【文章內(nèi)容簡介】 解： (A I )＝ ??????????????100153010132001543 ?????????????????? ?? ??100153010132011411)1(②①????????????????????? ?? ????1331320032710011411)3(①③)2(①② ???????????????? ?? ?????1311000327100431101)1(②)2(②③)1(②①??????????????????? ?? ????131100718501011298001)7(③②)11(③① 所以 ?????????????????1317185112981A. 例 解矩陣方程 AX＝ B，其中 ?????????????? 35 13,32 21 BA. 解： [方法 1] (A I )＝ ?????? 1032 0121 ?????? ????? ?? ?? 1210 0121)2(①② ?????? ????? ?? ???1210 2301)1(②2②① 18 所以， ?????? ???? 12 231A 矩陣方程的解為： ?????? ?????????????? ???? ? 11 3135 1312 231 BAX [方法 2] (A B )＝ ?????? 3532 1321 ?????? ????? ?? ?? 1110 1321)2(①② ?????? ???? ?? ???1110 3101)1(②2②① 所以，矩陣方程的解為： ?????? ?? 11 31X. 例 解線性方程組 ?????????????????5114712242432143214321xxxxxxxxxxxx. 解： 增廣矩陣 ??????????????5114711111224121A ?????????????????? ?? ????373503735024121)1(①③)2(①② 19 ?????????????? ?? ????000001001535753545651)(②②③②①5152 方程組的一般解是： ???????????432431575353 565154xxxxxx （ x3， x4是自由未知量） . 例 解下列齊次線性方程組： ????????????????????????0353052110325023421432143214321xxxxxxxxxxxxxxx 解： 系數(shù)矩陣 A＝???????????????????10535211132152131?????????????????????? ?? ?????7314073140731402131)3(①④①③5①②?????????????????? ?? ??????0000000010012114321145)(②②④)1(②③)(②①141143 方程組的一般解是： 20 ????????????4324312114321145xxxxxx （ x3， x4是自由未知量） . 例 解下列線性規(guī)劃模型： ??????????????)321(05042302 a x3221321，jxxxxxxxxSj 解： 引入松弛變量 x4， x5，線性規(guī)劃模型的標(biāo)準(zhǔn)形式為 ??????????????????)54321(05042302 a x53242154321，，jxxxxxxxxxxxxSj 由標(biāo)準(zhǔn)形式，可得線性規(guī)劃模型的矩陣形式 ??????????????5010420300101)2(L ???????????????? ???50104)2(0)2/1(①)2/3(①③ ?????????? ?????? ?????)2/1(②)4/1(②③)4/1(②① 21 前兩行的第 2列構(gòu)成單位矩陣，且對應(yīng)檢驗數(shù)為 0，即 x1， x2為基變量，其它變量為非基變量，對應(yīng)的檢驗數(shù)均非負(fù)，故得： 最優(yōu)解 x1＝ ， x2＝ 25， x3＝ 0， x4＝ 0， x5＝ 0；最優(yōu)值 max S＝ . 即本問題的最優(yōu)解 x1＝ ， x2＝ 25， x3＝ 0；最優(yōu)值 max S＝ . 例 求函數(shù) )1ln( 1)( 2xxf ?? 的定義域 . 解： 要使函數(shù)有意義，必須 ?????????010)1ln(22xx 即 ??? ???? 11 0xx 故定義域為： D＝ (－ 1， 0)∪ (0， 1). 例 已知函數(shù) f (x＋ 1)＝ x2＋ 4x－ 3，求 f (x)， f (0). 解： 方法一 f (x)＝ f ((x－ 1)＋ 1)＝ (x－ 1)2＋ 4(x－ 1)－ 3 ＝ x2－ 2x＋ 1＋ 4x－ 4－ 3＝ x2＋ 2x－6 f (0)＝ 02＋ 20 － 6＝－ 6 方法二 將 x＋ 1 看作一個變量，令 t＝ x＋ 1得 x＝ t－ 1 代入函數(shù)式得： f (t)＝ t2＋ 2t－ 6，即 f (x)＝ x2＋ 2x－6 22 f (0)＝ 02＋ 20 － 6＝－ 6 例 將復(fù)合函數(shù) y＝ ln (x2＋ 1)分解為基本初等函數(shù)或其四則運算 . 解： y＝ ln u， u＝ x2＋ 1 其中 u為中間變量 . 例 已知某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的成本函數(shù) C(q)＝ 500＋ 2q (元 )，其中 q為該產(chǎn)品的產(chǎn)量，如果該產(chǎn)品的售價定為每件 6元，試求： (1) 生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定成本； (2) 利潤函數(shù)； (3) 當(dāng)產(chǎn)量 q 為 250 件時的平均成本 . 解： (1) 固定成本就是當(dāng)產(chǎn)量為零時的總成本，設(shè)為 C0，有 C0＝ C(0)＝ 500 (元 ) (2) 由題意知，收入函數(shù) R(q)＝ 6q，因此，利潤函數(shù) L(q)＝ R(q)－ C(q)＝ 6q－ (500＋ 2q)＝ 4q－ 500 (3) 平均成本函數(shù) 25002500)()( ????? qq qqqCqC 當(dāng)產(chǎn)量 q＝ 250 件時，平均成本 4225 050 0)25 0( ???C （元 /件） 例 求極限 23 (1) 23 1lim 2 21 ?? ?? xx xx (2) xxx 11lim0 ??? (3) xx xx ?????? ???? 1212lim 解： (1) )2()1()1()1(lim23 1lim1221 ??????? ??? xxxxxx xxx 221 1121lim 1 ???????? ? xxx (2) )11()11()11(lim11lim00 ??????????? xxxxxxxx 11 1lim0 ?? ?? ? xx 21?? (3) xxxxxxxx????????????????????? ??????211211lim12 12lim eee)211()211(lim2121??????? xxxxx 例 求導(dǎo)數(shù)或微分 (1) 1|,)12ln ( ???? xyxxxy 求. (2) yxy ??? 求,13 2 . 解： (1) )12ln(23 ?? xxy ])12[ ln ()12ln ()( 2323 ??????? xxxxy )12(12 1)12ln (23 2321 ???????? xxxxx 24 122)12ln (232321???? xxxx 323ln23112 12)112ln (123|23211 ???????????? ?xy (2) 方法一 ：先分解函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，再用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 . 23 1, xuuy ??? 所以 xu uyy ????? = xu xu )1()( 23 ???? = xu 231 32??3 22 )1(32 xx?? 方法二 ：直接運用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)。 ])1[()1( 3123 2 ??????? xxy )1()1(31 2322 ????? ? xx xx 2)1(31 322 ??? ? 3 22 )1(3 2 xx?? 例 求函數(shù) f (x)＝ xln2x的極值 . 解： 函數(shù) f (x) 的定義 域是 (0，＋∞ )，且 )(xf? ＝ (ln x＋ 2)ln x 令 0)( ?? xf ，得 21 e??x ， x2＝ 1 該函數(shù)沒有不可導(dǎo)點． 兩個駐點將函數(shù)定義域分成三個子區(qū)間： )1()1e()e0( 22 ???? ,, ． 25 )(xf? 在子區(qū)間內(nèi)的符號變化及極值點情況如下表 : 由 上表知， 21 e??x 是 f (x) 的極大值點， x2＝ 1 是 f (x) 的極小值點．函數(shù)的極 大值是 22 e4)e( ?? ?f ，極小值是 f (1)＝ 0． 例 某工廠生產(chǎn)某種商品，年產(chǎn)量為 q（單位：百臺），成本 C（單位：萬元），其中固定成本為 2萬元，而每生產(chǎn) 1百臺，成本增加 1萬元．市場上每年可以銷售此種商品 4 百臺，其銷售收入 R是 q的函數(shù) R(q)＝ 4q－ ， q?[0， 4] 問年產(chǎn)量為多少時，其利潤最大？ 解： 因為固定成本為 2 萬元，生產(chǎn) q單位商品的變動成本為 1 q 萬元． 所 以成本函數(shù) C(q)＝ q + 2 由此可得利潤函數(shù) L(q)＝ R(q)－ C(q)＝ 3q－ － 2 又因為 )(qL? ＝ 3－ q 令 )(qL? ＝ 0，得駐點 q＝ 3. 這里， q＝ 3是利潤函數(shù) L(q) 在定義域內(nèi)的唯一駐點． 所以， q＝ 3是利潤函數(shù) L(q) 的極大值點，而且也是 L(q) 的最大值點．即當(dāng) 年產(chǎn)量為 3百臺時，其利潤最大． 26 例 設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品 q 單位的成本函數(shù)為 C(q)＝ 900＋ 20q＋ q2，問 q為多少 時，能使平均成本最??？最小的平均成本為多少？ 解： 平均成本函數(shù) qqqqCqC ???? 209 0 0)()(