綜合法和分析法(編輯修改稿)
2024-11-14 22:18 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 合法的思考過程、特點(diǎn)；培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)計(jì)算能力，分析能力，邏輯推理能力。本節(jié)的教學(xué)應(yīng)該是比較成功的。考點(diǎn)預(yù)測：，是高考?？純?nèi)容；。授課過程：一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：：基本不等式的形式？：如何證明基本不等式a+b(a0,b0).2（討論 → 板演 → 分析思維特點(diǎn)：從結(jié)論出發(fā)，一步步探求結(jié)論成立的充分條件）二、講授新課：教學(xué)例題：綜合法證題例已知a，b，c都是正數(shù)，且a，b，c成等比數(shù)列，求證：a2+b2+c2(ab+c)2證明：左－右=2（ab+bc－ac）∵a，b，c成等比數(shù)列，∴b2=aca+ca+c 又∵a，b，c都是正數(shù)，所以0b=ac≤2∴a+cb∴2(ab+bcac)=2(ab+bcb2)=2b(a+cb)0∴a2+b2+c2(ab+c)2+abba例已知a,b206。R,求證ab179。進(jìn)行。證明：1)差值比較法：注意到要證的不等式關(guān)于a,b對稱，不妨設(shè)a179。b179。0\aabbabba=abbb(aabbab)179。0，從而原不等式得證。2）商值比較法：設(shè)a179。b0,aabbaaQ179。1,ab179。0,\ba=()ab179。 ab故原不等式得證。注：比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法。用比較法證明不等式的步驟是：作差（或作商）、變形、判斷符號(hào)。例若實(shí)數(shù)x185。1，求證：3(1+x2+x4)(1+x+x2)：采用差值比較法：3(1+x2+x4)(1+x+x2)2=3+3x2+3x41x2x42x2x22x3=2(x4x3x+1)=2(x1)2(x2+x+1)13=2(x1)2[(x+)2+].2413Qx185。1,從而(x1)20,且(x+)2+0, 2413∴2(x1)2[(x+)2+]0, 24∴3(1+x2+x4)(1+x+x2)例1．設(shè)a、b是兩個(gè)正實(shí)數(shù)，且a≠b，求證：a3+b3＞a2b+ab2．證明：(用分析法思路書寫)要證 a3+b3＞a2b+ab2成立，只需證(a+b)(a2ab+b2)＞ab(a+b)成立，即需證a2ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)只需證a22ab+b2＞0成立，即需證(ab)2＞0成立。而由已知條件可知，a≠b，有ab≠0，所以(ab)2＞0顯然成立，由此命題得證。(以下用綜合法思路書寫)∵a≠b，∴ab≠0，∴(ab)2＞0，即a22ab+b2＞0亦即a2ab+b2＞ab由題設(shè)條件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2ab+b2)＞(a+b)ab即a3+b3＞a2b+ab2，由此命題得證例已知a,b,c,d∈R,求證:ac+bd≤(a2+b2)(c2+d2)分析一:用分析法證法一:(1)當(dāng)ac+bd≤0時(shí),(2)當(dāng)ac+bd0時(shí),欲證原不等式成立,只需證(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)即證a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2即證2abcd≤b2c2+a2d2即證0≤(bcad)2因?yàn)閍,b,c,d∈R,所以上式恒成立,綜合(1)、(2)可知:分析二:用綜合法證二:(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c22abcd+a2d2)=(ac+bd)2+(bcad)2≥(ac+bd)2 ∴(a2+b2)(c2+d2)≥|ac+bd|≥ac+分析三:用比較法 證法三:∵(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2=(bcad)2≥0,∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 法∴(a2+b2)(c2+d2)≥|ac+bd|≥ac+bd,即ac+bd≤(a2+b2)(c2+d2)例設(shè)a、b是兩個(gè)正實(shí)數(shù)，且a≠b，求證：a3+b3＞a2b+ab2．證明：(用分析法思路書寫)要證 a3+b3＞a2b+ab2成立，只需證(a+b)(a2ab+b2)＞ab(a+b)成立，即需證a2ab+b2＞ab成
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