜合題、矩形的性質、相似三角形的判定和性質、勾股定理、直角三角形的判定和性質、相似多邊形的性質和判定等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會添加常用輔助線，構造相似三角形或直角三角形解決問題，屬于中考壓軸題．15．如圖①，在△ABC中，AB=7，tanA=，∠B=45176。．點P從點A出發(fā)，沿AB方向以每秒1個單位長度的速度向終點B運動（不與點A、B重合），過點P作PQ⊥AB．交折線ACCB于點Q，以PQ為邊向右作正方形PQMN，設點P的運動時間為t（秒），正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形的面積為S（平方單位）．（1）直接寫出正方形PQMN的邊PQ的長（用含t的代數式表示）．（2）當點M落在邊BC上時，求t的值．（3）求S與t之間的函數關系式．（4）如圖②，點P運動的同時，點H從點B出發(fā)，沿BAB的方向做一次往返運動，在BA上的速度為每秒2個單位長度，在AB上的速度為每秒4個單位長度，當點H停止運動時，點P也隨之停止，連結MH．設MH將正方形PQMN分成的兩部分圖形面積分別為SS2（平方單位）（0＜S1＜S2），直接寫出當S2≥3S1時t的取值范圍．【答案】(1) PQ=7t．(2) t=．(3) 當0＜t≤時，S=．當＜t≤4，．當4＜t＜7時，．（4）或或．【解析】試題分析：（1）分兩種情況討論：當點Q在線段AC上時，當點Q在線段BC上時．（2）根據AP+PN+NB=AB，列出關于t的方程即可解答；（3）當0＜t≤時，當＜t≤4，當4＜t＜7時；（4）或或．試題解析：（1）當點Q在線段AC上時，PQ=tanAAP=t．當點Q在線段BC上時，PQ=7t．（2）當點M落在邊BC上時，如圖③，由題意得：t+t+t=7，解得：t=．∴當點M落在邊BC上時，求t的值為．（3）當0＜t≤時，如圖④，S=．當＜t≤4，如圖⑤，．當4＜t＜7時，如圖⑥，．（4）或或．．考點：四邊形綜合題.