20xx年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析蘇教版14-資料下載頁
2025-01-25 05:28本頁面
【正文】 35分) 如圖，設(shè)三角形的外接圓O的半徑為R,內(nèi)心為I，∠B=60176。,∠A∠C,∠A的外角平分線交圓O于E．證明:(1) IO=AE； (2) 2RIO+IA+IC(1+)R．證明：∵∠B=60176。，∴∠AOC=∠AIC=120176。．∴A，O，I，C四點(diǎn)共圓．圓心為弧AC的中點(diǎn)F，半徑為R．∴O為⊙F的弧AC中點(diǎn)，設(shè)OF延長(zhǎng)線交⊙F于H，AI延長(zhǎng)線交弧BC于D．由∠EAD=90176。（內(nèi)外角平分線）知DE為⊙O的直徑．∠OAD=∠ODA．但∠OAI=∠OHI，故∠OHI=∠ADE，于是RtΔDAE≌RtΔHIO∴AE=IO．由ΔACH為正三角形，易證IC+IA=IH．由OH=2R．∴IO+IA+IC=IO+IHOH=2R．設(shè)∠OHI=α，則0α30176。．∴IO+IA+IC=IO+IH=2R(sinα+cosα)=2Rsin(α+45176。)又α+45176。75176。，故IO+IA+IC2 R(+)/4=R(1+) 四、 (本題滿分35分) 給定平面上的點(diǎn)集P={P1，P2，…，P1994}, P中任三點(diǎn)均不共線,將P中的所有的點(diǎn)任意分成83組，使得每組至少有3個(gè)點(diǎn)，且每點(diǎn)恰好屬于一組，然后將在同一組的任兩點(diǎn)用一條線段相連,不在同一組的兩點(diǎn)不連線段,這樣得到一個(gè)圖案G，不同的分組方式得到不同的圖案，將圖案G中所含的以P中的點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形個(gè)數(shù)記為m(G)． (1)求m(G)的最小值m0． (2)設(shè)G*是使m(G*)=m0的一個(gè)圖案，若G*中的線段(指以P的點(diǎn)為端點(diǎn)的線段)用4種顏色染色,每條線段恰好染一種顏色．證明存在一個(gè)染色方案,使G*染色后不含以P的點(diǎn)為頂點(diǎn)的三邊顏色相同的三角形．解：設(shè)G中分成的83個(gè)子集的元素個(gè)數(shù)分別為ni(1≤i≤83)，ni=1994．且3≤n1≤n2≤…≤n83．則m(G)= C．即求此式的最小值．設(shè)nk+1nk+1．即nk+1－1≥nk+1．則C+ C－( C+ C)= C－C0．這就是說，當(dāng)nk+1與nk的差大于1時(shí)，可用nk+1－1及nk+1代替nk+1及nk，而其余的數(shù)不變．此時(shí)，m(G)的值變?。谑强芍挥挟?dāng)各ni的值相差不超過1時(shí)，m(G)才能取得最小值．1994=8324+2．故當(dāng)81組中有24個(gè)點(diǎn)，2組中有25個(gè)點(diǎn)時(shí)，m(G)達(dá)到最小值．m0=81C+2C=812024+22300=168544．⑵ 取5個(gè)點(diǎn)為一小組，按圖1染成a、b二色．這樣的五個(gè)小組，如圖2，每個(gè)小圓表示一個(gè)五點(diǎn)小組．同組間染色如圖1，不同組的點(diǎn)間的連線按圖2染成c、d兩色．這25個(gè)點(diǎn)為一組，共得83組．染色法相同．其中81組去掉1個(gè)點(diǎn)及與此點(diǎn)相連的所有線．即得一種滿足要求的染色
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