【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 iy ix iz e C3 C4 21 2 32 3 3e (,)kc iiv ,ii 1 2 3 1－ 偏 重 ? 2－ 偏 重 ?? 3－ 振 動(dòng) 體 圖 22 慣性往復(fù)振動(dòng)機(jī)械的多剛體力學(xué)模型 建立參考基(1) 建立慣性參考基 ，其基點(diǎn) O 與靜平衡狀態(tài)時(shí)振動(dòng)體的質(zhì)心 C 重合；基??0,e矢量 沿鉛垂方向，基矢量 與靜平衡狀態(tài)時(shí)的連線 d1d2 平行，基矢量 與靜平衡狀03e1 02e態(tài)時(shí)的連線 d1d4 平行。(2) 建立固連于振動(dòng)體的參考基 ，基點(diǎn)在振動(dòng)體的質(zhì)心 C，它的三個(gè)基矢量??1,Ce分別與慣性參考基 的三個(gè)基矢量平行。初始狀態(tài)時(shí)，與慣性參考基重合。??0,Oe(3) 分別建立固連于偏重塊 1 和 2 的參考基 、 ，基點(diǎn)位于偏重塊的21,e??32,質(zhì)心 CC 2，基矢量 、 垂直于兩偏重的回轉(zhuǎn)平面，基矢量 、 平行于連線23 1ed1d2，各參考基的另外一基矢量方向可按右手法則確定，如圖 22 所示。論文10設(shè)支承點(diǎn) di(i=1～4)在連體基 中的坐標(biāo)列陣為： 。兩激振??1,Ce??Tiiixyz??器的質(zhì)心 C C4 在連體基 中的坐標(biāo)列陣分別為： 、, 311cll????，鉸接點(diǎn) O1 與激振器質(zhì)心 C3 之間的距離為 r，鉸接點(diǎn) O2 與激振422Tcxyzll??????器質(zhì)心 C4 之間的距離也為 r。 廣義坐標(biāo)振動(dòng)體在空間的位置可由六個(gè)參數(shù)來(lái)確定，用三個(gè)參數(shù)確定其質(zhì)心的位置，另外三個(gè)參數(shù)描述振動(dòng)體的姿態(tài)。兩偏重的位置可用其繞轉(zhuǎn)軸的角位移來(lái)描述。用qq q q q q q 7 和 q8 表示系統(tǒng)的獨(dú)立廣義坐標(biāo)。q q 2 和 q3 分別為振動(dòng)體質(zhì)心關(guān)于參考基 的矢徑在基矢量 、 和 方向的分量（坐標(biāo)） ，取振動(dòng)體的質(zhì)??0,Ce01e203心 C 在參考基 中的矢徑為 ，則 ；q q 8 為偏重塊相對(duì)于振動(dòng)cr???Tc?體繞基矢量 、 的轉(zhuǎn)角。振動(dòng)體的姿態(tài)可用卡爾丹（Cardano ， J.）角來(lái)確定 [48,49]。23剛體動(dòng)力學(xué)中，常用歐拉角、卡爾丹角等來(lái)描述剛體繞定點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng) [50]。本文將采用卡爾丹（Cardano ， J.）角來(lái)描述振動(dòng)體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)?？柕ぃ–ardano ， J.）角的描述如圖 23 所示，規(guī)定連體基從位置(Ox 0y0z0)出發(fā)，首先繞軸 x0 轉(zhuǎn)動(dòng)角 到達(dá)位置4?(Ox1y1z1)，再繞軸 y1 轉(zhuǎn)動(dòng)角 到達(dá)位置(Ox 2y2z2)，最后繞軸 z2 轉(zhuǎn)動(dòng)角 到達(dá)位置5?6(Ox3y3z3)。角度坐標(biāo) ， ， 稱為卡爾丹（Cardano ， J.）角。46 x2 x3 y0 y3 y1 y2 x0 x1 z1 z0 z2 z3 4 5 6? 4?6 5 6?? 4? 5? O 圖 23 卡爾丹（Cardano，J.）角設(shè)振動(dòng)體處于靜平衡位置時(shí)，連體基 與圖 23 所示的基(Ox 0y0z0)相對(duì)應(yīng)，則??1,Ceq4，q 5，q 6 分別對(duì)應(yīng)圖 所示的卡爾丹角 、 、 ，振動(dòng)體的實(shí)時(shí)位置與初始位4?56置之間的方向余弦矩陣為：機(jī)械振動(dòng)篩畢業(yè)論文11 56465645621CSCSA??? ?? ????? ? ()其中 ，cos,inaaqS??4,56方向余弦矩陣符號(hào)右上角的雙上標(biāo)指明此變換矩陣所完成的變換是將基 從與基(2)e相同的方位轉(zhuǎn)到它的實(shí)時(shí)位置的方位，即 實(shí)時(shí)位置的方位是 的方位通過(guò)一個(gè)(1)e (2)e(1)旋轉(zhuǎn)變換達(dá)到的。短陣 完全確定了 相對(duì) 的方位。方向余弦矩陣是正交矩陣，21A()1且方向余弦矩陣的逆矩陣等于它的轉(zhuǎn)置矩陣 [48]。所以可得： ()??12212TAA??而振動(dòng)體的角速度 沿基 三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)軸分解后，在連體基 中可表示為：??1,Ce??1,Ce ()??56644565656cossin0cossinicoico1xyzqqqq?? ?????? ?????????? ?? ??? ?為了后面運(yùn)算的方便，先求出旋轉(zhuǎn)變換矩陣 的一階及二階導(dǎo)數(shù)。設(shè) 是振動(dòng)體12Ar?上的連體矢量，它在參考基 和連體基 中的坐標(biāo)列陣分別為 和 ，二者之間()ie()je()ir?()j的變換方程為 。()()iijrA??對(duì) 求導(dǎo)，因?yàn)?為常矢量。所以 。公式中 表示連體矢量 的端()i ()j ()()iijr???()i?r?點(diǎn)對(duì)參考基 的速度列陣。設(shè) 是振動(dòng)體相對(duì)與參考基 的角速度， 是 在參考ie??()iei??基 中的叉乘矩陣，稱為角速度矩陣。所以可得： 。()i iir???比較公式 和公式 ，并利用公式 ，得：()()iijrA??()()iir??()()iijAr?()ijijA? ()即： ，角速度 在連體基 中分解的角速度矩陣 也有類似的關(guān)??()Tiij?????()je()j??系式，由此可得： ??()()TiijijA?? ()所以有： ， 。通過(guò)上面的公式，便可以求出 的二??TijjiA????jij?? 21A階導(dǎo)數(shù)。即：論文12 ()??21(2)1(2)1TAA????????為了便于后面的運(yùn)算，暫且將 記為： ()121323a????????矩陣 中的各元素可根據(jù)公式 求得。21A? ??21(2)1(2)1TAA???????偏重塊 1 的實(shí)時(shí)位置可由偏重塊 1 的角位移 來(lái)確定，同樣偏重塊 2 實(shí)時(shí)位置也7q可由此來(lái)確定。所以偏重塊 1 和 2 的實(shí)時(shí)位置相對(duì)于靜平衡時(shí)的位置之間的旋轉(zhuǎn)變換矩陣分別為 [3942]： ()771cosin0i01qA????????882cosin0i01qA???????? 牛頓歐拉方法在剛體力學(xué)的研究中，將剛體在空間的一般運(yùn)動(dòng)分解為隨其上某點(diǎn)的平動(dòng)和繞此點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)，分別用牛頓定律和歐拉方程處理，這種方法很自然的被推廣到多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的研究中，稱為牛頓歐拉方法 [49]。本章將利用牛頓－歐拉方程建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。 ????????000mrFJJM??????????? ()式()為牛頓 —?dú)W拉方程的簡(jiǎn)化寫(xiě)法；其中 為角速度的坐標(biāo)列陣， 為轉(zhuǎn)動(dòng)??0J慣量的坐標(biāo)方陣， 為作用力矩的坐標(biāo)列陣， 為角速度列陣的反對(duì)稱坐標(biāo)方陣，??0M??0?其中 定義為：??0?? ()??00zyzxyx??????????取每個(gè)剛體為研究對(duì)象進(jìn)行受力分析。系統(tǒng)中所有鉸鏈、彈簧、阻尼器和驅(qū)動(dòng)器的質(zhì)量可以忽略不計(jì)，必要時(shí)附加在所聯(lián)系的剛體上，不單獨(dú)考慮。作用于剛體的力有重力、鉸鏈約束反力以及摩擦力；所有與剛體相連的彈簧、阻尼器和驅(qū)動(dòng)器等無(wú)質(zhì)機(jī)械振動(dòng)篩畢業(yè)論文13量元件都要用相應(yīng)的力代替。一般地，彈簧力和阻尼力可表示為相對(duì)位置和速度的已知函數(shù)，由電機(jī)產(chǎn)生的驅(qū)動(dòng)力為時(shí)間的已知函數(shù)。將所有作用于各剛體上的主動(dòng)力和約成反力分別向質(zhì)心簡(jiǎn)化，得到主動(dòng)力的主矢和主矩，以及約束反力的主矢和主矩，根據(jù)式 可以對(duì)每個(gè)剛體寫(xiě)出牛頓—?dú)W拉動(dòng)力學(xué)。 各剛體受力分析 偏重塊的受力分析偏重塊 1 和 2 分別與激振器的轉(zhuǎn)軸鉸接，q 7，q 8 分別對(duì)應(yīng)偏重塊 1 和 2 繞主軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角位移。偏重塊 1 的隔離體如圖 24 所示。工程中，偏重塊與振動(dòng)體間的轉(zhuǎn)動(dòng)鉸為滾動(dòng)軸承，將轉(zhuǎn)動(dòng)鉸看成理想約束，兩原動(dòng)機(jī)對(duì)偏重塊 1 和 2 的主動(dòng)力矩分別為T(mén)p1，T p2。同時(shí)，根據(jù)作用力與反作用力定理，對(duì)振動(dòng)體應(yīng)附加一反方向的主動(dòng)力矩。作用于偏重塊 1 的主動(dòng)力有重力 m0g、外力矩 Tp1，轉(zhuǎn)動(dòng)鉸對(duì)偏重塊的理想約束反力 。1zF?2e0mg1231pT?41e431zF?2圖 24 偏重塊的受力圖偏重塊 1 和偏重塊 2 上作用的主動(dòng)力矩在基 中的坐標(biāo)列陣分別為：??2,Ce， ()??110TPT??220Tp??????為了確定反力與廣義坐標(biāo)的關(guān)系，對(duì)偏重塊 1 應(yīng)用牛頓方程，有：， ()01czmFG????其中 ， 為偏重塊 1 的質(zhì)心 C1 在慣性參考基中的矢徑， 為振動(dòng)??10TGg???1c 1zF?體對(duì)偏重塊 1 的反力。論文14由各參考基之間的相互關(guān)系，最終可求得偏重塊 1 質(zhì)心的矢徑為： ()??31312cccAr????為激振器 1 的質(zhì)心 C3 到振動(dòng)體質(zhì)心 C 的矢徑， 為偏重塊 1 質(zhì)心 C1 到激振器 13c? 13c的質(zhì)心 C3 的矢徑， 為振動(dòng)體質(zhì)心在慣性參考基 中的矢徑。根據(jù)分析可知：cr 0,e ()??3123Tll????123Tcrq?? ()13 770osin0cosinii01c er????????????????????????對(duì)式()求二階導(dǎo)數(shù)，有： ()313131312222cccccAAr??????? ???根據(jù)式() 可得，偏重塊 1 對(duì)振動(dòng)體的反力 為： zF ()??4131313222210 1zccccFmrG? ????????同理可得，偏重塊 2 對(duì)振動(dòng)體的反力 為：2z ()224242411110 1zccccAAr???????????為激振器 2 的質(zhì)心 C4 到振動(dòng)體質(zhì)心 C 的矢徑， 為偏重塊 2 的質(zhì)心 C2 到激振器4c? 24c2 的質(zhì)心 C4 的矢徑。根據(jù)參考基間的變換關(guān)系，偏重塊對(duì)振動(dòng)體的反力 、 在參考基 中可1zF?2z??1,e分別表示為：， ()21zFA??21z?反力 、 的作用點(diǎn)在參考基 中分別為：1zF?2z ??,Ce ， ()3131cocL???4242cocL??所以反力 、 對(duì)振動(dòng)體質(zhì)心 C 的轉(zhuǎn)矩分別為：1?2 ， ()??11PMF????12PF??偏重塊 1 和 2 對(duì)振動(dòng)體的反力矩 、 分別為：zT?2機(jī)械振動(dòng)篩畢業(yè)論文15 ， ()1 210cosinizTT??????????? 20cosiniz T?????????? 振動(dòng)體的受力分析作用于振動(dòng)體的外力（矩）有重力 mg，彈性力（矩） ，阻尼力（矩） ，反力（矩） 。為了便于計(jì)算，下面分別求作用于振動(dòng)體各個(gè)外力（矩） 。(1) 各支承點(diǎn)的彈性力（矩）作用于支承點(diǎn) di(i=1～4)的彈簧力在慣性參考基 中的坐標(biāo)列陣為：??0,Ce(i=1～ 4)。iiiTiuvwF??????支承點(diǎn) di(i=1～4)在連體參考基 中的矢徑為： (i=1～4)；令??1,e??Tiiixyz?? ()1564656456Tix iiyiz iCSSCz????????? ?????? ???則支承點(diǎn) di(i=1～4)在慣性參考基中的矢徑 (i=1～4)可表示為：0i? ()0123ixiyiizq???????????????平衡位置時(shí)支承點(diǎn) di(i=1～4)處彈性支承的靜變形設(shè)為： (i=1～4)，iixiyiz????????則可得支承點(diǎn) di(i=1～4)處的彈性力 (i=1～4)的坐標(biāo)列陣為：kiF? ()??00iiii iiixixuTiykiukvwiyvizizwkF?????????????????則所有支承點(diǎn) di(i=1～4)的彈性力對(duì)質(zhì)心 的主動(dòng)力在基 中的坐標(biāo)列陣 為：C??0,CekF? ()??044110iiiixixuiykki iyvi izizwkF?????????????論文16力對(duì)點(diǎn)的矩矢的解析表達(dá)式為： ()????????O zyxzyxxyzijkMFrFiFjk????????? ?????根據(jù)式() 可得，支承點(diǎn) di(i=1～4)處彈性力對(duì)質(zhì)心 的主矩在基 中可以表C1,e示為：()????????111000i i iixiyizCikii i iiuivizwjkMFkk??????????????????所有的支承點(diǎn) di(i=1～4)的彈性力對(duì)質(zhì)心 C 的主矩可表示為： ()????41kikiiMF????(2) 各支承點(diǎn)的阻尼力（矩）支承點(diǎn) di(i=1～4)在參考基 中的速度列陣為：??0,Ce ()?2101Tiii ivq