【文章內(nèi)容簡介】 底邊，兩腰的夾角叫頂角，底邊和腰的夾角叫底角如圖所示，在△ABC中，AB=AC，則它叫等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊，∠A是頂角，∠B、∠C是底角．知識(shí)點(diǎn)二：等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡稱“等邊對(duì)等角”）．性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合（簡稱“三線合一”）．這兩個(gè)性質(zhì)證明如下：在△ABC中，AB=AC，如圖所示．作底邊BC的高AD，則有∴ Rt△ABD≌Rt△ACD．∴ ∠B=∠C，∠1=∠2．BD=CD．于是性質(zhì)性質(zhì)2均得證．說明：（1）①等腰三角形的性質(zhì)1用符號(hào)表示為：∵AB=AC，∴∠B=∠C；②性質(zhì)1是等腰三角形的一條重要（主要）性質(zhì)，也是今后我們證明角相等的又一個(gè)重要依據(jù)．（2）①性質(zhì)2實(shí)質(zhì)包含三條性質(zhì)，符號(hào)表示為：∵ AB=AC，AD⊥BC，∠1=∠2，∴ BD=CD；或∵ AB=AC，BD=CD，∠l=∠2，∴ AD⊥BC．②性質(zhì)2的用途更為廣泛，可以用來證明線段相等，角相等，垂直關(guān)系等．（3）等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，底邊上高（頂角平分線或底邊中線）所在直線是它的對(duì)稱軸，通常情況只有一條對(duì)稱軸．知識(shí)點(diǎn)三：等腰三角形的判定定理定理內(nèi)容及證明如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡稱“等角對(duì)等邊”），如圖所示．證明：在△ABC中，∠B=∠C，作AD⊥BC于D．則所以△ABD≌△ACD（AAS）．所以，AB=AC．注意：①本定理的符號(hào)表示為：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC．②本定理可以判定一個(gè)三角形是等腰三角形，同時(shí)也是今后證明兩條線段相等的重要依據(jù)．另外，等腰三角形的性質(zhì)和判定條件和結(jié)論正好相反，要注意區(qū)分，不要混淆． 知識(shí)點(diǎn)四：等邊三角形等邊三角形定義：三邊都相等的三角形叫等邊三角形如圖所示．注意：①由定義可知，等邊三角形是一種特殊的等腰三角形．也就是說等腰三角形包括等邊三角形．②等邊三角形具有等腰三角形的一切性質(zhì)．知識(shí)點(diǎn)五：等邊三角形的性質(zhì)等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)內(nèi)角都等于60176。理由如下：如上圖所示，由AB=AC可得∠B=∠C，同樣可得∠A=∠C，所以∠A=∠B=∠C．而∠A+∠B+∠C=180176。．則有∠A=∠B=∠C=60176。．注意：這條性質(zhì)只有等邊三角形具有．知識(shí)點(diǎn)六：等邊三角形的判定等邊三角形的判定：（1）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；（2）有一個(gè)角是60176。的等腰三角形是等邊三角形．證明如下：(1)如下圖所示，若∠A=∠B=∠C，可由∠A=∠B得，AC=BC；由∠A=∠C得，AB=BC．所以AB=AC=BC．于是判定（1）成立．(2)如上圖所示，在△ABC中，AB=AC，若∠A=60176。，則有∠B=∠C=60176。，于是∠A=∠B=∠C．由判定（1）得△ABC是等邊三角形；若∠B=60176。，則∠B=∠C=60176。，于是∠A=60176。，∠A=∠B=∠C．由判定（1）得△ABC是等邊三角形。所以判定（2）成立．知識(shí)點(diǎn)七：直角三角形性質(zhì)定理定理內(nèi)容：在直角三角形中，如果有一個(gè)銳角是30176。，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半證明：如圖所示，∠ACB=90176。，∠A=30176。．延長BC至垂直平分使，則有AC，故，．又可得∠B=60176。．于是△是等邊三角形，故所以．即定理成立．三、規(guī)律方法指導(dǎo)1．等腰（邊）三角形是一個(gè)特殊的三角形，具有較多的特殊性質(zhì)，有時(shí)幾何圖形中不存在等腰（邊）三角形，可根據(jù)已知條件和圖形特征，適當(dāng)添加輔助線，使之構(gòu)成等腰（邊）三角形，然后利用其定義和有關(guān)性質(zhì)，快捷地證出結(jié)論。2．常用的輔助線有：（1）作頂角的平分線、底邊上的高線、中線。（2）在三角形的中線問題上，我們常將中線延長一倍，這樣添輔助線有助于我們解決有關(guān)中線的問題。經(jīng)典例題透析類型一：探究型題目1．如圖1，在直角△ABC中，∠ACB=90176。，∠CAB=30176。，請(qǐng)你設(shè)計(jì)三種不同的分法，把△ABC分割成兩個(gè)三角形，且要求其中有一個(gè)是等腰三角形。（在等腰三角形的兩個(gè)底角處標(biāo)明度數(shù)）思路點(diǎn)撥: 在三角形中，“等邊對(duì)等角”與“等角對(duì)等邊”，本題應(yīng)從角度入手進(jìn)行考慮。下面提供四種分割方法供大家參考。解析：總結(jié)升華：對(duì)圖形進(jìn)行分割是近年來新出現(xiàn)的一類新題型，主要考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況以及動(dòng)手實(shí)踐能力，本類題目的答案有時(shí)不唯一。舉一反三：【變式1】如圖3，D是△ABC中BC邊上的一點(diǎn)，E是AD上的一點(diǎn)，EB=EC，∠1=∠2，求證：AD⊥BC。請(qǐng)你先閱讀下面的證明過程。證明：在△AEB和△AEC中，所以△ABE≌△AEC（第一步），所以AB=AC，∠3=∠4（第二步），所以AD⊥BC（等腰三角形的“三線合一”）。上面的證明過程是否正確？如果正確，請(qǐng)寫出每一步的推理依據(jù)；如果不正確，請(qǐng)指出關(guān)鍵錯(cuò)在哪一步，寫出你認(rèn)為正確的證明過程?！敬鸢浮康谝徊藉e(cuò)誤。因?yàn)樵凇鰽BE和△AEC中有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，不能判定它們?nèi)?。正確的證明過程是：因?yàn)镋B=EC，所以∠EBD=∠ECD，所以∠EBD＋∠1=∠ECD＋∠2，即：∠ABC=∠ACB，所以AB=AC。在△AEB和△AEC中，所以△ABE≌△AEC，所以∠3=∠4，所以AD⊥BC（等腰三角形的“三線合一”）。【變式2】已知△ABC為等邊三角形，在圖4中，點(diǎn)M是線段BC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N是線段CA上任意一點(diǎn)，且BM=CN，直線BN與AM相交于Q點(diǎn)。（1）請(qǐng)猜一猜：圖4中∠BQM等于多少度？（2）若M、N兩點(diǎn)分別在線段BC、CA的延長線上，其它條件下不變，如圖5所示，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)加以證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由。【答案】（1）題通常猜想、測量或證明等方法不難發(fā)現(xiàn)∠BQM=60176。，而且這一結(jié)論在圖形發(fā)生變化后仍然成立。（2）題的證明過程如下：因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，所以AB=AC，∠BAC=∠ACB=60176。，所以∠ACM=∠BAN。在△ACM和△BAN中，所以ΔACM≌ΔBAN，所以∠M=∠N，所以∠BQM=∠N＋∠QAN=∠M＋∠CAM=∠ACB=60176。類型二：與度數(shù)有關(guān)的計(jì)算2．如圖，在△ABC中，D在BC上，且AB=AC=BD，∠1=30176。，求∠2的度數(shù)。思路點(diǎn)撥: 解該題的關(guān)鍵是要找到∠2和∠1之間的關(guān)系，顯然∠2=∠1+∠C，只要再找出∠C與∠2的關(guān)系問題就好解決了，而∠C=∠B，所以把問題轉(zhuǎn)化為欲找出∠2與∠B之間有什么關(guān)系，變成△ABD的角之間的關(guān)系，問題就容易的多了。解析：∵AB=AC∴∠B =∠C∵AB=BD∴∠2=∠3∵∠2=∠1+∠C∴ ∠2=∠1+∠B∵∠2+∠3+∠B=180176?！唷螧=180176。－2∠2∴∠2=∠1+180176。－2∠2∴3∠2=∠1+180176?！摺?=30176。∴∠2=70176?？偨Y(jié)升華：關(guān)于角度問題可以通過建立方程進(jìn)行解決。舉一反三：【變式1】如圖，D、E在△ABC的邊BC上，且BE=BA，CD=CA，若∠BAC=122176。，求∠DAE的度數(shù)。【答案】∵BE=BA∴∠2=∠BAE∵CD=CA∴∠1=∠CAD∵∠1+∠CAD+∠C=180176。∴∠1=∵∠2+∠BAE+∠B=180176。∴∠2=∴∠1+∠2=∵∠B+∠C=180176。－∠BAC∴∠1+∠2=∵∠DAE=180176。－（∠1+∠2）∴∠DAE=90176。－=90176。－61176。=29176?！咀兪?】在△ABC中，AB=AC，D在BC上，E在AC上，且AD=AE，∠BAD=30176。，求∠EDC的度數(shù)。【答案】∵ AB=AC，AD=AE∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED∵∠ADE+∠EDC=∠ADC=∠B+∠BAD∴∠AED+∠EDC=∠C+∠BAD∵∠AED=∠C+∠EDC∴∠C+2∠EDC=∠C+∠BAD∴∠EDC=∠BAD=15176。類型三：等腰三角形中的分類討論3．當(dāng)腰長或底邊長不能確定時(shí)，必須進(jìn)行分類討論（1）已知等腰三角形的兩邊長分別為8cm和10cm，求周長。（2）等腰三角形的兩邊長分別為3cm和7cm，求周長。思路點(diǎn)撥: 由等腰三角形的性質(zhì)可知我們?cè)诮獯祟}前，必須明確所給的邊的定義，在這里哪條邊是“腰”，哪條邊是“底”不明確，而且還要考慮到三條線段能夠構(gòu)成三角形的前提，因此必須進(jìn)行分類討論。解析：（1）因?yàn)?+8＞10，10+10＞8，則在這兩種情況下都能構(gòu)成三角形；當(dāng)腰長為8時(shí)，周長為8+8+10=26；當(dāng)腰長為10時(shí)，周長為10+10+8=28；故這個(gè)三角形的周長為26cm或28cm。（2）當(dāng)腰長為3時(shí)，因?yàn)?+3＜7，所以此時(shí)不能構(gòu)成三角形；當(dāng)腰長為7時(shí)，因?yàn)?+7＞3，所以此時(shí)能構(gòu)成三角形，因此三角形的周長為：7+7+3=17；故這個(gè)三角形的周長為17cm。總結(jié)升華：對(duì)于此類題目在進(jìn)行分類討論時(shí)，必須運(yùn)用三角形的三邊關(guān)系來驗(yàn)證是否能構(gòu)成三角形舉一反三：【變式1】當(dāng)頂角或底角不能確定時(shí)，必須進(jìn)行分類討論等腰三角形的一個(gè)角是另一個(gè)角的4倍，求它的各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)【答案】（1）當(dāng)?shù)捉鞘琼斀堑?倍時(shí)，設(shè)頂角為x，則底角為4x，∴ 4x+4x+x=180176。，∴ x=20176。，∴ 4x=80176。，于是三角形的各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為：20176。，80176。，80176。（2）當(dāng)頂角是底角的4倍時(shí)，設(shè)底角為x，則頂角為4x，∴ x+x+4x=180176。，∴ x=30176。，∴ 4x=120176。，于是三角形的各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為：30176。，30176。，120176。故三角形各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為20176。，80176。，80176?；?0176。，30176。，120176?！咀兪?】當(dāng)高的位置關(guān)系不確定時(shí)，必須分類討論等腰三角形一腰上的高與另一邊的夾角為25176。，求這個(gè)三角形的各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)?！敬鸢浮吭O(shè)AB=AC，BD⊥AC；（1）高與底邊的夾角為25176。時(shí)，高一定在△ABC的內(nèi)部，如右圖，∵∠DBC=25176。，∴∠C=90176?！螪BC=90176。25176。=65176。，∴ ∠ABC=∠C=65176。，∠A=180176。265176。=50176。圖1（2）當(dāng)高與另一腰的夾角為250時(shí)，①如圖2，高在△ABC內(nèi)部時(shí)，當(dāng)∠ABD=25176。時(shí)，∠A=90