【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 （四川樂山） 在平面直角坐標(biāo)系中 △ ABC 的邊 AB 在 x 軸上，且 OAOB,以 AB 為直徑的圓過(guò)點(diǎn) C，若 C 的坐標(biāo)為 (0,2),AB=5, A,B 兩點(diǎn)的橫坐標(biāo) XA,XB 是關(guān)于 X 的方程2 ( 2 ) 1 0x m x n? ? ? ? ?的兩根 : (1)求 m， n 的值 。 (2)若 ∠ ACB 的平分線所在的直線 l 交 x 軸于點(diǎn) D，試求直線 l 對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的解析式 。 (3)過(guò)點(diǎn) D 任作一直線 `l 分別交射線 CA， CB（點(diǎn) C 除外）于點(diǎn) M， N，則 11CM CN?的值是否為定值，若是，求出定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由 . 圖 1 x y B A O D P 圖 2 x y B A O A C O B N D M l 13 20xx年全國(guó)各地中考試題壓軸題精選講座四 拋物線與幾何問(wèn)題 【 知識(shí)縱橫】 拋物線的解析式有下列三種形式： 一般式： 2y ax bx c? ? ? (a≠0)； 頂點(diǎn)式： y =a(x— h) 2＋ k； 交點(diǎn)式： y=a(x— x 1)(x— x 2 ) ，這里 x x 2 是方程 ax 2 +bx+c=0 的兩個(gè)實(shí)根。 解函數(shù)與幾何的綜合題，善于求點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出函數(shù)解析式是解題的基礎(chǔ)；而充分發(fā)揮形的因素，數(shù)形互動(dòng) ，把證明與計(jì)算相結(jié)合是解題的關(guān)鍵。 【典型例題】 【例 1】 (浙江杭州 ) 在直角坐標(biāo)系 xOy 中，設(shè)點(diǎn) A（ 0， t），點(diǎn) Q（ t， b）。平移二 次函數(shù) 2txy ?? 的圖象，得到的拋物線 F滿足兩個(gè)條件：① 頂點(diǎn)為 Q ； ② 與 x 軸相交于 B ， C 兩點(diǎn)（ ∣ OB∣ ∣ OC∣ ），連結(jié) A， B。 （ 1）是否存在這樣的拋物線 F， OCOBOA ??2 ？請(qǐng)你作出判斷，并說(shuō)明理由； （ 2）如果 AQ∥ BC，且 tan∠ ABO=23，求拋物線 F 對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的解析式。 【 思路點(diǎn)撥 】 （ 1）由關(guān)系式 OCOBOA ??2 來(lái)構(gòu)建關(guān)于 t、 b 的方程； (2)討論 t 的取值范圍，來(lái)求拋物線 F 對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的解 析式。 【例 2】 (江蘇常州 )如圖 ,拋物線 2 4y x x??與 x 軸分別相交于點(diǎn) B、 O,它的頂點(diǎn)為 A,連接AB,把 AB 所的直線沿 y 軸向上平移 ,使它經(jīng)過(guò)原點(diǎn) O,得到直線 l,設(shè) P是直線 l上一動(dòng)點(diǎn) . （ 1）求點(diǎn) A 的坐標(biāo) 。 （ 2）以點(diǎn) A、 B、 O、 P 為頂點(diǎn)的四邊形中 ,有菱形、等 腰梯形、直角梯形 ,請(qǐng)分別直接寫出這些特殊四邊形的頂點(diǎn) P的坐標(biāo) 。 （ 3）設(shè)以點(diǎn) A、 B、 O、 P 為頂點(diǎn)的四邊形的面積為 S, 點(diǎn) P的橫坐標(biāo)為 x,當(dāng) 4 6 2 6 8 2S? ? ? ?時(shí) ,求 x的取值 范圍 . 【 思路點(diǎn)撥 】 （ 3）可求得直線 l 的函數(shù)關(guān)系式是 y=2x， 所以應(yīng)討論①當(dāng)點(diǎn) P 在第二象限時(shí)， x0、 ②當(dāng)點(diǎn) P 在第四象 限是， x0 這二種情況。 【例 3】 （浙江麗水） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A 坐標(biāo)為（ 2， 4），直線 2?x 與 x 軸相交于點(diǎn) B ，連結(jié) OA ，拋物線 2xy? 從點(diǎn) O 沿 OA 方向平移，與直線 2?x 交于點(diǎn) P ，頂點(diǎn) M 到 A 點(diǎn)時(shí)停止移動(dòng)． （ 1）求線段 OA 所在直線的函數(shù)解析式； （ 2）設(shè)拋物線頂點(diǎn) M 的橫坐標(biāo)為 m , y B O A P M x 2x? 14 ①用 m 的代數(shù)式表示點(diǎn) P 的坐標(biāo) ； ②當(dāng) m 為何值時(shí)，線段 PB 最短 ； （ 3）當(dāng) 線段 PB 最短時(shí)，相應(yīng)的 拋物線 上是否存在點(diǎn) Q ，使 △ QMA 的面積與△ PMA 的面積相等，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn) Q 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 ． 【 思路點(diǎn)撥 】 （ 2）構(gòu)建關(guān)于 PB 的二次函數(shù)，求此函數(shù)的最小值； （ 3）分當(dāng)點(diǎn) Q 落在直線OA的下方時(shí)、當(dāng)點(diǎn) Q 落在直線 OA的上方時(shí)討論。 【例 4】 （廣東省 深圳市 ） 如 圖 1，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù) )0(2 ???? acbxaxy的圖象的頂點(diǎn)為 D 點(diǎn)，與 y 軸交于 C 點(diǎn)，與 x 軸交于 A、 B 兩點(diǎn) ， A 點(diǎn)在 原點(diǎn) 的左側(cè)， B 點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 3， 0） ， OB＝ OC ， tan∠ ACO＝31． （ 1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式 ． （ 2）經(jīng) 過(guò) C、 D 兩點(diǎn) 的直線，與 x 軸交于點(diǎn) E，在 該 拋物線上是否存在這樣的點(diǎn) F， 使以 點(diǎn) A、 C、 E、 F 為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形 ？ 若存在，請(qǐng)求出點(diǎn) F 的坐 標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 ． （ 3）若平行 于 x 軸的直線與 該 拋物線交于 M、 N 兩點(diǎn)，且以 MN 為直徑的圓與 x 軸相切，求 該圓半徑的長(zhǎng)度 ． （ 4）如 圖 2，若點(diǎn) G（ 2， y）是該拋物線上一點(diǎn)， 點(diǎn) P 是直線 AG 下方的 拋物 線上 一動(dòng)點(diǎn) ， 當(dāng)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△ APG 的面積最大 ？求出此時(shí) P 點(diǎn)的坐標(biāo)和△ APG 的最大面積 . 【 思路點(diǎn)撥 】 （ 2） 可先 以 A、 C、 E、 F 為頂點(diǎn)的四邊 形為平行四邊形時(shí)，求 F 點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入拋物線的表達(dá)式檢驗(yàn)。（ 3）討論①當(dāng)直線 MN 在 x 軸上方時(shí)、②當(dāng)直線 MN 在 x 軸下方時(shí)二種情況。 （ 4）構(gòu)建 S 關(guān)于 x 的二次函數(shù)，求它的最大值。 【例 5】 （山東濟(jì)南） 已知：拋物線 2y ax bx c? ? ? (a≠0)，頂點(diǎn) C (1， 3? )，與 x 軸交于 A、B 兩點(diǎn)， ( 10)A?， ． （ 1）求這條拋物線的解析式． （ 2） 如圖，以 AB 為直徑作圓，與拋物線交于點(diǎn) D，與拋物線對(duì)稱軸交于 點(diǎn) E，依次連接 A、 D、B、 E，點(diǎn) P 為線段 AB 上一個(gè)動(dòng)點(diǎn) (P與 A、 B兩點(diǎn)不重合 )，過(guò)點(diǎn) P作 PM⊥ AE 于 M， PN⊥ DB 于 N，請(qǐng)判斷 PM PNBE AD?是否為定值 ? 若是，請(qǐng)求出此定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由． （ 3）在 (2)的條件下，若點(diǎn) S 是線段 EP 上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) S 作 FG⊥ EP ， FG 分別與 邊 ． AE、 BEM E y 圖 9yxOEDCBAGA BCDO xy圖 10 15 相交于點(diǎn) F、 G(F 與 A、 E 不重合， G 與 E、 B 不重合 )，請(qǐng)判斷 PA EFPB EG?是否成 立．若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【 思路點(diǎn)撥 】 （ 2）證△ APM∽△ ABE， PM APBE AB? 同理 : PN PBAD AB? （ 3） 證 PH=BH 且△ APM∽△ PBH 再證△ MEP∽△ EGF 可得。 【 學(xué)力訓(xùn)練】 （廣東梅州） 如圖所示，在梯形 ABCD 中，已知 AB∥ CD， AD⊥ DB， AD=DC=CB， AB=4．以AB 所在直線為 x 軸，過(guò) D 且垂直于 AB 的直線為 y軸建立平面直角坐標(biāo)系． （ 1）求 ∠ DAB 的度數(shù)及 A、 D、 C 三點(diǎn)的坐標(biāo)； （ 2）求過(guò) A、 D、 C 三點(diǎn)的拋物線的解析式及其對(duì)稱軸 L． （ 3）若 P 是拋物線的對(duì)稱軸 L 上的點(diǎn)，那么使? PDB 為等腰三角形的點(diǎn) P 有幾個(gè) ?（不必求點(diǎn) P的坐標(biāo)，只需說(shuō)明理由） （ 廣東肇慶） 已知點(diǎn) A（ a， 1y ）、 B（ 2a， y2 ）、C（ 3a， y3 ）都在拋物線 xxy 125 2 ?? 上 . （ 1）求拋物線與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)； （ 2）當(dāng) a=1 時(shí)，求 △ ABC 的面積； （ 3）是否存在含有 1y 、 y2 、 y3 ，且與 a 無(wú)關(guān)的等式？如果存在，試給出一個(gè)，并加以證明；如果不存在，說(shuō)明理由 . （青海西寧） 如圖，已知半徑為 1 的 1O 與 x 軸交于 AB， 兩點(diǎn)， OM 為 1O 的切線，切點(diǎn)為 M ，圓心 1O 的坐標(biāo)為 (20)， ，二次函數(shù) 2y x bx c?? ? ? 的圖象經(jīng)過(guò) AB， 兩點(diǎn)． （ 1）求二次函數(shù)的解析式； （ 2）求切線 OM 的函數(shù)解析式； （ 3）線段 OM 上是否存在一點(diǎn) P ，使得以 P O A， ， 為頂點(diǎn)的三角形與 1OOM△ 相似．若存在，請(qǐng)求出所有符 合條件的點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． （遼寧 12 市） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線 33yx?? ? 與 x 軸交于點(diǎn) A ，與 y 軸交于點(diǎn) C ，拋 物線 2 23 ( 0 )3y a x x c a? ? ? ?經(jīng)過(guò) A B C， ， 三點(diǎn)． （ 1）求過(guò) A B C， ， 三點(diǎn)拋物線的解析式并求出頂點(diǎn) F 的坐標(biāo)； （ 2）在拋物線上是否存在點(diǎn) P ，使 ABP△ 為直角三角形， y x O A B M O1 A O x y B F C 16 若存在，直接寫出 P 點(diǎn)坐 標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由； （ 3）試探究在直線 AC 上是否存在一點(diǎn) M ，使得 MBF△ 的周長(zhǎng)最小，若存在，求出 M 點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． （四川資陽(yáng)） 如圖，已知點(diǎn) A 的坐標(biāo)是（－ 1， 0），點(diǎn) B 的坐標(biāo)是（ 9， 0），以 AB 為直徑作 ⊙ O′，交 y 軸的負(fù)半軸于點(diǎn) C，連接 AC、 BC，過(guò) A、 B、 C 三點(diǎn)作拋物線 ． （ 1） 求 拋物線 的解析式； （ 2） 點(diǎn) E 是 AC 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)， ∠ BCE 的平分線 CD 交 ⊙ O′ 于點(diǎn)D，連結(jié) BD，求直線 BD 的解析式 ； （ 3） 在 （ 2） 的條件下， 拋物線上是否存在點(diǎn) P，使得 ∠ PDB ＝∠ CBD?如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理 由 ． （遼寧沈陽(yáng)） 如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABOC 的邊 BO 在 x 軸的 負(fù)半軸上，邊 OC 在 y 軸的正半軸上，且 1AB? ， 3OB? ， 矩形ABOC 繞點(diǎn) O 按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 60 后得到矩形 EFOD ．點(diǎn) A 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn) E ，點(diǎn) B 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn) F ，點(diǎn) C 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn) D ，拋物線 2y ax bx c? ? ? 過(guò)點(diǎn) A E D， ， ． （ 1）判斷點(diǎn) E 是否在 y 軸上，并說(shuō)明理 由； （ 2）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式； （ 3 ）在 x 軸的上方是否存在點(diǎn) P ，點(diǎn) Q ，使以點(diǎn)OBPQ， ， ， 為頂點(diǎn)的平行四邊形的面積是矩形 ABOC 面積的 2 倍，且點(diǎn) P 在拋物線上，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn) P ，點(diǎn) Q 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． （蘇州市） 如圖，拋物線 y＝ a(x＋ 1)(x－ 5)與 x 軸的交點(diǎn)為 M、 N．直線 y＝ kx＋ b 與 x 軸交于 P(－ 2， 0)，與 y 軸交于 C．若 A、 B 兩點(diǎn)在直線 y＝ kx＋ b 上，且 AO=BO=2 ， AO⊥ BO． D 為線段 MN 的中點(diǎn)， OH 為 Rt△ OPC 斜邊上的高． (1)OH 的長(zhǎng)度等于 ___________； k＝ ___________， b＝ ____________； (2)是否存在實(shí)數(shù) a，使得拋物線 y＝ a(x＋ 1)(x－ 5)上有一點(diǎn) E，滿足以 D、 N、 E 為頂 點(diǎn)的三角形與 △ AOB 相似 ?若不存在，說(shuō)明理由；若存在，求所有符合條件的拋物線的解析式，同時(shí)探索所求得的拋物線上是否還有符合條件的 E 點(diǎn) (簡(jiǎn)要說(shuō)明理由 )；并進(jìn)一步探索對(duì)符合條件的每一個(gè) E 點(diǎn)，直線 NE 與直線 AB 的交點(diǎn) G 是否總滿足 PB PG＜ 210 ，寫出探索過(guò)程． A H C B y 2 M O D N x P y x O D E C F A B 17 20xx年全國(guó)各地中考 試題壓軸題精選講座五 函數(shù)、方程、不等式問(wèn)題 【 知識(shí)縱橫】 函數(shù)、方程、不等式的結(jié)合，是函數(shù)某一變量值一定或在某一范圍下的方程或不等式，體現(xiàn)了一般到特殊的觀念。也體現(xiàn)了函數(shù)圖像與方程、不等式的內(nèi)在聯(lián)系，例求兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，一般通過(guò)函數(shù)解析式組成的方程組來(lái)解決。又如例 4 復(fù)合了一次函數(shù)、二次函數(shù)，并對(duì)所得的函數(shù)要結(jié)合自變量的取值范圍來(lái)考慮最值，這就需要結(jié)合圖像來(lái)解決。 【典型例題】 【例 1】 （天津市） 已知拋物線 cbxaxy ??? 23 2 ， （ 1）若 1??ba ， 1??c ，求該拋物線與 x 軸公共點(diǎn)的坐標(biāo)； （ 2）若 1??ba ，且