新人教a版必修1高中數(shù)學211指數(shù)與指數(shù)冪的運算教案(編輯修改稿)
2025-01-14 07:17 本頁面
【文章內容簡介】 0 aa,aa ?? ，結果的指數(shù)與被開方數(shù)的指數(shù)，根指數(shù)有什么關系？ 43124 1225105 10 aaa,aaa ????? ，即：當根指數(shù)的被開方數(shù)的指數(shù)能被根指數(shù)整除時，根式可以寫成分數(shù)指數(shù)冪的形式。 問題 2： 當根式的被開方數(shù)的指數(shù)不能被根指數(shù)整除時，根式是否可以寫成分數(shù)指數(shù)冪的形式？如： 323 2 aa ? 是否可行？ 分析： 假設冪的運算性質 mnnm a)a( ? 對于分數(shù)指數(shù)冪也適用，那么 2332332 aa)a( ?? ? ，這說明 32a 也是 2a 的 3次方根，而 3 2a 也是 a2的 3次方根（由于這里 n=3， a2的 3次方根唯一），于是 323 2 aa ? 。這說明 323 2 aa ? 可行。 由此可有： ： 板書 1*,0( ???? nNnmaaa n mnm 且) 注意兩點 :一 是分數(shù)指數(shù)冪是根式的另一種表示形式；二是要注意被開方數(shù) an的冪指數(shù) n與根式的根指數(shù) n的一致性。根式與分數(shù)指數(shù)冪可以進行互化。 問題 3： 在上述定義中，若沒有“ a0”這個限制，行不行？ 分析 ：正例： 3 23225105 10331 )2()2(,4)2()2()2(,28)8( ?????????????? 等等； 反例： 6231,2)8()8(,28)8( 6 262331 ?????????? 而實際上；又如： ，）（）（）（ 34124 12 888 ????? 34 434 124 12 8888 ???? ）（）（ 。這樣就產生了混亂，因此“ a0”這個限制不可少。至于 28)8( 331 ????? ，這是正確的，但此時 31)8(? 不能理解 為分數(shù)指數(shù)冪，31不能代表有理數(shù)（因為不能改寫為62） ，這只表示一種上標。而3 2325105 5 )2()2(,)2()2( ?????? ，那是因為 221010 2)(,2)2( ???? ，負號內部消化了。 問題 4： 如何定義正數(shù)的負分數(shù)指 數(shù)冪和 0的分數(shù)指數(shù)冪？ 分析： 正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的定義與負整數(shù)指數(shù)冪的意義相仿； 0 的分數(shù)指數(shù)冪與 0的非 0整數(shù)冪的意義相仿。 ： 板書 )1*,0(1 ????? nNnmaaanmnm 且 ：（板書） 0的正分數(shù)指數(shù)冪為 0， 0的負分數(shù)指數(shù)冪無意義（為什么？）。 說明：（ 1）分數(shù)指數(shù)冪的意義只是一種規(guī)定，前面所舉的例子只表示這種規(guī)定的合理性； （ 2）規(guī)定了分數(shù)指數(shù)冪的意義以后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)； （ 3）可以驗證整數(shù)指數(shù)冪的運算性質，對于有理數(shù)冪也同樣適用，即（板書） ( 0 , , )r s r sa a a a r s Q?? ? ?； ( ) ( 0 , , )r s rsa a a r s Q? ? ? ( ) ( 0 , 0 , )r r ra b a b a b r Q? ? ? ? (4) 根式與分數(shù)指數(shù)冪可以進行互化 :分式指數(shù) 冪可以直接化成根式計算，也可利用mnmnnmn aa)a( ?? ? 來計算；反過來，根式也可化成分數(shù)指數(shù)冪來計算。 （ 5）同樣可規(guī)定 是無理數(shù)）的意義：p,0p(a p ? ① ap表示一個確定的實數(shù)； ② 上述有理指數(shù)冪的運算性質，對于無理數(shù)指數(shù)冪都適用，有關念和證明從略； ③ 指數(shù)概念可以擴充到實數(shù)指數(shù)（為下一小節(jié)學習指數(shù)函數(shù)作鋪墊）。 （ III）例題講解（ 投影 2） 例 2． 求值： 4332132 8116411008 －－－ ），（），（， 分析： 此題主要運用有理指數(shù)冪的運算性質。 解：。＝）＝（）＝（）；（＝＝＝）＝（）（；＝＝＝）＝（；＝＝＝）＝（－）（－－）（－）（－－－－－）（－－－
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