蘇教版高中數(shù)學選修2-3252離散型隨機變量的方差與標準差3篇(編輯修改稿)
2025-01-14 04:43 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 何比較甲、乙兩個工人的技術(shù)？ 我們知道，當樣本平均值相差不大時，可以利用樣本方差考察樣本數(shù)據(jù)與樣本平均值的偏離程度．能否用一個類似于樣本方差的量來刻畫隨機變量的波動程度呢？ （二）總結(jié)歸納： 1． 一般地，若離散型隨機變量 X 的概率分布如表所示： X 1x 2x … nx P 1p 2p … np 則 2( ) ( ( ))ix E X????描述了 ( 1, 2,..., )ix i n? 相對于均值 ? 的偏離程度，故 2 2 21 1 2 2( ) ( ) ... ( )nnx p x p x p? ? ?? ? ? ? ? ?，（其中 120 , 1 , 2 , .. ., , .. . 1inp i n p p p? ? ? ? ? ?）刻畫了隨機變量 X 與其均值 ? 的平均偏離程度，我們將其稱為離散型隨機變量 X 的方差，記為 ()VX或 2? ． 2． 方差公式也可用公式 2 21()niiiV X x p ?????計算． 3．隨機變量 X 的方差也稱為 X 的概率分布的方差， X 的方差 ()VX的算術(shù)平方根稱為 X的標準差，即 ()VX?? ． 思考：隨機變量的方差和樣本方 差有何區(qū)別和聯(lián)系？ 練習：解答（一）中的問題。 二、課堂訓練： 例 1．若 隨機變量 X 的分布如表所示：求方差 ()VX和標準差 ()VX ． X 0 1 P 1p? p 例 2． 高三 (1)班的聯(lián)歡會上設計了一項游戲 ,在一個口袋中裝有 10 個紅球 ,20 個白球 ,這些球除顏色外完全相同 .某學生一次從中摸出 5 個球 ,其中紅球的個數(shù)為 X,求 X 的數(shù)學期望 . 方差和標準差 .（ 超幾何分布 H(5,10,30)） 例 3． 從批量較大的成品中隨機取出 10件產(chǎn)品進行質(zhì)量檢查 ,若這批產(chǎn)品的不合格品率為 ,隨機變量 X 表示這 10件產(chǎn)品中的不合格品數(shù) ,求隨機變量 X 的方差和標準差 。（ 二項分布 B(10,)） 說明：一般地，由定義可求出超幾何分布和 二項分布的方差的計算公式： 當 ~ ( , , )X H n M N時，2( ) ( )() ( 1 )n M N M N nVX NN??? ?， 當 ~ ( , )X B n p 時， ( ) (1 )V X np p??． 例 4．有甲、乙兩名學生，經(jīng)統(tǒng)計，他們字解答同一份數(shù)學試卷時，各自的成績在 80分、 90 分、 100 分的概率分布大致如下表所示： 甲 分數(shù) X甲 80 90 100 概率 試分析兩名學生的答題成績水平． 練習： 設 X～ B( n, p )，如果 E X= 12， V X= 4，求 n, p 乙 分數(shù) X乙 80 90 100 概率 設 X～ B( n, p )，則有 ( ) A. E(2X1)=2np B. V(2X+1)=4np(1p)+1 . E(2X+1)=4np +1 D. V(2X1)=4np(1p) 設 X 是一個離散型隨機變量，
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