【正文】 83。rV（PD）/PQ+DC2/Q=22927（元）三．允許缺貨的EOQ模型前面介紹的存貯模型是以假定不允許缺貨為前提的，但對(duì)實(shí)際的存貯系統(tǒng)來說，由于受到各種客觀條件的限制，完全不缺貨幾乎是不可能的；另一方面，為保證不缺貨，必然要保有過大的存貯量方能滿足需要，從而增大了存貯費(fèi)開支。而適當(dāng)?shù)娜必?，雖然要支付缺貨損失費(fèi)，但可以減少存貯量，也可以延長(zhǎng)訂貨周期。所以綜合考慮存貯系統(tǒng)的總費(fèi)用，適當(dāng)采取缺貨策略未必是失策的。由于允許缺貨，不僅要確定經(jīng)濟(jì)訂貨批量Q*，還要確定經(jīng)濟(jì)缺貨量Qs*。但是發(fā)生缺貨后的情況又可分為兩種，一種是，缺貨后可以延期付貨，另一種是發(fā)生缺貨后損失無法彌補(bǔ)，損失顧客。由于第二種情況是企業(yè)所不希望出現(xiàn)的，不該發(fā)生的，因此在下面的討論中，我們只介紹兩種允許延期付貨的EOQ模型。（一）整批瞬時(shí)進(jìn)貨而允許延期付貨1．模型建設(shè)在這種情況下，雖然在一段時(shí)間內(nèi)發(fā)生缺貨，但下批訂貨到達(dá)后立即不足缺貨。D、Q、T、CC2含義同前；整批瞬時(shí)到貨，以t1表示正常供貨時(shí)間，在t1時(shí)間內(nèi)的需求全由庫存現(xiàn)貨供應(yīng)；允許缺貨，且缺貨部分用下批到貨一次補(bǔ)足，以ts表示缺貨時(shí)間；以Qs表示缺貨數(shù)量；以C3表示缺貨單位時(shí)間、單位數(shù)量支付的缺貨損失費(fèi)。2．建立模型存貯狀態(tài)圖如圖66所示。由圖可以看出，由于缺貨后延期交貨，所以最高存貯量不是Q，而是s，利用三角形相似關(guān)系可以得到：tsT=QsQ，則ts=QsQTsQ=TtsT一個(gè)存貯周期內(nèi)存貯費(fèi)用為C1（s）（Tts）=1/2C1(s)2/QT訂貨費(fèi)為C2缺貨費(fèi)為1/2C3Qsts所以一個(gè)存貯周期發(fā)生的費(fèi)用總額為以上存貯費(fèi)、訂貨費(fèi)及缺貨費(fèi)之和。而單位時(shí)間總費(fèi)用為CZ=1/2C1(s)2/Q+C2/T+1/2C3Qsts/T將T=Q/D及ts/T=Qs/Q代入上式，得到CZ=1/2C1(s)2/Q+C2D/Q+1/2C3Qs2/Q可見，CZ是一個(gè)關(guān)于Q、Qs的二元函數(shù)，要使CZ取極小值，需要求CZ對(duì)Q、Qs的偏導(dǎo)數(shù)并令其等于零即可得經(jīng)濟(jì)訂貨批量和經(jīng)濟(jì)缺貨量為Q*=2DC2/C1(C1+C3)/C3（）Qs*=2DC1C2/C3(C1+C3)（）用二階偏導(dǎo)數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)可知，所求Q*，Qs*使取得極小值。相應(yīng)，得到經(jīng)濟(jì)訂貨周期為T*=Q*/D=2C2DC1(C1+C3)C3（）單位時(shí)間的最小存貯費(fèi)用為CZ*=2DC1C2C3/(C1+C3)（）(二)分批均勻進(jìn)貨，延期交貨該模型又稱邊生產(chǎn)，邊銷售允許缺貨模型。1．模型假設(shè)D、CCT、Q、tp、Qs、P含義同前，分批均勻進(jìn)貨；C3表示每缺貨單位數(shù)量，單位時(shí)間需支付的缺貨損失費(fèi)；以Q0表示在進(jìn)貨時(shí)間tp內(nèi)積累的最高庫存以及補(bǔ)充的下一周期缺貨數(shù)量之和。2．建立模型T為一個(gè)訂貨周期，在tp時(shí)間內(nèi)以P的速度進(jìn)貨，同時(shí)以D的速度供應(yīng)，消耗庫存，經(jīng)過tp時(shí)間，共進(jìn)貨Ptp共供應(yīng)（消耗）補(bǔ)充上一周期的缺貨其余存貯量為最高存貯量，即PtpDtpQs=Q0 Qs一個(gè)訂貨周期的的訂貨費(fèi)為C2一個(gè)訂貨周期的缺貨費(fèi)為1/2C3Qsts所以，一個(gè)訂貨周期的存貯總費(fèi)用為1/2C1(Q0Qs)(Tts)+C2+1/2C3Qsts單位時(shí)間的存貯總費(fèi)用為CZ=C1/2(Q0Qs)(Tts)/T+C2/T+C3/2Qsts/T=C1/2(Q0Qs)(1ts/T)+C2/T+C3/2Qsts/T （）由三角形相似關(guān)系有ts/T=Qs/Q0QO/Q=(PD)/P從而得到ts/T=PQs/(PD)Q而Q=DT即T=Q/D，代入（）式，經(jīng)整理有CZ=C1(PD)/2PQ+C2D/Q+(C1+C3)P/2(PD)QQs2C1Q仿前令CZ對(duì)Q,Qs的二階偏導(dǎo)數(shù)等于零,可得到經(jīng)濟(jì)訂貨批量Q*=2DC2/C1P/(PD)(C1+C3)/C3（）經(jīng)濟(jì)缺貨量Qs*=2DC2/C3(PD)/PC1/(C1+C3)（）經(jīng)濟(jì)訂貨周期T*=Q*/D=2C2/DC1P(PD)(C1+C3)/C3（） 最低存貯總費(fèi)用CZ*=2DC1C2(PD)/PC3/(C1+C3) （）由以上幾個(gè)公式可以看出，分批均勻進(jìn)貨的EOQ模型是將本節(jié)前幾個(gè)模型的條件綜合在一起，是EOQ模型的一般形式。前面幾個(gè)存貯模型都是這一模型的特例。當(dāng)P很大，C3亦很大時(shí)，即為整批間隔瞬時(shí)進(jìn)貨，不允許缺貨模型；當(dāng)P很大而C3有限時(shí)，即為整批間隔瞬時(shí)進(jìn)貨，允許缺貨模型，當(dāng)P有限而C3很大時(shí)，即為分批均勻進(jìn)貨，不允許缺貨模型。物資存貯中通常還會(huì)遇到其他一些附加條件，如物資單價(jià)按訂貨批量不同有一定的折扣；所存貯物資占用流動(dòng)資金有一定數(shù)額限制；倉庫庫容有一定限制；或是多種物資同時(shí)訂購(gòu)等。這些模型的表現(xiàn)形式更為復(fù)雜一些，但在具體分析時(shí)都是本著綜合平衡各種費(fèi)用和成本，使總的存貯費(fèi)用最低。這里不作詳細(xì)介紹。四、隨機(jī)型控制模型 前面的庫存模型都建立在兩個(gè)假定條件下，一是假定需求量保持不變，均勻出庫；二是假定訂貨后按時(shí)交貨。但是由于各種因素的影響，往往使訂貨不能按時(shí)送達(dá)，發(fā)生隨機(jī)性的延遲拖后，從而發(fā)生缺貨現(xiàn)象。為了保證倉庫的庫存量基本按規(guī)定日期得到補(bǔ)充，需要把訂貨點(diǎn)提前，這就是倉庫管理中訂貨點(diǎn)的提前問題；；也可能由于生產(chǎn)系統(tǒng)的生產(chǎn)不均衡，需求量突然增加，使存貨提前用完，出現(xiàn)缺貨現(xiàn)象。為了消除或彌補(bǔ)這種隨機(jī)波動(dòng)的影響，需要對(duì)需求量和訂貨點(diǎn)提前期的歷史資料進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，確定一個(gè)安全庫存量。由于供需隨機(jī)波動(dòng)產(chǎn)生的兩個(gè)問題，確定型庫存模型已不能反映這些變化，因此必須建立新的隨機(jī)型庫存模型。（一）、缺貨情況與安全庫存量在定量訂貨方式中，每當(dāng)庫存量降至訂貨點(diǎn)s時(shí)，即按一定批量訂貨補(bǔ)充。如果訂貨后交貨并在交貨期間無過量使用，如圖67中的A，并不動(dòng)用安全庫存量，它是多余的庫存量。如果訂貨后不、按時(shí)交貨，出現(xiàn)延誤時(shí)間，如圖67中的C，將要?jiǎng)觿?dòng)用安全庫存量，以應(yīng)付延誤時(shí)間內(nèi)的用量。如果在訂貨到交貨期間，出現(xiàn)過量使用，庫存量下降速率增加，如圖67中的B，則也要?jiǎng)佑冒踩珟齑媪?，以?yīng)付缺貨情況。前面所討論的平均庫存量沒有考慮安全庫存量。在考慮安全庫存量的情況下，平均庫存量應(yīng)增加安全庫存量，對(duì)于一次到貨的情況，有Q=1/2Q+ss（）對(duì)于分批均勻進(jìn)貨的情況，則有Q=（PD）/2Q/P+ss（）其中，Q表示訂貨批量，P表示每日的進(jìn)貨數(shù)量，D表示每日的需求量，PD。（二）、訂貨點(diǎn)的確定需求量和提前訂貨時(shí)間隨機(jī)波動(dòng)，訂貨點(diǎn)的庫存量就需要根據(jù)歷史的波動(dòng)數(shù)據(jù)求得平均D和平均提前訂貨時(shí)間t，或者根據(jù)最大提前時(shí)間來計(jì)算。為了抵消隨機(jī)波動(dòng)的影響，此時(shí)就要增加安全庫存量ss。計(jì)算方法是：訂貨點(diǎn)庫存量=日（月）平均需要量平均提前訂貨時(shí)間+安全庫存量即Qk=Dt+ss或訂貨點(diǎn)庫存量=平均需要量最大提前期+安全庫存量即Qk=Dt（max）+ss（三）、安全庫存量的確定安全庫存量是指為防止因訂貨期間需求兩量增長(zhǎng)和到貨延誤所引起的缺貨而設(shè)置的儲(chǔ)備量。安全庫存量是最低庫存量，在正常情況下一般不動(dòng)，若一經(jīng)動(dòng)用，則應(yīng)在下批訂貨到達(dá)時(shí)立即補(bǔ)齊，安全庫存量又稱為保險(xiǎn)庫存量、固定庫存量。1．根據(jù)需求量和提前訂貨時(shí)間隨機(jī)變化情況確定安全庫存量。安全庫存量一般只是在需求量和提前訂貨時(shí)間有隨機(jī)變化的情況下，才予考慮，并要控制到最低限度。安全系數(shù)法是從保險(xiǎn)儲(chǔ)備對(duì)需求的保證程度，即安全系數(shù)來確定安全庫存量的方法。是在提前訂貨時(shí)間與需求量均服從正態(tài)分布的前提下應(yīng)用的。其計(jì)算公式為：安全庫存量=安全系數(shù)平均提前訂貨時(shí)間需求量變化偏差值即ss=αt（max）σD安全系數(shù)α，決定于生產(chǎn)中允許缺貨的概率。一般α=~。如生產(chǎn)中不允許缺貨（缺貨概率小于3%），α值應(yīng)大，可令α2，如允許缺貨（待料期間可用其他加工零件調(diào)節(jié)，不影響生產(chǎn)任務(wù)的完成），這時(shí)α值應(yīng)小，~2。需求量變化偏差值σD主要取決于數(shù)值差值的大?。害褼=（最大值最小值）1/d2式中：1/d2為系數(shù)，取決于所引用資料來源的數(shù)目n，可查以下需求量偏差系數(shù)表62。需求量偏差數(shù)據(jù)資料來源數(shù)目（月或日）24681012系數(shù)1/d2例3某廠原材料庫，上一年按月實(shí)際需要量如表62所示。最大提前期為2個(gè)月，安全系數(shù)α=，求安全庫存量和訂貨點(diǎn)庫存量。實(shí)際需要量表63月份123456789101112全年總量需要量1621731671801811721701681671741701682052解：月平均需求量D=205212=171（單位）αD=（最大值最小值）1d2表63，n=12時(shí)，1d2=將最大值、最小值代入αD=（181162）=（單位）安全庫存量Qss=dt（max）αD=2=14（單位）訂貨點(diǎn)庫存量Qk=Dt（max）+Qss=1712+14=356（單位）2．根據(jù)預(yù)定服務(wù)水平確定安全庫存量若訂購(gòu)時(shí)間及實(shí)際需求量Di的隨機(jī)波動(dòng)可以確定為某種統(tǒng)計(jì)分布，且需求量的統(tǒng)計(jì)資料比較可靠和完備，則可運(yùn)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的有關(guān)方法，從滿足預(yù)定的某一服務(wù)水平（不缺貨概率）出發(fā)，來確定必要的保險(xiǎn)儲(chǔ)備量。實(shí)踐表明，很多物資訂購(gòu)期間實(shí)際需求量出現(xiàn)的概率是服從正態(tài)分布的。因此，這里將按正態(tài)分布的原理來確定安全庫存量。Qss=ασ式中，σ為訂購(gòu)期間實(shí)際需求量的標(biāo)準(zhǔn)差，它反映實(shí)際值對(duì)其均值的離散程度。σ=∑(DiD)2fi∑fi式中，α在庫存控制中為安全系數(shù)，它可根據(jù)預(yù)定的服務(wù)水平（不缺貨概率），查正態(tài)分布表得出。表63給出了一些常用數(shù)據(jù)。服務(wù)水平，即不缺貨概率=1允許缺貨概率。允許缺貨概率可根據(jù)企業(yè)長(zhǎng)期經(jīng)營(yíng)的經(jīng)驗(yàn)作概略規(guī)定。如服務(wù)水平不低于98%，即表示在100個(gè)訂貨期間內(nèi)，允許缺貨次數(shù)不得多于2次。表64安全系數(shù)表。服務(wù)水平安全系數(shù)fi為需求量Di相映的出現(xiàn)次數(shù)。例4某物資倉庫對(duì)過去50個(gè)實(shí)際需求量Di中進(jìn)行的統(tǒng)計(jì)分析，如表64所示，如要求服務(wù)水平不低于98%，試確定安全庫存量。表65需求量分布表。實(shí)際需求量Di（件）708090100110120130出現(xiàn)次數(shù)fi129251021解：設(shè)原始數(shù)據(jù)基本符合正態(tài)分布1．計(jì)算訂貨期間實(shí)際需求量的標(biāo)準(zhǔn)差σ：σ=（70100）21+（80100）22+…+（130100）211+2+…+1=530050≈%，查正態(tài)分布表（見表6）：α=3．求安全庫存量：ss=≈21由表65可以看出，如安全庫存量21件時(shí)，只有當(dāng)訂貨期間的實(shí)際需求量出現(xiàn)130件時(shí)才會(huì)發(fā)生缺貨，其缺貨概率為1247。50=2%，不缺貨概率為98%。因此安全庫存量為21件時(shí)，就可以滿足服務(wù)水平不低于98%的要求。（四）、隨機(jī)型庫存模型一般形式隨機(jī)型庫存模型就是在確定型庫存模型的基礎(chǔ)上，引入了安全庫存量，簡(jiǎn)單隨機(jī)型庫存模型如下：庫存費(fèi)用=年需求量訂貨批量一次訂貨費(fèi)+（平均庫存量+安全庫存量）庫存物資單價(jià)保管費(fèi)率即C=RQC1+（Q+Qss）Pr或C=RQC1+（Q+σt（max））σDPr或C=RQC1+（Q+ασ）Pr由于安全庫存量為一常數(shù)，故不影響經(jīng)濟(jì)訂貨批量，但庫存量隨時(shí)間的變化有了不同如圖68所示。第 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