【正文】 ,拋物線(xiàn) 2 4y x x??與 x 軸分別相交于點(diǎn) B、 O,它的頂點(diǎn)為 A,連接AB,把 AB 所的直線(xiàn)沿 y 軸向上平移 ,使它經(jīng)過(guò)原點(diǎn) O,得到直線(xiàn) l,設(shè) P是直線(xiàn) l上一動(dòng)點(diǎn) . （ 1）求點(diǎn) A 的坐標(biāo) 。 【典型例題】 【例 1】 (浙江杭州 ) 在直角坐標(biāo)系 xOy 中，設(shè)點(diǎn) A（ 0， t），點(diǎn) Q（ t， b）。 （ 江蘇鹽城 ） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ AOB 是等邊三角形 ,點(diǎn) A 的坐標(biāo)是 （ 0， 4） ，點(diǎn) B 在第一象限，點(diǎn) P 是 x 軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié) AP，并把△ AOP 繞著點(diǎn)y x O B C A T y x O B C A T O x y C B E D A 12 A 按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使邊 AO 與 AB 重合，得到△ ABD. （ 1）求直線(xiàn) AB 的解析式； （ 2）當(dāng)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（ 3 ,0） 時(shí)，求此時(shí) DP 的長(zhǎng)及點(diǎn) D 的坐標(biāo)； （ 3）是否存在點(diǎn) P,使△ OPD 的面積等于 34,若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 . （四川樂(lè)山） 在平面直角坐標(biāo)系中 △ ABC 的邊 AB 在 x 軸上，且 OAOB,以 AB 為直徑的圓過(guò)點(diǎn) C，若 C 的坐標(biāo)為 (0,2),AB=5, A,B 兩點(diǎn)的橫坐標(biāo) XA,XB 是關(guān)于 X 的方程2 ( 2 ) 1 0x m x n? ? ? ? ?的兩根 : (1)求 m， n 的值 。設(shè) ,PQ同時(shí)從點(diǎn) B 出發(fā)，經(jīng)過(guò)的時(shí)間為 ??ts時(shí)， BPQ? 的面積為 ? ?2ycm （如圖 2）。 【 例 2】 （浙江湖州） 已知：在矩形 AOBC 中， 4OB? ， 3OA? ．分別以 OB OA， 所在直線(xiàn)為 x 軸和 y 軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系． F 是邊 BC 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與 BC， 重合），過(guò) F 點(diǎn)的反比例函數(shù) ( 0)kykx??的圖象與 AC 邊交于點(diǎn) E ． （ 1）求證： AOE△ 與 BOF△ 的面積相等； （ 2）記 O EF EC FS S S??△ △ ，求當(dāng) k 為何值時(shí)， S 有最大值，最大值為多少？ （ 3）請(qǐng)?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點(diǎn) F ，使得將 CEF△ 沿EF 對(duì)折后， C 點(diǎn)恰好落在 OB 上？若存在，求出點(diǎn) F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【思路點(diǎn)撥】 （ 1）用 k 的代數(shù)式表示 AOE△ 與FOB△ 的面積； （ 2）寫(xiě)出 EF， 兩點(diǎn)坐標(biāo)（含 k 的代數(shù)式表示），利用三角形面積公式解之；（ 3）設(shè)存在這樣的點(diǎn) F ，將 CEF△ 沿 EF 對(duì)折后， C 點(diǎn)恰好落在 OB 邊上的 M 點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) E 作 EN OB? ，垂足為 N ．證 EN M MB F?△ ∽ △ ． A y x D C O B 10 【 例 3】 （浙江嘉興） 如圖，直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn) (0 0) (2 0)OA， ， ， ，點(diǎn) B 在第一象限且OAB△ 為正三角形， OAB△ 的外接圓交 y 軸的正半軸于點(diǎn) C ，過(guò)點(diǎn) C 的圓的切線(xiàn)交 x 軸于點(diǎn)D ． （ 1）求 BC， 兩點(diǎn)的坐標(biāo)； （ 2）求直線(xiàn) CD 的函數(shù)解析式； （ 3）設(shè) EF， 分別是線(xiàn)段 AB AD， 上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且 EF 平分四邊形 ABCD 的周長(zhǎng)． 試探究： AEF△ 的最大面積？ 【思路點(diǎn)撥】 （ 1）作 BG OA? 于 G ； （ 2）連結(jié) A C,證 CD‖ OB.（ 3）通過(guò) 幾何圖形建立二次函數(shù)模型解之，注意 自變量的取值范圍。 ( 湖北天門(mén) )如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中， A 點(diǎn)坐標(biāo)為 (3， 0)， B 點(diǎn)坐標(biāo)為 (0， 4)．動(dòng) 點(diǎn) M 從點(diǎn) O 出發(fā)，沿 OA 方向以每 秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn) A 運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn) N 從點(diǎn) A 出發(fā)沿 AB 方向以每秒35個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn) B 運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)了 x 秒． (1)點(diǎn) N 的坐標(biāo)為 (________________， ________________)； (用含 x 的代數(shù)式表示 ) (2)當(dāng) x 為何值時(shí)，△ AMN 為等腰三角形？ (3)如圖②，連結(jié) ON 得△ OMN，△ OMN 可能為正三角形嗎？若不能，點(diǎn) M 的運(yùn)動(dòng)速度不變， 試改變點(diǎn) N 的運(yùn)動(dòng)速度，使△ OMN 為正三角形，并求出點(diǎn) N 的運(yùn)動(dòng)速度和此時(shí) x 的值． (吉林省長(zhǎng)春市 ) 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn) 1 ( 0)2y x b b? ? ? ?分別交 x 軸， y軸于 AB， 兩點(diǎn)，以 OA OB， 為邊作矩形 OACB ， D 為 BC 的中點(diǎn)．以 (40)M ， ， (80)N， 為斜O(jiān) M A x N B y 圖① O Maaaaa A x N B y 圖② 8 邊端點(diǎn)作等腰直角三角形 PMN ，點(diǎn) P 在第一象限，設(shè)矩形 OACB 與 PMN△ 重疊部分的面積為 S ． （ 1）求點(diǎn) P 的坐標(biāo)． （ 2）當(dāng) b 值由小到大變化時(shí)，求 S 與 b 的函數(shù)關(guān)系式． （ 3）若在直線(xiàn) 1 ( 0)2y x b b? ? ? ?上存在點(diǎn) Q ， 使 OQM∠ 等于 90 ，請(qǐng) 直接寫(xiě)出 ． ． ． ． b 的取值范圍． (4)在 b 值的變化過(guò)程中，若 PCD△ 為等腰三 角形，請(qǐng) 直接寫(xiě)出 ． ． ． ． 所有符合條件的 b 值． （湖北荊州）如圖，等腰直角三角形紙片 ABC 中， AC＝ BC＝ 4，∠ ACB＝ 90186。 【 學(xué)力訓(xùn)練 】 (諸暨中學(xué) )如圖，點(diǎn) A 在 Y 軸上，點(diǎn) B在 X 軸上，且A B H O Q P y x M C y x B C O A D E 圖 1 y x B C O A D E 圖 2 P M N 7 OA=OB=1，經(jīng)過(guò)原點(diǎn) O 的直線(xiàn) L 交線(xiàn)段 AB 于點(diǎn) C，過(guò) C 作 OC 的垂線(xiàn)，與直線(xiàn) X=1 相交于點(diǎn) P，現(xiàn)將直線(xiàn) L 繞 O 點(diǎn) 旋轉(zhuǎn)，使交點(diǎn) C 從 A向 B 運(yùn)動(dòng)，但 C 點(diǎn)必須在第一象限內(nèi)，并記 AC 的長(zhǎng)為 t，分析此圖后，對(duì)下列問(wèn)題作出探究： （ 1）當(dāng)△ AOC 和△ BCP 全等時(shí)，求出 t 的值。角的直角三角板，疊放在一起，使得它們的斜邊AB 重合，直角邊不重合，已知 AB=8， BC=AD=4， AC 與 BD 相交于點(diǎn) E，連結(jié) CD． (1)填空：如圖 1， AC= ， BD= ；四邊 形 ABCD 是 梯形 . (2)請(qǐng)寫(xiě)出圖 1 中所有的相似三角形（不含全等三角形） . (3)如圖 2，若以 AB 所在直線(xiàn)為 x 軸，過(guò)點(diǎn) A 垂直于 AB 的直線(xiàn)為 y 軸建立如圖 10 的平面直角坐標(biāo)系，保持 ΔABD 不動(dòng)，將 ΔABC向 x 軸的正方向平移到 ΔFGH的位置， FH 與BD 相交于點(diǎn) P，設(shè) AF=t， ΔFBP 面積為 S，求 S 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出 t 的取值值范圍 . 圖 1 【思路點(diǎn)撥】 （ 2）有 9 對(duì)相似三角形 . ； （ 3）用 t 的變量表示相關(guān)線(xiàn)段，利用面積公式計(jì)算，注意自變量的取值范圍。但在坐標(biāo)系中，每一個(gè)坐 標(biāo)由一對(duì)的序?qū)崝?shù)對(duì)應(yīng)，實(shí)數(shù)的正負(fù)之分，而線(xiàn)段長(zhǎng)度值均為正的，注意這一點(diǎn)，就可類(lèi)似于講座一的方法解決。 【 例 3】（山東德州） 如圖（ 1） ,在 △ ABC 中， ∠ A＝ 90176。函數(shù)與幾何的綜合題，對(duì)考查學(xué)生的雙基和探索能力有一定的代表性 ，通過(guò)幾何圖形的兩個(gè)變量之間的關(guān)系建立函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)一步研究幾何的性質(zhì)，溝通函數(shù)與幾何的有機(jī)聯(lián)系，可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的思想方法。所以，研究上年各地的中考試題，就能找到今年中考數(shù)學(xué)試題的熱點(diǎn)的形成和命題的動(dòng)向，它有利于我們教師在教學(xué)中研究對(duì)策，把握方向。 1 20xx 年全國(guó)各地中數(shù)學(xué)考試題壓軸題精選講座 “他山之石可以攻玉” 【前言】 新課改后的中考數(shù)學(xué)壓軸題已從傳統(tǒng)的考察知識(shí)點(diǎn)多、難度大、復(fù)雜程度高的綜合題型，逐步轉(zhuǎn)向數(shù)形結(jié)合、動(dòng)態(tài)幾何、動(dòng)手操作、實(shí)驗(yàn)探究等方向發(fā)展。但縱觀全國(guó)各省、市的中考數(shù)學(xué)試題，它的壓軸題均是借鑒 于上年各地的中考試題演變而來(lái)。幾何與函數(shù)問(wèn)題就是從量和形的側(cè)面去描述客觀世界的運(yùn)動(dòng)變化、相互聯(lián)系和相互制約性。 B A D M E C B A D C 備用圖 2 【 例 2】（山東青島） 已知：如圖（ 1），在 Rt ACB△ 中， 90C?? ， 4cmAC? ， 3cmBC? ，點(diǎn) P 由 B 出發(fā)沿 BA 方向向點(diǎn) A 勻速運(yùn)動(dòng)，速度為 1cm/s；點(diǎn) Q 由 A 出發(fā)沿 AC 方向向點(diǎn) C 勻速運(yùn)動(dòng)，速度為 2cm/s；連接 PQ ．若設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 (s)t （ 02t?? ），解答下列問(wèn)題： （ 1）當(dāng) t 為何值時(shí)， PQ BC∥ ？ （ 2）設(shè) AQP△ 的面積為 y （ 2cm ），求 y 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系式； （ 3）是否存在某一時(shí)刻 t ，使線(xiàn)段 PQ 恰好把 Rt ACB△ 的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí) t 的值；若不存在，說(shuō)明理由； （ 4）如圖（ 2），連接 PC ，并把 PQC△ 沿 QC 翻折，得到四邊形 PQPC? ，那么是否存在某一時(shí)刻 t ，使四邊形 PQPC? 為菱形？若存在，求出此時(shí)菱形的邊長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由． 圖（ 1） 圖（ 2） 【思路點(diǎn)撥 】（ 1）設(shè) BP 為 t， 則 AQ = 2t，證△ APQ ∽△ ABC；（ 2）過(guò)點(diǎn) P 作 PH⊥ AC 于 H． （ 3）構(gòu)建方程模型，求 t； （ 4）過(guò)點(diǎn) P 作 PM⊥ AC 于 Ｍ ， PN⊥ BC 于 N，若四邊形 PQP ′ C 是菱形，那么構(gòu)建方程模型后，能找到對(duì)應(yīng) t 的值。 【 學(xué)力訓(xùn)練 】 （山東威海） 如圖，在梯形 ABCD 中， AB∥CD ， AB＝ 7， CD＝ 1， AD＝ BC＝ 5．點(diǎn) M，N 分別在邊 AD， BC 上運(yùn)動(dòng)，并保持 MN∥ AB， ME⊥ AB， NF⊥ AB， 垂足分別為 E， F． （ 1）求梯形 ABCD 的面積； （ 2）求四邊形 MEFN 面積的最大值． （ 3） 試判斷 四邊形 MEFN 能否 為正方形， 若能， 求出 正方形 MEFN 的面積； 若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由． （浙江溫州市） 如圖，在 Rt ABC△ 中， 90A?? ， 6AB? ， 8AC? ， DE， 分別是邊 AB AC， 的中點(diǎn)，點(diǎn) P 從點(diǎn) D 出發(fā)沿 DE 方向運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn) P 作 PQ BC? 于 Q ，過(guò)點(diǎn) Q 作QR BA∥ 交 AC 于 R ，當(dāng)點(diǎn) Q 與點(diǎn) C 重合時(shí)，點(diǎn) P 停止運(yùn)動(dòng)．設(shè) BQ x? ， QR y? ． （ 1）求點(diǎn) D 到 BC 的距離 DH 的長(zhǎng)； （ 2）求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫(xiě)出自變量的取值范圍）； （ 3）是否存在點(diǎn) P ，使 PQR△ 為等腰三角形？若存在， 請(qǐng)求出所有滿(mǎn)足要求的 x 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． C D A B E F N M A B C D E R P H Q 4 （湖南郴州） 如圖，平行四邊形 ABCD 中， AB＝ 5， BC＝ 10， BC 邊上的高 AM=4， E 為 BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與 B、 C 重合）．過(guò) E 作直線(xiàn) AB 的垂線(xiàn)，垂足為 F． FE與 DC 的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn) G，連結(jié) DE， DF． ． （ 1） 求證： Δ BEF ∽Δ CEG． （ 2） 當(dāng)點(diǎn) E 在線(xiàn)段 BC 上運(yùn)動(dòng)時(shí)， △ BEF 和 △ CEG 的周長(zhǎng)之間有什么關(guān)系？并說(shuō)明你的理由． （ 3）設(shè) BE＝ x， △ DEF 的面積為 y，請(qǐng)你求