【正文】 出 y 和 x 之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出當 x 為何 值時 ,y 有最大值，最大值是多少？ （浙江臺州） 如圖，在矩形 ABCD 中， 9AB? ， 33AD? ，點 P 是邊 BC 上的動點（點 P 不與點 B ，點 C 重合），過點 P 作直線 PQ BD∥ ，交 CD 邊于 Q 點，再把 PQC△ 沿著動直線 PQ 對折，點 C 的對應(yīng)點是 R 點，設(shè) CP 的長度為 x ， PQR△ 與矩形 ABCD 重疊部分的面積為 y ． （ 1）求 CQP? 的度數(shù)； （ 2）當 x 取何值時，點 R 落在矩形 ABCD 的 AB 邊上？ （ 3） ① 求 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式； ② 當 x 取何值時，重疊部分的面積等于矩形面積的 727？ D Q C B P R A B A D C （備用圖 1） B A D C （備用圖 2） MBDCEFGxA 5 20xx 年全國各地中考試題壓軸題精選講座二 直角坐標下通過幾何圖形列函數(shù)式問題 【 知識縱橫】 以平面直角坐標系為背景，通過幾何圖形運動變化中兩個變量之間的關(guān)系建立函數(shù)關(guān)系式，進一步研究幾何圖形的性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法。 【 例 2】 （廣東東莞） 將兩塊大小一樣含 30176。 圖 【 例 4】 （（甘肅蘭州） 如圖 1， OABC 是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片， O 為原點，點 A 在 x 軸的正半軸上，點 C 在 y 軸的正半軸上， 5OA? ， 4OC? ． （ 1）在 OC 邊上取一點 D ，將紙片沿 AD 翻折，使點 O 落在 BC 邊上的點 E 處，求 DE， 兩點的坐標； （ 2）如圖 2，若 AE 上有一動點 P （不與 AE， 重合）自 A 點沿 AE 方向向 E 點勻速運動，運動的速度為每秒 1個單位長度，設(shè)運動的時間為 t 秒（ 05t?? ），過 P 點作 ED 的平行線交 AD于點 M ，過點 M 作 AE 的平 行線交 DE 于點 N ．求四邊形 PMNE 的面積 S 與時間 t 之間的函數(shù)關(guān)系式；當 t 取何值時， S 有最大值？最大值是多少？ （ 3）在（ 2）的條件下，當 t 為何值時，以 A M E， ， 為頂點的三角形為等腰三角形，并求出相應(yīng)的時刻點 M 的坐標． 【思路點撥】 （ 1） 折痕 AD 是四邊形 OAED 的對稱軸 （ 2）四邊形 PMNE 為矩形． （ 3） AME△ 為等腰三角形分類討論 。②求出當△ PBC 為等腰三角形時點 P 的坐標。 【典型例題】 【 例 1】 （山西太原） 如圖，在平面直角坐標系 xOy 中，直線 1yx??與 3 34yx?? ?交于點 A ，分別交 x 軸于點 B 和點 C ，點 D 是直線 AC 上的一個動點． （ 1）求點 A B C， ， 的坐標． （ 2）當 CBD△ 為等腰三角形時，求點 D 的坐標． （ 3）在直線 AB 上是否存在點 E ，使得以點 E D O A， ， ， 為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，直 接 寫出 BECD的值；如果不存在，請說明理 由． 【思路點撥】 （ 1）注意直線方程的解與坐標關(guān)系； （ 2）當 CBD△ 為等腰三角形時，分三種情況討論，． （ 3）以點 E D O A， ， ， 為頂點的四邊形是平行四邊形 三種情形。而當點 P 到達點 A 時，點 Q 正好到達點 C 。 【思路點撥】 （ 1）設(shè)動點出發(fā) t 秒后，點 P 到達點 A 且點 Q 正好到達點 C 時，由圖 3 知此時△ ABC 面積為 30. （ 2）結(jié)合（ 1）的結(jié)論寫出 ,MN兩點的坐標； （ 3） 考慮 當點 P 在 BA 上時及當點 P 在 DC 上時兩種的 y 關(guān)于 t 的函數(shù)關(guān)系式 . CBA D（圖 1） CBA DPQ（圖 2） Oyt30（圖 3） 11 【 學(xué)力訓(xùn)練 】 (07 臺州市 ) 如圖，四邊形 OABC 是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，點 A 在 x 軸上，點 C 在 y 軸上，將邊 BC 折疊，使點 B 落在邊 OA 的點 D 處．已知折疊 55CE? ，且3tan 4EDA??． （ 1）判斷 OCD△ 與 ADE△ 是否相似？請說明理由； （ 2）求直線 CE 與 x 軸交點 P 的坐標； （ 3）是否存在過點 D 的直線 l ，使直線 l 、直線 CE 與 x軸所圍成的三角形和直線 l 、直線 CE 與 y 軸所圍成的三角形相似？如果存在，請直接寫出其解析式并畫出相應(yīng)的直線；如果不存在，請說明理由． （浙江衢州） 已知直角梯形紙片 OABC 在平面直角坐標系中的位置如圖所示，四個頂點的坐標分別為 O(0， 0)， A(10， 0)， B(8， 32 )， C(0， 32 )，點 T 在線段 OA 上 (不與線段端點重合 )，將紙片折疊，使點 A 落在射線 AB 上 (記為點 A′ )， 折痕經(jīng)過點 T，折痕 TP 與射線AB 交于點 P，設(shè)點 T 的橫坐標為 t，折疊后紙片重疊部分 (圖中的陰影部分 )的面積為 S； (1)求∠ OAB 的度數(shù)，并求當點 A′ 在線段 AB 上時， S 關(guān)于 t 的函數(shù)關(guān)系式； (2)當紙片重疊部分的圖形是四邊形時，求 t 的取值范圍； (3)S 存在最大值嗎？若存在，求出這個最大值，并求此時 t 的值；若不存在，請說明理由。 解函數(shù)與幾何的綜合題，善于求點的坐標，進而求出函數(shù)解析式是解題的基礎(chǔ)；而充分發(fā)揮形的因素，數(shù)形互動 ，把證明與計算相結(jié)合是解題的關(guān)鍵。 【 思路點撥 】 （ 1）由關(guān)系式 OCOBOA ??2 來構(gòu)建關(guān)于 t、 b 的方程； (2)討論 t 的取值范圍，來求拋物線 F 對應(yīng)的二次函數(shù)的解 析式。 【例 3】 （浙江麗水） 如圖，在平面直角坐標系中，已知點A 坐標為（ 2， 4），直線 2?x 與 x 軸相交于點 B ，連結(jié) OA ，拋物線 2xy? 從點 O 沿 OA 方向平移，與直線 2?x 交于點 P ，頂點 M 到 A 點時停止移動． （ 1）求線段 OA 所在直線的函數(shù)解析式； （ 2）設(shè)拋物線頂點 M 的橫坐標為 m , y B O A P M x 2x? 14 ①用 m 的代數(shù)式表示點 P 的坐標 ； ②當 m 為何值時，線段 PB 最短 ； （ 3）當 線段 PB 最短時，相應(yīng)的 拋物線 上是否存在點 Q ，使 △ QMA 的面積與△ PMA 的面積相等，若存在，請求出點 Q 的坐標；若不存在，請說明理由 ． 【 思路點撥 】 （ 2）構(gòu)建關(guān)于 PB 的二次函數(shù)，求此函數(shù)的最小值； （ 3）分當點 Q 落在直線OA的下方時、當點 Q 落在直線 OA的上方時討論。 【例 5】 （山東濟南） 已知：拋物線 2y ax bx c? ? ? (a≠0)，頂點 C (1， 3? )，與 x 軸交于 A、B 兩點， ( 10)A?， ． （ 1）求這條拋物線的解析式． （ 2） 如圖，以 AB 為直徑作圓，與拋物線交于點 D，與拋物線對稱軸交于 點 E，依次連接 A、 D、B、 E，點 P 為線段 AB 上一個動點 (P與 A、 B兩點不重合 )，過點 P作 PM⊥ AE 于 M， PN⊥ DB 于 N，請判斷 PM PNBE AD?是否為定值 ? 若是，請求出此定值；若不是，請說明理由． （ 3）在 (2)的條件下，若點 S 是線段 EP 上一點，過點 S 作 FG⊥ EP ， FG 分別與 邊 ． AE、 BEM E y 圖 9yxOEDCBAGA BCDO xy圖 10 15 相交于點 F、 G(F 與 A、 E 不重合， G 與 E、 B 不重合 )，請判斷 PA EFPB EG?是否成 立．若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由． 【 思路點撥 】 （ 2）證△ APM∽△ ABE， PM APBE AB? 同理 : PN PBAD AB? （ 3） 證 PH=BH 且△ APM∽△ PBH 再證△ MEP∽△ EGF 可得。又如例 4 復(fù)合了一次函數(shù)、二次函數(shù)，并對所得的函數(shù)要結(jié)合自變量的取值范圍來考慮最值，這就需要結(jié)合圖像來解決。 【例 4】 （廣西南寧） 隨著綠城南寧近幾年城市建設(shè)的快速發(fā)展，對 花木的需求量逐年提高。 【典型例題】 【例 1】 （聊城市） 一列快車從甲地駛往乙地，一列慢車從乙地駛往甲地，兩車同時出發(fā)，設(shè)慢車行駛的時間為 (h)x ， 兩車之間的距離 ． ． ． ． ． ． ． 為 (km)y ，圖中的折線表示 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系． 根據(jù)圖象進行以下探究： 信息讀取 （ 1）甲、乙兩地之間的距離為 km； （ 2）請解釋圖中點 B 的實際意義； 圖象理解 （ 3）求慢車和快車的速度； （ 4）求線段 BC 所表示的 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量 x 的取值范 圍； 問題解決 （ 5）若第二列快車也從甲地出發(fā)駛往乙地，速度與第一列快車相同．在第一列快車與慢車相遇 30 分鐘后，第二列快車與慢車相遇．求第二列快車比第一列快車晚出發(fā)多少小時？ 【 思路點撥 】 理解圖象的實際意義。由絕對值的幾何意義知，該方程表示 求在數(shù)軸上與 1 和－ 2 的距離之和為 5 的點對應(yīng)的 x 的值。（ 3）求直線PR 的解析式與拋物線方程 214yx? 組成聯(lián)立方程組，討論方程組解的情況。 【學(xué)力訓(xùn)練】 （山東聊城） 探索研究： 如圖，把一張長 10cm，寬 8cm 的矩形硬紙板的四周各剪 去一個同樣大小的正方形，再折合成一個無蓋的長方體盒子（紙板的厚度忽略不計 ）． （ 1）要使長方體盒子的底面積為 48cm2，那么剪去的正方形的邊長為多少？ （ 2）你感到折合而成的長方體盒子的側(cè)面積會不會有更大的情況？如果有，請你求出最大值和此時剪去的正方形的邊長；如果沒有，請你說明理由； （ 3）如果把矩形硬紙板的四周分別剪去 2 個同樣大小的正方形和 2 個同樣形狀、同樣大小的矩形，然后折合成一個有蓋的長方體盒子，是否有側(cè)面積最大的情況；如果有，請你求出最大值和此時剪去的正方形的邊長；如果沒有，請你說明理由． （山東棗莊） 把一副三角板如圖甲放置，其中 90AC B DEC??∠ ∠ ， 45A?∠ ， 30D?∠ ，斜邊 6cmAB? ， 7cmDC? ．把三角板 DCE 繞點 C 順時針旋轉(zhuǎn) 15176。點 D 在線段 BC 上運動． 試探究：當 △ ABC 滿足一個什么條件時， CF⊥ BC（點 C、 F 重合除外）？畫出相應(yīng)圖形，并說明理由．（畫圖不寫作法） （ 3）若 AC＝ 42， BC=3，在（ 2）的條件下，設(shè)正方形 ADEF 的邊 DE 與線段 CF 相交于點 P，求線段 CP 長的最大值． （ 07 麗水市 ） 如圖，在平面直角坐標系中，直角梯形 ABCO 的邊 OC 落在 x 軸的正半軸上， 且 AB ∥ OC ， BC OC? ， AB =4， BC =6， OC =8．正方形 ODEF 的兩邊分別落在坐標軸上，且它的面積等于直角梯形 ABCO 面積． 將 正方形 ODEF 沿 x 軸的正半軸平行移動，設(shè)它 與 直角梯形 ABCO 的重疊部 分面積為 S ． （ 1）分析與計算： 求正方形 ODEF 的邊長； （ 2）操作與求解： ① 正方形 ODEF 平行移動過程中，通過操作、觀察，試判斷 S （ S ＞ 0）的變化情況是 ； A．逐漸增大 B．逐漸減少 C．先增大后減少 D．先減少后增大 ②當正方形 ODEF 頂點 O 移動到點 C 時， 求 S 的值； （ 3）探究與歸納： 設(shè) 正方形 ODEF 的頂點 O 向右移動的距離為 x ，求重疊部分面積 S 與 x 的函數(shù)關(guān)系式 ． AB CD EF第 28 題圖 圖甲 圖 乙 FEDCBAFED CBA圖丙 A y x B C O D E F （備用圖） A x B C