【正文】 （ 3）求直線PR 的解析式與拋物線方程 214yx? 組成聯(lián)立方程組，討論方程組解的情況。又如例 4 復(fù)合了一次函數(shù)、二次函數(shù)，并對所得的函數(shù)要結(jié)合自變量的取值范圍來考慮最值，這就需要結(jié)合圖像來解決。 解函數(shù)與幾何的綜合題，善于求點的坐標(biāo)，進而求出函數(shù)解析式是解題的基礎(chǔ)；而充分發(fā)揮形的因素，數(shù)形互動 ，把證明與計算相結(jié)合是解題的關(guān)鍵。②求出當(dāng)△ PBC 為等腰三角形時點 P 的坐標(biāo)。 B A D M E C B A D C 備用圖 2 【 例 2】（山東青島） 已知：如圖（ 1），在 Rt ACB△ 中， 90C?? ， 4cmAC? ， 3cmBC? ，點 P 由 B 出發(fā)沿 BA 方向向點 A 勻速運動，速度為 1cm/s；點 Q 由 A 出發(fā)沿 AC 方向向點 C 勻速運動，速度為 2cm/s；連接 PQ ．若設(shè)運動的時間為 (s)t （ 02t?? ），解答下列問題： （ 1）當(dāng) t 為何值時， PQ BC∥ ？ （ 2）設(shè) AQP△ 的面積為 y （ 2cm ），求 y 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系式； （ 3）是否存在某一時刻 t ，使線段 PQ 恰好把 Rt ACB△ 的周長和面積同時平分？若存在，求出此時 t 的值；若不存在，說明理由； （ 4）如圖（ 2），連接 PC ，并把 PQC△ 沿 QC 翻折，得到四邊形 PQPC? ，那么是否存在某一時刻 t ，使四邊形 PQPC? 為菱形？若存在，求出此時菱形的邊長；若不存在，說明理由． 圖（ 1） 圖（ 2） 【思路點撥 】（ 1）設(shè) BP 為 t， 則 AQ = 2t，證△ APQ ∽△ ABC；（ 2）過點 P 作 PH⊥ AC 于 H． （ 3）構(gòu)建方程模型，求 t； （ 4）過點 P 作 PM⊥ AC 于 Ｍ ， PN⊥ BC 于 N，若四邊形 PQP ′ C 是菱形，那么構(gòu)建方程模型后，能找到對應(yīng) t 的值。所以，研究上年各地的中考試題，就能找到今年中考數(shù)學(xué)試題的熱點的形成和命題的動向，它有利于我們教師在教學(xué)中研究對策，把握方向。角的直角三角板，疊放在一起，使得它們的斜邊AB 重合，直角邊不重合，已知 AB=8， BC=AD=4， AC 與 BD 相交于點 E，連結(jié) CD． (1)填空：如圖 1， AC= ， BD= ；四邊 形 ABCD 是 梯形 . (2)請寫出圖 1 中所有的相似三角形（不含全等三角形） . (3)如圖 2，若以 AB 所在直線為 x 軸，過點 A 垂直于 AB 的直線為 y 軸建立如圖 10 的平面直角坐標(biāo)系，保持 ΔABD 不動，將 ΔABC向 x 軸的正方向平移到 ΔFGH的位置， FH 與BD 相交于點 P，設(shè) AF=t， ΔFBP 面積為 S，求 S 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出 t 的取值值范圍 . 圖 1 【思路點撥】 （ 2）有 9 對相似三角形 . ； （ 3）用 t 的變量表示相關(guān)線段，利用面積公式計算，注意自變量的取值范圍。設(shè) ,PQ同時從點 B 出發(fā)，經(jīng)過的時間為 ??ts時， BPQ? 的面積為 ? ?2ycm （如圖 2）。 【例 4】 （廣東省 深圳市 ） 如 圖 1，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù) )0(2 ???? acbxaxy的圖象的頂點為 D 點，與 y 軸交于 C 點，與 x 軸交于 A、 B 兩點 ， A 點在 原點 的左側(cè)， B 點的坐標(biāo)為（ 3， 0） ， OB＝ OC ， tan∠ ACO＝31． （ 1）求這個二次函數(shù)的表達式 ． （ 2）經(jīng) 過 C、 D 兩點 的直線，與 x 軸交于點 E，在 該 拋物線上是否存在這樣的點 F， 使以 點 A、 C、 E、 F 為頂點的四邊形為平行四邊形 ？ 若存在，請求出點 F 的坐 標(biāo)；若不存在，請說明理由 ． （ 3）若平行 于 x 軸的直線與 該 拋物線交于 M、 N 兩點，且以 MN 為直徑的圓與 x 軸相切，求 該圓半徑的長度 ． （ 4）如 圖 2，若點 G（ 2， y）是該拋物線上一點， 點 P 是直線 AG 下方的 拋物 線上 一動點 ， 當(dāng)點 P 運動到什么位置時，△ APG 的面積最大 ？求出此時 P 點的坐標(biāo)和△ APG 的最大面積 . 【 思路點撥 】 （ 2） 可先 以 A、 C、 E、 F 為頂點的四邊 形為平行四邊形時，求 F 點的坐標(biāo)，再代入拋物線的表達式檢驗。 【例 2】 (江蘇鎮(zhèn)江 )理解發(fā)現(xiàn) 閱讀以下材料： 對于三個數(shù) a b c， ， ，用 ? ?M a b c， ， 表示這三個數(shù)的平均數(shù)，用 ? ?min a b c， ， 表示這三個數(shù)中最小的數(shù)．例如： ? ? 1 2 3 41 2 3 33M ? ? ?? ? ?， ， ； ? ?min 1 2 3 1? ? ?， ， ； ? ? ( 1 )m in 1 2 1 ( 1 ) .aaa a ???? ? ? ? ?? ≤ ；， ， 解決下列問題： （ 1）填空： ? ?m in sin 3 0 c o s 4 5 ta n 3 0 ?， ， ； 如果 ? ?m in 2 2 2 4 2 2xx? ? ?， ， ，則 x 的取值范圍為 x________ ≤ ≤ _________． （ 2） ① 如果 ? ? ? ?2 1 2 m in 2 1 2M x x x x? ? ?， ， ， ，求 x ； ② 根據(jù) ① ，你發(fā)現(xiàn)了結(jié)論“如果 ? ? ? ?m inM a b c a b c?， ， ， ，那么 （填a b c， ， 的大小關(guān)系）”．證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論； ③ 運用 ② 的結(jié)論，填空： 若 ? ? ? ?2 2 2 2 m in 2 2 2 2M x y x y x y x y x y x y? ? ? ? ? ? ? ? ?， ， ， ，則 xy?? ． （ 3）在 同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù) 1yx??， 2( 1)yx?? ， 2yx?? 的圖象（不需列表描點）．通過觀察圖象，填空： ? ?2m in 1 ( 1) 2x x x? ? ?， ，的最大值為 ． （第 28 題） A B C D O y/km 900 12 x/h 4 22 【 思路點撥 】 （ 2） ② ? ?m in a b c c?， ， ，則 ac≥ ， bc≥ ．若 ( ) ( ) 0a c b c? ? ? ? ?，可得 abc??；（ 3）作出圖象，通過觀察圖象解答。． ① 當(dāng)點 D 在線段 BC 上時（與點 B 不重合），如圖乙，線段 CF、 BD 之間的位置 關(guān)系為 ▲ ，數(shù)量關(guān)系為 ▲ ． ② 當(dāng)點 D 在線段 BC 的延長線上時，如圖丙， ① 中的結(jié)論是否仍然成立，為什么？ （ 2）如果 AB≠AC， ∠ BAC≠90186。重點是閱讀，難點是理解，關(guān)鍵是應(yīng)用，通過閱讀，對所提供的文字、符號、圖形等進行分析和綜合，在理解的基礎(chǔ)上制定解題策略。 （ 3）設(shè)以點 A、 B、 O、 P 為頂點的四邊形的面積為 S, 點 P的橫坐標(biāo)為 x,當(dāng) 4 6 2 6 8 2S? ? ? ?時 ,求 x的取值 范圍 . 【 思路點撥 】 （ 3）可求得直線 l 的函數(shù)關(guān)系式是 y=2x， 所以應(yīng)討論①當(dāng)點 P 在第二象限時， x0、 ②當(dāng)點 P 在第四象 限是， x0 這二種情況。動點 ,PQ同時從點 B 出發(fā)，點 P 沿 ,BAADDC 運動到點 C 停止，點 Q 沿 BC 運動到點 C 停止，兩點運動時的速度都是 1/cms 。 【典型例題】 【 例 1】（ 黑龍江齊齊哈爾 ） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點 ( 30)C?， ，點 AB， 分別在 x 軸，y 軸的正半軸上，且滿足 2 3 1 0O B O A? ? ? ?． （ 1）求點 A ，點 B 的坐標(biāo)． （ 2）若點 P 從 C 點出發(fā)，以每秒 1 個單位的速度沿射線 CB 運動，連結(jié) AP ．設(shè) ABP△ 的面積為 S ，點 P 的運動時間為 t 秒，求 S 與 t 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍． （ 3）在（ 2）的條件下，是否存在點 P ，使以點 A B P， ， 為頂點的三角形與 AOB△ 相 似？若存在，請直接寫出點 P 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 【思路點撥】 （ 1）注意坐標(biāo)值與線段長度關(guān)系； （ 2）求得 90ABC??（ 3）分類討論。從數(shù)學(xué)思想的層面上講：（ 1）運動觀點；（ 2）方程思想；（ 3）數(shù)形結(jié)合思想；（ 4）分類思想；（ 5）轉(zhuǎn)化思想等。 ， AB＝ 4， AC＝ 3， M 是 AB 上的動點（不與 A， B 重合）， 過 M 點作 MN∥ BC交 AC 于點 N．以 MN 為直徑作 ⊙ O， 并 在 ⊙ O 內(nèi)作內(nèi)接矩形AMPN．令 AM＝ x． （ 1）用含 x 的代數(shù)式表示 △ Ｍ NP 的面積 S； （ 2）當(dāng) x 為何值時， ⊙ O 與直線 BC 相切？ （ 3）在動點 M 的運動過程中，記 △ Ｍ NP 與梯形 BCNM 重合的面積為 y，試求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)表達式，并求 x 為何值時， y 的值最大，最大值是多少？ 圖（ 1） 圖（ 2） 圖（ 3） 【思路點撥】 （ 1）證△ AMN ∽ △ ABC；（ 2）設(shè)直線 BC 與⊙ O 相切于點 D，連結(jié) AO， OD，先A B C M N D O A B C M N P O A B C M N P O A Q C P B A Q C P B P? 3 求出 OD（用 x 的代數(shù)式表示），再過 M 點作 MQ⊥ BC 于 Q，證△ BMQ∽△ BCA； （ 3）先找到圖形孌化的分界點， x ＝ 2。直角邊 AC 在 x 軸上， B 點在第二象限， A（ 1， 0）， AB 交 y 軸于 E，將紙片過 E 點折疊使 BE 與 EA 所在直線重合，得到折痕 EF（ F 在 x 軸上），再展開還原沿 EF 剪開得到四邊形 BCFE，然后把四邊形BCFE 從 E 點開始沿射線 EA 平移，至 B 點到達 A 點停止 .設(shè)平移時間為 t（ s），移動速度為每秒 1 個單位長度，平移中四邊形 BCFE 與 △ AEF 重疊的面積為 S. （ 1）求折痕 EF 的長； （ 2）是否存在某一時刻 t 使平移中直角頂點 C經(jīng)過拋物線 2 43y x x? ? ? 的頂點？若存在，求出 t值；若不存在，請說明理由； （ 3） 直接寫出 ． ． ． ． S 與 t 的函數(shù)關(guān) 系式及自變量 t的取值范圍 . A B C D y O M P N x 9 20xx年全國各地中考試題壓軸題精選講座三 函數(shù)及圖像與幾何問題 【 知識縱橫】 函數(shù)（本節(jié)主要指一次函數(shù)、反比例函數(shù)）及圖像與幾何問題，是以函數(shù)為背景探求幾何性質(zhì)，這類題很重要點是利用函數(shù)的性質(zhì)，解決幾個主要點的坐標(biāo)問題，使幾何知識和函數(shù)知識有機而自然結(jié)合起來，這樣，才能突破難點。平移二 次函數(shù) 2txy ?? 的圖象，得到的拋物線 F滿足兩個條件：① 頂點為 Q ； ② 與 x 軸相交于 B ， C 兩點（ ∣ OB∣ ∣ OC∣ ），連結(jié) A， B。 【例 2】 （黃石市） 如圖，已知拋物線與 x 軸交于點 ( 20)A?， ， (40)B， ，與 y 軸交于點 (08)C， ． （ 1）求拋物線的解析式及其頂點 D 的坐標(biāo)； （ 2）設(shè)直線 CD 交 x 軸于點 E ．在線段 OB 的垂直平分線上是否存在點 P ， 使得點 P 到直線 CD的距離等于點 P 到原點 O 的距離？如果存在，求出點 P 的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由； （ 3）過點 B 作 x 軸的垂線，交直線 CD 于點 F ，將拋物線沿 其對稱軸平移，使拋物線與線段 EF 總有公共點．試探究：拋 物線向上最多可平移多少個單位長度？向下最多可平移多少個 單位長度？ 【 思路點撥 】 （ 2）設(shè) (2 )Pt， ,建立關(guān)于 t 的方程； （ 3）考慮拋物線向上平移、向下平移兩種情況。 【例 3】（內(nèi)江市） 在一平直河岸 l 同側(cè)有 AB， 兩個村莊， AB， 到 l 的距離分別是 3km 和 2k