【文章內(nèi)容簡介】 類討論等腰三角形一腰上的高與另一邊的夾角為25176。，求這個三角形的各個內(nèi)角的度數(shù)?！敬鸢浮吭O(shè)AB=AC，BD⊥AC；（1）高與底邊的夾角為25176。時，高一定在△ABC的內(nèi)部，如右圖，∵∠DBC=25176。，∴∠C=90176?！螪BC=90176。25176。=65176。，∴ ∠ABC=∠C=65176。，∠A=180176。265176。=50176。圖1（2）當(dāng)高與另一腰的夾角為250時，①如圖2，高在△ABC內(nèi)部時，當(dāng)∠ABD=25176。時，∠A=90176?！螦BD=65176。，∴ ∠C=∠ABC=（180176。∠A）247。2=176。；②如圖3，高在△ABC外部時，∠ABD=25176。，圖2∴ ∠BAD=90176?！螦BD=90176。25176。=65176。，∴ ∠BAC=180176。65176。=115176。，∴∠ABC=∠C=（180176。115176。）247。2=176。故三角形各內(nèi)角為：65176。，65176。，50176?；?5176。，176。，176?；?15176。，176。，176。圖3【變式3】由腰的垂直平分線所引起的分類討論在三角形ABC中，AB=AC，AB邊上的垂直平分線與AC所在的直線相交所得的銳角為40176。，求底角B的度數(shù)。分析：題目中AB邊上的垂直平分線與直線AC相交有兩種情形；解：（1）如圖，AB邊的垂直平分線與AC邊交于點(diǎn)D，∠ADE=40176。，則∠A=900∠ADE=50176。，∵AB=AC，∴∠B=（180176。50176。）247。2=65176。（2）如圖，AB邊的垂直平分線與直線AC的反向延長線交于點(diǎn)D，∠ADE=40176。，則∠DAE=50176。∴∠BAC=130176。，∵AB=AC，∴∠B=（180176。130176。）247。2=25176。，故∠B的大小為65176?；?5176。【變式4】由腰上的中線引起的分類討論等腰三角形底邊長為5cm，一腰上的中線把其周長分為兩部分的差為3cm，求腰長。【答案】如圖，∵BD為AC邊上的中線，∴AD=CD，（1）當(dāng)（AB+AD）（BC+CD）=3時，則ABBC=3，∵BC=5 ∴AB=BC+3=8；（2）當(dāng)（BC+CD）（AB+AD）=3時，則BCAB=3，∵BC=5 ∴AB=BC3=2；但是當(dāng)AB=2時，三邊長為2，2，5；而2+2＜5，不合題意，舍去；故腰長為8。類型四：證明題4．已知：如圖，∠ABC，∠ACB的平分線交于F，過F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E。求證：BD＋EC＝DE。思路點(diǎn)撥: 因?yàn)镈E＝DF＋FE，即結(jié)論為BD＋EC＝DF＋FE，分別證明BD＝DF，CE＝FE即可，于是運(yùn)用“在同一三角形中，等角對等邊”易證結(jié)論成立。解析：∵DE∥BC，∴∠3＝∠2（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）又∵BF平分∠ABC∴∠1＝∠2∴∠1＝∠3∴DB＝DF（等角對等邊）同理：EF＝CE，∴BD＋EC＝DF＋EF即BD＋EC＝DE?？偨Y(jié)升華：在三角形中，利用“等角對等邊”證明線段相等，是一種常用的方法。舉一反三：【變式1】如圖，C是線段AB上的一點(diǎn)，△ACD和△BCE是等邊三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于O。求證：（1）∠AOB＝120176。；（2）CM＝CN；（3）MN∥AB?！敬鸢浮浚?）∵∠ACE＝∠ACD＋∠DCE∠BCD＝∠BCE＋∠DCE且∠ACD＝∠BCE＝60176?！唷螦CE＝∠BCD在△ACE和△BCD中∴△ACE≌△DCB（SAS）∴∠3＝∠2∵∠1＋∠3＝60176。，∴∠1＋∠2＝60176?！唷螦OB＝∠1＋∠ADC＋∠2＝60176。＋60176。＝120176。（2）∵∠ACD＝∠BCE＝60176?！唷螹CN＝60176。在△CMA和△CND中∴△CMA≌△CND（ASA）∴CM＝CN（3）∵CM＝CN且∠MCN＝60176?！唷鰿MN是等邊三角形∴∠NMC＝60176。又∵∠DCA＝60176?！唷螻MC＝∠DCA∴MN∥AB【變式2】已知，在△ABC中，∠ACB＝90176。，CD，CE三等分∠ACB，CD⊥AB（如圖所示）。求證：（1）AB＝2BC；（2）CE＝AE＝EB?！敬鸢浮浚?）∵CE、CD三等分∠ACB∴∠1＝∠2＝∠3＝30176。又∵CD⊥AB，∴∠B＝60176。，∠A＝30176。在Rt△ABC中，∠A＝30176。，∴AB＝2BC（2）∵∠A＝∠1＝30176。∴CE＝EA又∵∠B＝∠BCE＝60176。∴△BCE是等邊三角形，∴EC＝EB∴CE＝EA＝EB 學(xué)習(xí)成果測評 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)：一、填空：等腰三角形的的兩邊長為2cm和5cm，則該等腰三角形的周長為______cm。等腰三角形的的兩邊長為3cm和5cm，則該等腰三角形的周長為______cm。等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為40176。，則頂角為_____。在△ABC中，AC＝BC，且∠B＝∠C，則△ABC是____________三角形。若直角三角形斜邊上的中線垂直于斜邊，則它的兩個銳角的度數(shù)是____________。等腰三角形的一個角是80176。，則其他兩個角的度數(shù)是____________。二、選擇題：3：3，則這個三角形是（）176。的直角三角形拼成如圖1所示形狀，兩條長直角邊在同一條直線上，則圖中等腰三角形的個數(shù)是（）圖1①30176。，120176。；②25176。，75176。；③38176。，52176。；④55176。，70176。；⑤42176。，96176。；⑥28176。，62176。；⑦56176。，68176。；⑧45176。，45176。；⑨60176。，60176。為兩內(nèi)角可以構(gòu)成的三角形中，有等腰三角形（），不能判斷它們?nèi)鹊氖牵ǎ?、一腰對?yīng)相等、一腰對應(yīng)相等、底邊對應(yīng)相等三、解答題等腰三角形的周長為12，且其各邊長均為整數(shù)，求各邊長。（1）等腰三角形的一個角為50176。，求另外兩個角的度數(shù)。（2）等腰三角形的一個外角為100176。，求該等腰三角形的頂角。等腰三角形一腰上的中線將等腰三角形的周長分成8cm和10cm的兩部分，求該等腰三角形的各邊長。如圖2所示，△ABC和△BDE都是等邊三角形。圖2求證：AE＝CD。如圖3所示，D是△ABC的BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別是點(diǎn)E、F，且BF＝CE。判斷△ABC的形狀并證明。圖3“有兩邊相等的兩個直角三角形全等”這個命題對與否，甲、乙、丙三位同學(xué)給出了如下論斷：甲：正確。因?yàn)槿魞蛇叾际侵苯沁叄瑒t用（SAS）全等識別法就可以證它們?nèi)?。乙：正確。因?yàn)槿羝渲幸贿吺侵苯沁叄硪贿吺切边?，則可用（HL）定理證全等。丙：不正確。若一個三角形較長的直角邊與另一三角形斜邊相等，較短的直角邊與另一三角形較長的直角邊相等，則顯而易見兩個三角形不全等。請你就這三個同學(xué)的見解發(fā)表自己的意見。如圖所示，是城市部分街道示意圖，AB＝BC＝AC，CD＝CE＝DE，A、B、C、D、E、F、G為“公共汽車”停靠點(diǎn)，“甲公共汽車”從A站出發(fā)，按照A、H、G、D、E、C、F的順序到達(dá)F站，“乙公共汽車”從B站出發(fā)，沿B、F、H、E、D、C、G的順序到達(dá)G站。如果甲、乙分別同時從A、B站出發(fā)，在各站耽誤的時間相同，兩車速度也一樣，試問哪一輛公共汽車先到達(dá)指定站？為什么？答案與解析：一、填空題1。12（2cm不能為腰長，只能為底邊長（2+2＜5），所以周長為2+5+5=12（cm）。）2。13或11（3cm既能為腰長，又能為底邊長(5+5＞3+3＞5)，∴周長為3+5+5=13（cm）或3+3+5=11（cm）。）3。50176。或130176。（等腰三角形一腰上的高可能是在三角形內(nèi)，也可能在三角形外，因此要分類討論。）4。等邊5。45176。；45176。點(diǎn)撥：等腰三角形三線合一。6。80176。，20176。或50176。，50176。點(diǎn)撥：80176。是銳角，即可以是頂角，也可以是底角。二、選擇題點(diǎn)撥：三個外角度數(shù)分別為360176。＝90176。，360176。＝135176。，135176。，∴三角形為等腰直角三角形。 點(diǎn)撥：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及等腰三角形性質(zhì)定理，排除②③⑥。點(diǎn)撥：本題綜合考查三角形全等識別法和等腰三角形性質(zhì)定理。A（SAS），B（SSS），D（ASA）。三、解答題設(shè)其腰長為x，則底邊長為（12－2x），由題意得：解得3＜x＜6 ∵x為整數(shù)∴x=4或5 ∴該等腰三角形的三邊長分別為：4或2。(1)分兩種情況：①若已知的角為頂角，則另外兩個角均為底角，設(shè)其度數(shù)為x,則2x+50=180，解得：x=65；②若已知的角為底角，可設(shè)頂角為y，則502+y=180, 解得：y=80綜上所述：另兩個角分別為65176。、65176?；?0176。、80176。注意該題的變式：題中有可能把問題變成要求頂角的度數(shù)，也要注意分類討論。(2)分兩種情況：①若已知的角為頂角的外角，則頂角=180176。－100176。=80176。；②若已知的角為底角的外角，則底角=180176。－100176。=80176。，所以頂角=180176。－80176。2=20176。綜上所述：該等腰三角形的頂角=80176?；?0176。