【文章內(nèi)容簡介】 （四川樂山） 在平面直角坐標(biāo)系中 △ ABC 的邊 AB 在 x 軸上，且 OAOB,以 AB 為直徑的圓過點 C，若 C 的坐標(biāo)為 (0,2),AB=5, A,B 兩點的橫坐標(biāo) XA,XB 是關(guān)于 X 的方程2 ( 2 ) 1 0x m x n? ? ? ? ?的兩根 : (1)求 m， n 的值 。 (2)若 ∠ ACB 的平分線所在的直線 l 交 x 軸于點 D，試求直線 l 對應(yīng)的一次函數(shù)的解析式 。 (3)過點 D 任作一直線 `l 分別交射線 CA， CB（點 C 除外）于點 M， N，則 11CM CN?的值是否為定值，若是，求出定值，若不是，請說明理由 . 圖 1 x y B A O D P 圖 2 x y B A O A C O B N D M l 13 20xx年全國各地中考試題壓軸題精選講座四 拋物線與幾何問題 【 知識縱橫】 拋物線的解析式有下列三種形式： 一般式： 2y ax bx c? ? ? (a≠0)； 頂點式： y =a(x— h) 2＋ k； 交點式： y=a(x— x 1)(x— x 2 ) ，這里 x x 2 是方程 ax 2 +bx+c=0 的兩個實根。 解函數(shù)與幾何的綜合題，善于求點的坐標(biāo)，進而求出函數(shù)解析式是解題的基礎(chǔ)；而充分發(fā)揮形的因素，數(shù)形互動 ，把證明與計算相結(jié)合是解題的關(guān)鍵。 【典型例題】 【例 1】 (浙江杭州 ) 在直角坐標(biāo)系 xOy 中，設(shè)點 A（ 0， t），點 Q（ t， b）。平移二 次函數(shù) 2txy ?? 的圖象，得到的拋物線 F滿足兩個條件：① 頂點為 Q ； ② 與 x 軸相交于 B ， C 兩點（ ∣ OB∣ ∣ OC∣ ），連結(jié) A， B。 （ 1）是否存在這樣的拋物線 F， OCOBOA ??2 ？請你作出判斷，并說明理由； （ 2）如果 AQ∥ BC，且 tan∠ ABO=23，求拋物線 F 對應(yīng)的二次函數(shù)的解析式。 【 思路點撥 】 （ 1）由關(guān)系式 OCOBOA ??2 來構(gòu)建關(guān)于 t、 b 的方程； (2)討論 t 的取值范圍，來求拋物線 F 對應(yīng)的二次函數(shù)的解 析式。 【例 2】 (江蘇常州 )如圖 ,拋物線 2 4y x x??與 x 軸分別相交于點 B、 O,它的頂點為 A,連接AB,把 AB 所的直線沿 y 軸向上平移 ,使它經(jīng)過原點 O,得到直線 l,設(shè) P是直線 l上一動點 . （ 1）求點 A 的坐標(biāo) 。 （ 2）以點 A、 B、 O、 P 為頂點的四邊形中 ,有菱形、等 腰梯形、直角梯形 ,請分別直接寫出這些特殊四邊形的頂點 P的坐標(biāo) 。 （ 3）設(shè)以點 A、 B、 O、 P 為頂點的四邊形的面積為 S, 點 P的橫坐標(biāo)為 x,當(dāng) 4 6 2 6 8 2S? ? ? ?時 ,求 x的取值 范圍 . 【 思路點撥 】 （ 3）可求得直線 l 的函數(shù)關(guān)系式是 y=2x， 所以應(yīng)討論①當(dāng)點 P 在第二象限時， x0、 ②當(dāng)點 P 在第四象 限是， x0 這二種情況。 【例 3】 （浙江麗水） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A 坐標(biāo)為（ 2， 4），直線 2?x 與 x 軸相交于點 B ，連結(jié) OA ，拋物線 2xy? 從點 O 沿 OA 方向平移，與直線 2?x 交于點 P ，頂點 M 到 A 點時停止移動． （ 1）求線段 OA 所在直線的函數(shù)解析式； （ 2）設(shè)拋物線頂點 M 的橫坐標(biāo)為 m , y B O A P M x 2x? 14 ①用 m 的代數(shù)式表示點 P 的坐標(biāo) ； ②當(dāng) m 為何值時，線段 PB 最短 ； （ 3）當(dāng) 線段 PB 最短時，相應(yīng)的 拋物線 上是否存在點 Q ，使 △ QMA 的面積與△ PMA 的面積相等，若存在，請求出點 Q 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 ． 【 思路點撥 】 （ 2）構(gòu)建關(guān)于 PB 的二次函數(shù)，求此函數(shù)的最小值； （ 3）分當(dāng)點 Q 落在直線OA的下方時、當(dāng)點 Q 落在直線 OA的上方時討論。 【例 4】 （廣東省 深圳市 ） 如 圖 1，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù) )0(2 ???? acbxaxy的圖象的頂點為 D 點，與 y 軸交于 C 點，與 x 軸交于 A、 B 兩點 ， A 點在 原點 的左側(cè)， B 點的坐標(biāo)為（ 3， 0） ， OB＝ OC ， tan∠ ACO＝31． （ 1）求這個二次函數(shù)的表達式 ． （ 2）經(jīng) 過 C、 D 兩點 的直線，與 x 軸交于點 E，在 該 拋物線上是否存在這樣的點 F， 使以 點 A、 C、 E、 F 為頂點的四邊形為平行四邊形 ？ 若存在，請求出點 F 的坐 標(biāo)；若不存在，請說明理由 ． （ 3）若平行 于 x 軸的直線與 該 拋物線交于 M、 N 兩點，且以 MN 為直徑的圓與 x 軸相切，求 該圓半徑的長度 ． （ 4）如 圖 2，若點 G（ 2， y）是該拋物線上一點， 點 P 是直線 AG 下方的 拋物 線上 一動點 ， 當(dāng)點 P 運動到什么位置時，△ APG 的面積最大 ？求出此時 P 點的坐標(biāo)和△ APG 的最大面積 . 【 思路點撥 】 （ 2） 可先 以 A、 C、 E、 F 為頂點的四邊 形為平行四邊形時，求 F 點的坐標(biāo)，再代入拋物線的表達式檢驗。（ 3）討論①當(dāng)直線 MN 在 x 軸上方時、②當(dāng)直線 MN 在 x 軸下方時二種情況。 （ 4）構(gòu)建 S 關(guān)于 x 的二次函數(shù)，求它的最大值。 【例 5】 （山東濟南） 已知：拋物線 2y ax bx c? ? ? (a≠0)，頂點 C (1， 3? )，與 x 軸交于 A、B 兩點， ( 10)A?， ． （ 1）求這條拋物線的解析式． （ 2） 如圖，以 AB 為直徑作圓，與拋物線交于點 D，與拋物線對稱軸交于 點 E，依次連接 A、 D、B、 E，點 P 為線段 AB 上一個動點 (P與 A、 B兩點不重合 )，過點 P作 PM⊥ AE 于 M， PN⊥ DB 于 N，請判斷 PM PNBE AD?是否為定值 ? 若是，請求出此定值；若不是，請說明理由． （ 3）在 (2)的條件下，若點 S 是線段 EP 上一點，過點 S 作 FG⊥ EP ， FG 分別與 邊 ． AE、 BEM E y 圖 9yxOEDCBAGA BCDO xy圖 10 15 相交于點 F、 G(F 與 A、 E 不重合， G 與 E、 B 不重合 )，請判斷 PA EFPB EG?是否成 立．若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由． 【 思路點撥 】 （ 2）證△ APM∽△ ABE， PM APBE AB? 同理 : PN PBAD AB? （ 3） 證 PH=BH 且△ APM∽△ PBH 再證△ MEP∽△ EGF 可得。 【 學(xué)力訓(xùn)練】 （廣東梅州） 如圖所示，在梯形 ABCD 中，已知 AB∥ CD， AD⊥ DB， AD=DC=CB， AB=4．以AB 所在直線為 x 軸，過 D 且垂直于 AB 的直線為 y軸建立平面直角坐標(biāo)系． （ 1）求 ∠ DAB 的度數(shù)及 A、 D、 C 三點的坐標(biāo)； （ 2）求過 A、 D、 C 三點的拋物線的解析式及其對稱軸 L． （ 3）若 P 是拋物線的對稱軸 L 上的點，那么使? PDB 為等腰三角形的點 P 有幾個 ?（不必求點 P的坐標(biāo)，只需說明理由） （ 廣東肇慶） 已知點 A（ a， 1y ）、 B（ 2a， y2 ）、C（ 3a， y3 ）都在拋物線 xxy 125 2 ?? 上 . （ 1）求拋物線與 x 軸的交點坐標(biāo)； （ 2）當(dāng) a=1 時，求 △ ABC 的面積； （ 3）是否存在含有 1y 、 y2 、 y3 ，且與 a 無關(guān)的等式？如果存在，試給出一個，并加以證明；如果不存在，說明理由 . （青海西寧） 如圖，已知半徑為 1 的 1O 與 x 軸交于 AB， 兩點， OM 為 1O 的切線，切點為 M ，圓心 1O 的坐標(biāo)為 (20)， ，二次函數(shù) 2y x bx c?? ? ? 的圖象經(jīng)過 AB， 兩點． （ 1）求二次函數(shù)的解析式； （ 2）求切線 OM 的函數(shù)解析式； （ 3）線段 OM 上是否存在一點 P ，使得以 P O A， ， 為頂點的三角形與 1OOM△ 相似．若存在，請求出所有符 合條件的點 P 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． （遼寧 12 市） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線 33yx?? ? 與 x 軸交于點 A ，與 y 軸交于點 C ，拋 物線 2 23 ( 0 )3y a x x c a? ? ? ?經(jīng)過 A B C， ， 三點． （ 1）求過 A B C， ， 三點拋物線的解析式并求出頂點 F 的坐標(biāo)； （ 2）在拋物線上是否存在點 P ，使 ABP△ 為直角三角形， y x O A B M O1 A O x y B F C 16 若存在，直接寫出 P 點坐 標(biāo)；若不存在，請說明理由； （ 3）試探究在直線 AC 上是否存在一點 M ，使得 MBF△ 的周長最小，若存在，求出 M 點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． （四川資陽） 如圖，已知點 A 的坐標(biāo)是（－ 1， 0），點 B 的坐標(biāo)是（ 9， 0），以 AB 為直徑作 ⊙ O′，交 y 軸的負半軸于點 C，連接 AC、 BC，過 A、 B、 C 三點作拋物線 ． （ 1） 求 拋物線 的解析式； （ 2） 點 E 是 AC 延長線上一點， ∠ BCE 的平分線 CD 交 ⊙ O′ 于點D，連結(jié) BD，求直線 BD 的解析式 ； （ 3） 在 （ 2） 的條件下， 拋物線上是否存在點 P，使得 ∠ PDB ＝∠ CBD?如果存在，請求出點 P 的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理 由 ． （遼寧沈陽） 如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABOC 的邊 BO 在 x 軸的 負半軸上，邊 OC 在 y 軸的正半軸上，且 1AB? ， 3OB? ， 矩形ABOC 繞點 O 按順時針方向旋轉(zhuǎn) 60 后得到矩形 EFOD ．點 A 的對應(yīng)點為點 E ，點 B 的對應(yīng)點為點 F ，點 C 的對應(yīng)點為點 D ，拋物線 2y ax bx c? ? ? 過點 A E D， ， ． （ 1）判斷點 E 是否在 y 軸上，并說明理 由； （ 2）求拋物線的函數(shù)表達式； （ 3 ）在 x 軸的上方是否存在點 P ，點 Q ，使以點OBPQ， ， ， 為頂點的平行四邊形的面積是矩形 ABOC 面積的 2 倍，且點 P 在拋物線上，若存在，請求出點 P ，點 Q 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． （蘇州市） 如圖，拋物線 y＝ a(x＋ 1)(x－ 5)與 x 軸的交點為 M、 N．直線 y＝ kx＋ b 與 x 軸交于 P(－ 2， 0)，與 y 軸交于 C．若 A、 B 兩點在直線 y＝ kx＋ b 上，且 AO=BO=2 ， AO⊥ BO． D 為線段 MN 的中點， OH 為 Rt△ OPC 斜邊上的高． (1)OH 的長度等于 ___________； k＝ ___________， b＝ ____________； (2)是否存在實數(shù) a，使得拋物線 y＝ a(x＋ 1)(x－ 5)上有一點 E，滿足以 D、 N、 E 為頂 點的三角形與 △ AOB 相似 ?若不存在，說明理由；若存在，求所有符合條件的拋物線的解析式，同時探索所求得的拋物線上是否還有符合條件的 E 點 (簡要說明理由 )；并進一步探索對符合條件的每一個 E 點，直線 NE 與直線 AB 的交點 G 是否總滿足 PB PG＜ 210 ，寫出探索過程． A H C B y 2 M O D N x P y x O D E C F A B 17 20xx年全國各地中考 試題壓軸題精選講座五 函數(shù)、方程、不等式問題 【 知識縱橫】 函數(shù)、方程、不等式的結(jié)合，是函數(shù)某一變量值一定或在某一范圍下的方程或不等式，體現(xiàn)了一般到特殊的觀念。也體現(xiàn)了函數(shù)圖像與方程、不等式的內(nèi)在聯(lián)系，例求兩個函數(shù)的交點坐標(biāo)，一般通過函數(shù)解析式組成的方程組來解決。又如例 4 復(fù)合了一次函數(shù)、二次函數(shù)，并對所得的函數(shù)要結(jié)合自變量的取值范圍來考慮最值，這就需要結(jié)合圖像來解決。 【典型例題】 【例 1】 （天津市） 已知拋物線 cbxaxy ??? 23 2 ， （ 1）若 1??ba ， 1??c ，求該拋物線與 x 軸公共點的坐標(biāo)； （ 2）若 1??ba ，且